運(yùn)用幾何直觀提高理解數(shù)學(xué)、解決問題能力

1、運(yùn)用幾何直觀提高理解數(shù)學(xué)、解決問題能力運(yùn)用幾何直觀提高理解數(shù)學(xué)、解決問題能力首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 王尚志王尚志目目 錄錄p 舉例舉例p 解讀解讀“幾何直觀幾何直觀”p 整體把握圖形整體把握圖形 初中數(shù)學(xué)課程初中數(shù)學(xué)課程p 全面掌握研究圖形的方法全面掌握研究圖形的方法 重視幾何變換重視幾何變換p 學(xué)會運(yùn)用圖形建立學(xué)會運(yùn)用圖形建立“幾何直觀幾何直觀” 用圖形描述、理解數(shù)學(xué)問題用圖形描述、理解數(shù)學(xué)問題 用圖形探索解決問題思路用圖形探索解決問題思路 用圖形理解、記憶結(jié)論用圖形理解、記憶結(jié)論2舉舉 例例1.給定長度一定的線段，試求出由它圍成的面積最大的封閉圖形？給定長度一定的

2、線段，試求出由它圍成的面積最大的封閉圖形？3l/2l/2凸的面積對稱圓的sabc=1/2absincabocab2.與小學(xué)教師一次討論：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，你認(rèn)為最重要、最有用的圖形是那些？與小學(xué)教師一次討論：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，你認(rèn)為最重要、最有用的圖形是那些？我選擇了兩個(gè)：數(shù)軸和方格紙我選擇了兩個(gè)：數(shù)軸和方格紙 012345-2-1-4-3-6-5601020304050-20 -10-40 -30-60 -50600100 200 300 400 500-200-100-400 -300-600 -50060000.10.2 0.30.4 0.5-0.2 -0.1-0.4 -0.3-0.6 -0.5

3、0.60 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.02-0.01-0.04-0.03-0.06-0.050.06401/22/23/24/25/2-2/2 -1/2-4/2 -3/2-6/2 -5/26/201/32/33/34/35/3-2/3 -1/3-4/3 -3/3-6/3 -5/36/30.6 0.70.8 0.91.0 1.10.4 0.50.20.300.11.2 1.3 1.4 1.50.95 1.05012345-2-1-4-3-6-56舉舉 例例3.數(shù)軸的作用：數(shù)的單位的認(rèn)識數(shù)軸的作用：數(shù)的單位的認(rèn)識 整數(shù)單位：個(gè)、十、百、千等整數(shù)單位：個(gè)、十、百、千等 分?jǐn)?shù)

4、單位：分?jǐn)?shù)單位：1、1/2、1/3、 、1/6、 等等 小學(xué)：例如，加、減、除運(yùn)算小學(xué)：例如，加、減、除運(yùn)算 初中：例如，絕對值與距離、不等關(guān)系初中：例如，絕對值與距離、不等關(guān)系 大學(xué)：例如，有理數(shù)、無理數(shù)稠密與逼近（極限）大學(xué)：例如，有理數(shù)、無理數(shù)稠密與逼近（極限）在小學(xué)、初中、高中、大學(xué)探索數(shù)軸的作用，這是很好的探究課題。在小學(xué)、初中、高中、大學(xué)探索數(shù)軸的作用，這是很好的探究課題。5舉舉 例例4.與小學(xué)教師一次討論：與小學(xué)教師一次討論：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，你認(rèn)為最重要、最有用的圖形是哪些？在小學(xué)數(shù)學(xué)中，你認(rèn)為最重要、最有用的圖形是哪些？我選擇了兩個(gè)：坐標(biāo)軸和方格紙我選擇了兩個(gè)：坐標(biāo)軸和方格紙方格

5、紙的作用：圖形的平移方格紙的作用：圖形的平移5.幾何定理證明：中位線定理幾何定理證明：中位線定理 如圖如圖 運(yùn)用軸對稱、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)運(yùn)用軸對稱、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)變成矩形或平行四邊形變成矩形或平行四邊形 看出那些結(jié)果看出那些結(jié)果鼓勵看出得多的鼓勵看出得多的看出了中位線定理看出了中位線定理 把過程寫出來把過程寫出來 讓寫出的過程：有理、清晰、易懂讓寫出的過程：有理、清晰、易懂 讓學(xué)生學(xué)會規(guī)范讓學(xué)生學(xué)會規(guī)范 如何用如何用 圖發(fā)現(xiàn)、證明數(shù)學(xué)結(jié)果圖發(fā)現(xiàn)、證明數(shù)學(xué)結(jié)果中位線定理中位線定理6舉舉 例例上述實(shí)例：上述實(shí)例： 圖形可以幫助理解圖形可以幫助理解 圖形可以幫助思考圖形可以幫助思考 圖形可以幫助探索圖形可以幫

6、助探索1、直觀、直觀可以直接看到事物可以直接看到事物經(jīng)過深入理解、思考，使學(xué)習(xí)、研究對象變得經(jīng)過深入理解、思考，使學(xué)習(xí)、研究對象變得“能直接看到、看透能直接看到、看透”，使抽象，使抽象具體，使復(fù)雜具體，使復(fù)雜簡單，華簡單，華羅庚先生一句名言：把書讀薄了。常常說：抓住本質(zhì)。羅庚先生一句名言：把書讀薄了。常常說：抓住本質(zhì)。 把這兩種理解結(jié)合起來。隨著學(xué)習(xí)不斷拓展，隨著不斷思考的深入，把這兩種理解結(jié)合起來。隨著學(xué)習(xí)不斷拓展，隨著不斷思考的深入，“直觀能力直觀能力”會不斷提升，認(rèn)知水平，解決會不斷提升，認(rèn)知水平，解決問題能力不斷增強(qiáng)。問題能力不斷增強(qiáng)。2、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)直觀舉例：直線舉例：直線歐式幾何

7、角度：兩點(diǎn)確定直線歐式幾何角度：兩點(diǎn)確定直線解析幾何角度：二元一次方程與直線是等價(jià)解析幾何角度：二元一次方程與直線是等價(jià)向量幾何角度：一點(diǎn)與一個(gè)方向向量唯一確定直線向量幾何角度：一點(diǎn)與一個(gè)方向向量唯一確定直線函數(shù)角度：在直角坐標(biāo)系中，連線不垂直于函數(shù)角度：在直角坐標(biāo)系中，連線不垂直于x-坐標(biāo)軸的兩個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)一次函數(shù)（坐標(biāo)軸的兩個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)一次函數(shù)（y是是x函數(shù)）函數(shù)）表示：表示：拓展：拓展：n+1個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)連線不垂直于個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)連線不垂直于x-坐標(biāo)軸，它們唯一確定一個(gè)關(guān)于坐標(biāo)軸，它們唯一確定一個(gè)關(guān)于x的的n元函數(shù)。其表示（拉格朗日插值）元函數(shù)。其表示（拉格朗日插值）。7解讀解讀“幾何

8、直觀幾何直觀”舉例：二元一次方程組舉例：二元一次方程組8解析幾何：兩直線間的位置關(guān)系解析幾何：兩直線間的位置關(guān)系行列式行列式解讀解讀“幾何直觀幾何直觀”3、直觀幾何與幾何直觀、直觀幾何與幾何直觀希爾伯特兩本書希爾伯特兩本書“幾何基礎(chǔ)幾何基礎(chǔ)”、“直觀幾何直觀幾何”在在“直觀幾何直觀幾何”一書中，他表達(dá)這樣想法：一書中，他表達(dá)這樣想法：運(yùn)用圖形描述問題；運(yùn)用圖形描述問題；運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路；運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路；運(yùn)用圖形理解、記憶結(jié)論。運(yùn)用圖形理解、記憶結(jié)論。我們也會聽到：很多數(shù)學(xué)結(jié)果是我們也會聽到：很多數(shù)學(xué)結(jié)果是“看出來看出來”的。這是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)的境界。的。這是一種學(xué)習(xí)數(shù)

9、學(xué)，理解數(shù)學(xué)的境界。 4、核心概念、核心概念幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)9解讀解讀“幾何直觀幾何直觀” 到底什么是“幾何直觀”？幾何直觀能告訴我們什么是可幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的

10、，能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。漠之中免于陷入歧途之苦。弗萊登塔爾幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。史寧中、孔凡哲實(shí)物直觀簡約符號直觀圖形直觀替代物直觀符號直觀符號直觀圖形直觀圖形直觀實(shí)物直觀實(shí)物直觀認(rèn)知直觀認(rèn)知直觀核心意思是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問核心意思是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫題變得簡明、

11、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。這個(gè)過程助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。這個(gè)過程幫助我們揭示、理解數(shù)學(xué)中重要、有意義、本質(zhì)的東西，更好地幫助我們揭示、理解數(shù)學(xué)中重要、有意義、本質(zhì)的東西，更好地 運(yùn)用數(shù)學(xué)解決運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題。問題。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深入，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深入，“圖形圖形”稱為建立稱為建立“幾何直觀幾何直觀”的主要載體，在初中階段，圖形又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象，的主要載體，在初中階段，圖形又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象，“幾何直觀幾何直觀”直接作用應(yīng)該體現(xiàn)在幾何學(xué)習(xí)中。直接作用應(yīng)該體現(xiàn)在幾

12、何學(xué)習(xí)中。為了理解為了理解“圖形圖形”在在“學(xué)習(xí)圖形學(xué)習(xí)圖形”中的作用，有必要從以下幾個(gè)方面思考：中的作用，有必要從以下幾個(gè)方面思考：對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解，對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解，研究圖形的基本方法。研究圖形的基本方法。對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解主要圖形：主要圖形：空間中圖形：柱、錐、臺、球空間中圖形：柱、錐、臺、球平面上圖形：平面上圖形：直線、射線、線段、角直線、射線、線段、角直線型三角形、四邊形、多邊形直線型三角形、四邊形、多邊形曲線形圓、拋物線（二次函數(shù)）、雙曲線（反比例函數(shù)）曲線形圓、拋物線（二次函數(shù)）、雙曲線（反比例函數(shù)）10整體把握圖形整體把握圖

13、形初中數(shù)學(xué)課程初中數(shù)學(xué)課程對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解對學(xué)習(xí)的圖形有一個(gè)整體了解主要圖形：主要圖形： 數(shù)軸數(shù)軸 平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系圖形主要關(guān)系：圖形主要關(guān)系： 位置關(guān)系：平行、垂直、相交位置關(guān)系：平行、垂直、相交 度量關(guān)系：長度（距離）、角度、面積度量關(guān)系：長度（距離）、角度、面積 “形狀形狀”關(guān)系關(guān)系 ：重合、全等、對稱、相似、投影：重合、全等、對稱、相似、投影研究圖形的基本方法研究圖形的基本方法 綜合幾何（歐式幾何）綜合幾何（歐式幾何）舉例舉例 凸多邊形內(nèi)角和與外角和凸多邊形內(nèi)角和與外角和 從統(tǒng)一概念（定義）、事實(shí)（公理、定理）出發(fā)，根據(jù)推理原則（三段論），得到正確結(jié)果。從統(tǒng)一概念

14、（定義）、事實(shí)（公理、定理）出發(fā)，根據(jù)推理原則（三段論），得到正確結(jié)果。研究圖形的基本方法研究圖形的基本方法 變換幾何初步變換幾何初步舉例：平行四邊形復(fù)習(xí)課舉例：平行四邊形復(fù)習(xí)課教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形的性質(zhì)和判定后，教師設(shè)計(jì)的一節(jié)復(fù)習(xí)課。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形的性質(zhì)和判定后，教師設(shè)計(jì)的一節(jié)復(fù)習(xí)課。11整體把握圖形整體把握圖形初中數(shù)學(xué)課程初中數(shù)學(xué)課程平行四邊形復(fù)習(xí)課平行四邊形復(fù)習(xí)課教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形的性質(zhì)和判定后，教師設(shè)計(jì)的一節(jié)復(fù)習(xí)課。教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)完平行四邊形的性質(zhì)和判定后，教師設(shè)計(jì)的一節(jié)復(fù)習(xí)課。教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)： 1、依

15、托平行四邊形一章的內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會梳理知識。、依托平行四邊形一章的內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會梳理知識。 2、依托平行四邊形一章的內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會如何抓住本質(zhì)。、依托平行四邊形一章的內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會如何抓住本質(zhì)。 3、幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握平行四邊形性質(zhì)。、幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握平行四邊形性質(zhì)。 4、讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)過程。、讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)過程。教學(xué)形式：教學(xué)形式： 本節(jié)課教師主要采用獨(dú)立學(xué)習(xí)與小組合作結(jié)合方式進(jìn)行教學(xué)活動。主要步驟：本節(jié)課教師主要采用獨(dú)立學(xué)習(xí)與小組合作結(jié)合方式進(jìn)行教學(xué)活動。主要步驟： 1、教師將全班同學(xué)進(jìn)行分組；、教師將全班同學(xué)進(jìn)行分組； 2、確定需要研討的問題串

16、；、確定需要研討的問題串； 3、提出學(xué)生在獨(dú)立思考的要求；、提出學(xué)生在獨(dú)立思考的要求； 4、分工合作、交流提升、集體分享等過程；最后，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)，分享結(jié)果，形成一個(gè)資源包，從而保、分工合作、交流提升、集體分享等過程；最后，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)，分享結(jié)果，形成一個(gè)資源包，從而保證證每個(gè)學(xué)生都能有所收獲。每個(gè)學(xué)生都能有所收獲。12從一節(jié)幾何復(fù)習(xí)課說起從一節(jié)幾何復(fù)習(xí)課說起研討問題串研討問題串研討要求研討要求1、每個(gè)小組從教材、教參和相關(guān)材料中，收集平行四邊形判定的充分必要條件（教師提前講明什么是充分必要、每個(gè)小組從教材、教參和相關(guān)材料中，收集平行四邊形判定的充分必要條件（教師提前講明什么是充分必要條件

17、）；條件）；2、每個(gè)小組所找到的一系列充要條件進(jìn)行分類，并說明自己小組分類的標(biāo)準(zhǔn)和原則。、每個(gè)小組所找到的一系列充要條件進(jìn)行分類，并說明自己小組分類的標(biāo)準(zhǔn)和原則。3、每個(gè)小組在自己所找的充要條件中挑一個(gè)最喜歡的、最重要的條件，并說明喜歡它的原因，通過完成以下兩、每個(gè)小組在自己所找的充要條件中挑一個(gè)最喜歡的、最重要的條件，并說明喜歡它的原因，通過完成以下兩項(xiàng)工作說明：項(xiàng)工作說明：（1）它可以很簡單的推出其他的充要條件；）它可以很簡單的推出其他的充要條件；（2）在所有的習(xí)題和例題中能找到）在所有的習(xí)題和例題中能找到3-5個(gè)題目說明用這個(gè)出發(fā)點(diǎn)解決問題很方便；個(gè)題目說明用這個(gè)出發(fā)點(diǎn)解決問題很方便；4

18、、（選做題）讓學(xué)生討論平行四邊形和學(xué)過的其他圖形有什么關(guān)系，并進(jìn)行相應(yīng)的整理。、（選做題）讓學(xué)生討論平行四邊形和學(xué)過的其他圖形有什么關(guān)系，并進(jìn)行相應(yīng)的整理。問題串設(shè)計(jì)輔助說明：問題串設(shè)計(jì)輔助說明： 13平行四邊形復(fù)習(xí)課平行四邊形復(fù)習(xí)課abcd(a)(c)oa= c；adb= cbd；abd= cdb；ad=bc；ab=cd。研究圖形的基本方法研究圖形的基本方法解析幾何初步解析幾何初步舉例：舉例：兩點(diǎn)確定一次函數(shù)（兩點(diǎn)的連線不能垂直兩點(diǎn)確定一次函數(shù)（兩點(diǎn)的連線不能垂直x軸）軸）三點(diǎn)確定二次函數(shù)（每兩點(diǎn)的連線不能垂直三點(diǎn)確定二次函數(shù)（每兩點(diǎn)的連線不能垂直x軸）軸）n+1點(diǎn)確定點(diǎn)確定n次函數(shù)（每兩點(diǎn)的連