一線一圓,芻議解析幾何的通性通法

1、線一圓 ,芻議解析幾何的通性通法數(shù)學(xué)解題方法一般分為通法與巧法，通法著眼基礎(chǔ)， 巧法著眼提高 .對(duì)學(xué)生來說， 前者是雪中送炭， 后者是錦上添 花.在目前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大多師生對(duì)通性通法推崇有 加，而對(duì)特技巧法敬而遠(yuǎn)之，甚至談“巧”色變，久而久之， 我們的學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推，思 維毫無創(chuàng)新色彩， “韌”性有余而“靈”性不足 .這就違背了 數(shù)學(xué)教育根本價(jià)值 .尤其在解析幾何方面這個(gè)問題尤為突出， 經(jīng)常聽數(shù)學(xué)老師說： “不繁就不叫解析幾何” ，這里要給通性 通法“潑點(diǎn)冷水” ！在解題教學(xué)中我們既要著眼基礎(chǔ)，守住 通法，雪中送炭，錘煉學(xué)生思維之“韌” ，更要適當(dāng)提高， 催生

2、巧法，錦上添花，激發(fā)學(xué)生思維之“靈” 1.解析幾何的通性通法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到 一元二次方程，在判別式 0的前提下，應(yīng)用韋達(dá)定理、中 點(diǎn)坐標(biāo)公式、 弦長公式等設(shè)而不求的方法解決相關(guān)問題.其思維方式本質(zhì)上是定勢思維，易于理解、易于掌握和運(yùn)用，但 過分強(qiáng)調(diào)通法會(huì)束縛學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性，久而久 之，他們只會(huì)拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步， 思維永遠(yuǎn)沒有靈光！以上兩種解法中，解法一按照以 D E為直徑的圓的產(chǎn)生過程，順藤摸瓜，思路自然流暢，但計(jì)算繁雜，容易出 錯(cuò)，尤其用通法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，為了找到圓所過的定 點(diǎn)，還要把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，再利用Q(s， t)在圓上，

3、即 s2+t2=1 ，才能解決；而解法二中無論是發(fā)現(xiàn)QD丄QE (等同于Q是圓0上異于D, E的任意一點(diǎn))，還是求 以D E為直徑的圓0 的方程時(shí)充分利用了直徑所對(duì)的 圓周角是直角這一性質(zhì)，靈活、簡潔、巧妙！圖4例2如圖4,已知O C : (x-3 ) 2+ (y-4) 2=4，直線 11過定點(diǎn)A (1, 0)與O C相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的 中點(diǎn)為M，又11與12 : x+2y+2=0的交點(diǎn)為N ,判斷AM?AN 是否為定值,若是求上述解析中, 解析 1 是通法 .要判斷是否為定值, 就要看 怎么來的,顯然 AM 可用勾股定理解決,而要求 AN ,就要 看 N 點(diǎn)的來歷,是由直線與直線相

4、交得來.這樣順藤摸瓜,搞清點(diǎn)與直線的來龍去脈, 問題就得以解決 .順藤摸瓜的思想 方法就是解析幾何中直線與曲線相關(guān)問題的通性通法,易于 理解掌握, 只是計(jì)算量偏大 .盡管道路可能曲折, 我們堅(jiān)信經(jīng) 過艱辛的努力,有一股韌勁,持之以恒,一定能獲得成功！ 這正是通法的教育價(jià)值之所在 .解析 2 是巧法 .由于 AM , AN 共線,聯(lián)想到向量,思維 具有創(chuàng)造性,但更具思維含金量的是這種解法把 AM 拆成AC+CM，再利用CM丄AN , CM?AN=0，可為巧哉！如果只 講解析（ 1）的通法而回避這種解法，顯然失去了一次創(chuàng)造 性思維培養(yǎng)的絕佳機(jī)會(huì)！解析3是妙法.這種解法發(fā)現(xiàn)直線 BC與直線12垂直，

5、 CM丄PQ,充分利用這兩個(gè)垂直，由三角形相似解決可謂妙法，妙就妙在這種解法牢牢地抓住了學(xué)生的知識(shí)的最近發(fā)展 區(qū)和本題的個(gè)性特點(diǎn) （. 因?yàn)閷W(xué)生初中的三角形相似知識(shí)運(yùn)用 非常熟練，甚至超過部分高中教師）以上例題意在說明解析幾何中不要拘泥于通性通法，要 根據(jù)題目特點(diǎn)靈活解決 .但是，片面追求巧法會(huì)導(dǎo)致缺乏對(duì)基 本思想方法的挖掘和相應(yīng)的訓(xùn)練，從而沖淡和掩蓋了對(duì)基本 思想方法的滲透，有時(shí)會(huì)陷于對(duì)通法不屑一顧而巧法又一時(shí) 想不起的尷尬境界 .通法是巧法的基礎(chǔ)，巧法是通法的升華.我們要“通” “巧”結(jié)合， “韌”“靈”并舉 .既要注重基礎(chǔ)， 守住通法，如山之穩(wěn)重；在此基礎(chǔ)之上，更要催生巧法，如 水之靈動(dòng) .脫離通法的巧法是空中樓閣，沒有根基； 不談巧法的通法更是死山一座，毫無生機(jī)！青山愛拂碧水，碧水滋潤 青山，碧水圍著青山轉(zhuǎn)是我們數(shù)學(xué)人追求的理想境界 .參考文獻(xiàn)1陳敏.就解題方法論學(xué)生思維的“靈”與“韌”J.教學(xué)月刊 ?中學(xué)版， 2013（8）：45.作者簡介吳寶瑩，男， 1970 年生，江蘇徐州人，江蘇省特級(jí)教師，中國奧數(shù)優(yōu)秀教練員，中國管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù) 委員會(huì)特約研究員， 發(fā)現(xiàn)雜志社副理事長、高級(jí)編審， 江蘇省高考命題專家