求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法、累加法1 .適用于：累加法是最根本的二個(gè)方法之一一oan f(n)這是廣義的等差數(shù)列2.解題步驟：假設(shè)an1 af(n)(n2)，a? a 貝 Ua3 a2an 1f(1) f(2) Lf(n)兩邊分別相加得nan 1 a1f(n)k 1an例1 數(shù)列an滿足an1 an 2n 1, a1 1 ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。解：由aan 2n 1 得 an 1 a. 2n 1 貝an (an2(2(2an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2)(a2 aj1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1)(2 11) (n 2) L 2 1 (n 1) 11)n(n 1

2、) 1nnn2(n 1)(n 1) 12na11)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為練習(xí).數(shù)列an滿足a1 3 , a 此數(shù)列的通項(xiàng)公式.1 (n 2) n(n 1)答案：裂項(xiàng)求和an評(píng)注：ai a,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng) an. 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。二、累乘法1-適用于：an 1 f(n)an 這是廣義的等比數(shù)列,累乘法是最

3、根本的二個(gè)方法之二。2 解題步驟:假設(shè)空 f(n),那么-f(1),- f(2),L L ,邑 f(n) ana1a2an兩邊分別相乘得，加a, n f(k)a1k 1例2數(shù)列an滿足an1 2(n 1)5n %，印3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?an1 2(n1)5nan，a13，所以an0，那么a n 1n亠 2(n 1)5n ananan 1anLa3 a2an 1 an 2a? a故2( n 11)5n12(n 21)5 2 L 2(2 1)522(11) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5丁 n!所以數(shù)列an

4、的通項(xiàng)公式為an 3 2n 1 5嚀n!.練習(xí) . an 1 nan n 1,a1 1,求數(shù)列 an 的通項(xiàng) 公式答案： an (n 1)! (a1 1)-1.評(píng)注：此題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān) 系式 an 1 nan n 1,轉(zhuǎn)化為an 1 1 n(an 1), 假設(shè)令 bn an 1 ,那么問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化 為b-嘰形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通 項(xiàng)公式 .三、待定系數(shù)法 適用于 an 1 qan f (n)根本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列， 而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)， 其定義域是自然數(shù) 集的一個(gè)函數(shù)。.形女口 an 1 can d，(c 0,其中 ai a)型(1) 假設(shè)c=1時(shí)，數(shù)列

5、辭為等差數(shù)列；(2) 假設(shè)d=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；(3) 假設(shè)c 1且d 0時(shí)，數(shù)列a為線性遞推數(shù) 列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái) 求.解題步驟：設(shè) an 1c(an )，得 an 1 can (c 1)與題設(shè) 1 d比較系數(shù)得(C Dd，所以C,(c 0)，所以有:anc(ac 1a dd因此數(shù)列n c構(gòu)成以a1廠為首項(xiàng)，以c 為公比的等比數(shù)列，d / d n 1所以an廠佝冷c即：dn 1dan + 例3數(shù)列an中，a, 1,an 2a 1 1(n 2)，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式。解:Q an2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又Qa 12, a 1是首項(xiàng)為2,

6、公比為2的等比 數(shù)列an 1 2n，即 a 2n 1C11練習(xí)數(shù)列an中，a1 2，an1 2an 2,求通項(xiàng)an答案:2形如：an1 p an qn (其中q是常數(shù), 且 n 0,1) 假設(shè)P=1時(shí)，即：am % Tn，累加即可. 假設(shè) P 1 時(shí)，即:ani P an qn ,求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i.兩邊同除以Pn1.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造 成等差數(shù)列即:瞎即丄與人bn半血宀1 bn丄即 p q p q 令 p ，貝p q ，然后累加求通項(xiàng)nq1ii.兩邊同除以 造成等差數(shù)列。目的是把所求數(shù)列構(gòu)an 1n 1qbnq1q，然后轉(zhuǎn)化為即:令un qn，那么可化為待定系數(shù)法第一種情況來(lái)解。

7、iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造 成等差數(shù)列設(shè)a1 q1 PaP.通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求P q，否那么待定系數(shù)法會(huì)失效。例4 數(shù)列a滿足時(shí)細(xì)43n1, a1 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法一待定系數(shù)法：設(shè)an1 l3 2a 31, 比較系數(shù)得i 4, 2 2 ,那么數(shù)列 431是首項(xiàng)為ai 4 31 5,公比為2 的等比數(shù)列，所以 an 4 3n1 5 2n1，即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二兩邊同除以qn1:兩邊同時(shí)除以 an 12 an 43n1得：莎苕衣，下面解法略解法三兩邊同除以P1：兩邊同時(shí)除以 an1 an 4/3、

8、n2n1得：盯歹32，下面解法略3 .形如an1 Pan kn b其中k,b是常數(shù)，且k 0待定系數(shù)法解題步驟：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為比較系數(shù)求x、y;解得數(shù)列 公式；得數(shù)列a的通項(xiàng)公式。an(an xn y) p(a. 1(axnx(n 1) y)y)的通項(xiàng)3例5 .在數(shù)列an中，a1 2,2anan.待定系數(shù)法解：原遞推式可化為an6n3,求通項(xiàng)2(an xn y)x( n 1) y比較系數(shù)可得：x=-6, y=9上式即為2bn bni9 所以bn是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1 a1 6n 9 2 , 公比為 2。 bn 2(F1即：an 6n 9 9($ ,故1an 9 ()n 6n 9練習(xí)在數(shù)列逐

9、項(xiàng)相減法角軍： an 1 3a n兩式相減得bn 3bn 12a2n,中，ai1,a3an2n,求通項(xiàng)an.3( an2時(shí)，2.令b3a2(n 1)，那么知 bn 5 3 2an 1再由累加法可得5 3n1253亦可聯(lián)立解出a4 形如是常數(shù)，且aa n 1 pann2(其中a,b,c0)根本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本 質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函 數(shù)。例6 數(shù)列a滿足a, 2an 3n2 4n 5, a, 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)比較系數(shù)得x 3,y 10,z 18 ,所以 an 1 3(n 1)

10、2 10( n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a13 1210 1 181 31320，得 an 3n2 10n 18 0那么 a1 3(n312218 2，故數(shù)列an 3n2 10n 18為以an 3n 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù) 列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1 ，那么 an 2n4 3n2 10n 18。5.形如a 2 pa 1 qa時(shí)將a作為f (n)求解分析：原遞推式可化為an 2 an, (p )(an, an)的形 式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列am &為等比數(shù) 列。例7 數(shù)列an滿足an2

11、 5an1 6% 1,a2 2，求數(shù) 列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè)an 2an 1(5)(an 1an)比較系數(shù)得3或2，不妨取2，(取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同)那么an 2 2an 1 3(an 1 2an)，貝H an 1 2an是首項(xiàng)為 4，公比為 3的等比數(shù)列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 1 5 2n 1練習(xí).數(shù)列an中，假設(shè)31 8,32 2,且滿足9n2 4an1 3an 0 求an.答案：a 11 3.四、不動(dòng)點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列 的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，假設(shè)存 在f(x)Xo D，使f(Xo) X。成立，那么稱X)為

12、f(x)的不動(dòng)點(diǎn) 或稱(Xo, f(Xo)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。分析：由f(x) X求出不動(dòng)點(diǎn)Xo，在遞推公式兩 邊同時(shí)減去Xo，再變形求解。類型一：形如an 1 qan d例8數(shù)列an中，a1 1,an 2如1 1(n 2)，求數(shù)列K的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為f(x) 2X 1，由 f(x) X得，不動(dòng)點(diǎn)為-1 an 112(an 1)，類型二：形如an1 aan bc an d分析：遞歸函數(shù)為心)c x d(1) 假設(shè)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn) 除得3，其中k U，an 1 q an qa qc 7(2) 假設(shè)有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p，然后用1除，得系式兩邊減

13、去不動(dòng)點(diǎn) k，其中k空。p,q時(shí)，將遞歸 p,q，再將兩式相 .a (q pq)kn1 (p pq)n p)kn 1 q)p，那么將遞歸關(guān)an 1 p an pa d詐,求數(shù)列 項(xiàng)公式(答案：an汨) 分析：此類問(wèn)題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解 解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：7t 4(2t 5)an 7t (2t 5)an 廠2an 7例9.設(shè)數(shù)列an滿足al 2,an 1an的通an 1 t5an 42an72an 77t 42t 5解之得t=1,-2an 11(2t5)-2a nc an 1an 23an 1292an 7 2an 7an 11 1 an 1an 1 2 3 an 2,即汁是

14、首項(xiàng)為公比為丄的等比數(shù)列，34 3n 12an 4 3n 11 .相除得an -a n111 n_ 3an24a11a12,解得an的通項(xiàng)答案:an13 5n10n 6五、對(duì)數(shù)變換法pan其中p,r為常數(shù)型 例10.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 解：兩邊取對(duì)數(shù)得： 設(shè) b log2 1，那么 的等比數(shù)列， log2n 2n1 1a2練習(xí)數(shù)列a-中， 列a-的通項(xiàng)公式.適用于an1bn2bnd log1c2n 11nn滿足a1logp0， an 02n 2an ( n 2).1 2logbn 1an12log 2n 1 2(log2n1 1)是以2為公比2n 1 log2n 1 2n 12石

15、n?2,求數(shù)2 22 n答案：an 2六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例11數(shù)列an滿足2an.an 1c，a1 1an 2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：求倒數(shù)得丄2丄an 12 an1an 111 1 1an2an 1 an為等差數(shù)列，首項(xiàng)丄1,公差為a11 1an2(n 1)，七、階差法(逐項(xiàng)相減法)1、遞推公式中既有Sn，又有an分析：把關(guān)系通過(guò)a, S，ns1 n 2轉(zhuǎn)化為數(shù)Sn Sn 1，n 2 列an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求 解。例12 數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前 n 項(xiàng)和Sn滿足Sn (a 1)(0, 2)，且82,84,89成等比數(shù)列，求 數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：對(duì)任意n N有Sn扣1)(an 2)當(dāng)