Lagrange三角平動(dòng)點(diǎn)鄰近的相空間結(jié)構(gòu)

1、天文學(xué)報(bào)第 40 卷 第 3 期1999 年 8 月vol . 40 , no . 3aug. , 1999ac ta as tronom ica sin ical agrange 三角平動(dòng)點(diǎn)鄰近的相空間結(jié)構(gòu)周禮勇孫義燧周濟(jì)林( 南京大學(xué)天文系 南京 210093)摘要構(gòu)造描述一類(lèi)特殊平面圓型限制性三體問(wèn)題的一個(gè)映射 ,并用這個(gè)映射討論了該類(lèi)三體問(wèn)題 l agrange 三角平動(dòng)點(diǎn)鄰近的相空間結(jié)構(gòu)以及它的穩(wěn)定性 ,發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)主天體的質(zhì)量比 0 . 02165 時(shí) ,除去 = 0 . 01440 的例外情況 ,三角平動(dòng)點(diǎn)被不變曲線包圍 ,是穩(wěn)定 的 ,這與理論結(jié)果相符 ,由此可解釋特羅央群和希臘

2、群小行星的穩(wěn)定存在 . 該結(jié)果也驗(yàn)證了映射方法的可靠性和有效性.關(guān)鍵詞lagrange 平動(dòng)點(diǎn) , 小行星 , 映射方法引言1三體運(yùn)動(dòng)最簡(jiǎn)單的模型是圓型限制性三體問(wèn)題. 人們?cè)诶碚撋涎芯刻?yáng)系中小行星的運(yùn)動(dòng)時(shí) ,經(jīng)常近似地采用這個(gè)模型 ,其中把太陽(yáng)和木星作為兩個(gè)主天體 ,這是因?yàn)槟拘?軌道靠近小行星軌道 ,木星的質(zhì)量又遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他行星質(zhì)量 ,而且太陽(yáng) - 木星軌道的偏心 率很小1 . 此模型的運(yùn)動(dòng)方程存在 l agrange 三角平動(dòng)解 ,而實(shí)際上此處恰好存在著兩群小行星 ,即特羅央群和希臘群 . 所以研究圓型限制性三體問(wèn)題三角平動(dòng)解的穩(wěn)定性有著實(shí) 際意義. 眾所周知 ,用映射方法研究動(dòng)力系統(tǒng)

3、的長(zhǎng)期演化在理論上比較簡(jiǎn)單 ,在數(shù)值探索 時(shí)能夠節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間 ,并且減少計(jì)算過(guò)程中的誤差積累 . 本文研究?jī)蓚€(gè)主天體質(zhì)量 比很小的平面圓型限制性三體問(wèn)題 ,利用 hadjidemet rio u2 提出的方法構(gòu)造了一個(gè)映射 ,通過(guò)該映射對(duì)三角平衡解鄰近的相空間結(jié)構(gòu)以及它的穩(wěn)定性作了討論 ,并與理論結(jié)果作 了比較.2運(yùn)動(dòng)方程設(shè)質(zhì)量為 m 的木星和質(zhì)量為 m 的太陽(yáng)圍繞它們的質(zhì)心以圓型軌道繞轉(zhuǎn) ,質(zhì)量很小的第三體即小行星在太陽(yáng) - 木星軌道確定的平面上運(yùn)動(dòng) . 小行星的運(yùn)動(dòng)由圓型限制性三 體問(wèn)題的方程描述3 ,4 .我們定義質(zhì)量 、長(zhǎng)度 、時(shí)間的單位如下 :31/ 2g ( m + m )a

4、 s - j /m + m = 1 ,as - j= 1 ,= 1 ,1998 - 07 - 03 收到原稿 ,1998 - 09 - 09 收到修改稿其中 as - j 指木星 - 太陽(yáng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)徑. 在這種單位制下 , 萬(wàn)有引力常數(shù) g = 1 ,木星 - 太陽(yáng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)角速度 = 1 , 令 = m / ( m + m ) , 則木星質(zhì)量為 , 太陽(yáng)質(zhì)量為1 - , 質(zhì)心與太陽(yáng)之間的距離為 s1 = , 質(zhì)心與木星之間的距離為 s2 = 1 - , 我們建立以 太陽(yáng) - 木星的質(zhì)心為原點(diǎn) , x 軸位于它們兩者連線上 ,以角速度 = 1 旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)參考系xo y ,如圖 1 所示.

5、 此時(shí) , 描述小行星運(yùn)動(dòng)的 哈密頓函數(shù)寫(xiě)成極坐標(biāo)形式為 :h = h0 + h1 .( 1)其中 ,p2 1 - 1p2h0 =+ -p ,( 2)rr22r圖 1 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系fig. 1 the rotaing f rame1 - 1 - h1 =-rr1r2= 1 - - 1 - -rr2 + 2 + 2 rco s1r2 + ( 1 - ) 2 - 2 r ( 1 - ) co sco s-2= r2+ o.( 3)r2 + 1 -2 rco s(3) 式中 r1 和 r2 如圖 1 所示分別代表小行星與太陽(yáng) 、木星之間的距離 , 是如圖所示的角度. 因?yàn)?是小量 ( 對(duì)于太陽(yáng) - 木

6、星系統(tǒng) , 量級(jí)為 10 - 3 ) , 所以 ( 1) 式中的 h1 可以認(rèn)為 是攝動(dòng)項(xiàng) ; 而 h0 則是描述小行星圍繞主天體質(zhì)心作開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)的未受攝的哈密頓函數(shù). 我們引入未受攝哈密頓函數(shù)的作用量 角變量 i r 、i、r 、 ,這些新的共軛變量與原共軛變量 pr 、p、r 、 之間的關(guān)系是 : 1 - ( 4)i r = -p +,2+ 2 ( 1 - )pp2-rr2r( 5)i = p ,( 1 - ) 2 r2 1 2r = -i + 2 ( 1 - ) r -( i r + i) 2i + ir i) 2 -( i r +( 1 - ) rarcsin+ ,( 6)2i) 2

7、-i2( i r +i)( i r +2 ( i r + i) ( 1 - ) r - i = + r - arcsin( 7).i) 2 -i2( 1 - ) r( i r +而新變量 i r 、i、r 、 與小行星軌道根數(shù)之間的關(guān)系為 :( 1 - ) ai r =e2,( 8)1 - 1 -( 1 - ) a ( 1 - e2 ) ,( 9)( 10)i =r = m ,288天文學(xué)報(bào)40 卷 = + m( 11)- t .其中 , a 、e 分別是軌道的半長(zhǎng)徑和偏心率 , m 是小行星軌道的平近點(diǎn)角 , 是近點(diǎn)角距 , t是時(shí)間 (由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)引入) . 由 (8) 、(9) 式 ,我們

8、得到 ,2i r + ia =,( 12)1 - i2e =1 -( 13)2 .i r +i利用橢圓軌道根數(shù)之間的關(guān)系 (保留至 e 的一次冪) 5 , 結(jié)合 ( 8) -數(shù) ( 1) 式表示成新變量 i r 、i、r 、 的函數(shù)為 :( 11) 式 , 可將哈密頓函cos21 - -+ h = -i -+2i r + i 2a22cos + r2e+ o (e ) . ( 14)a2a2 + 1 -2 acos 其中 a 、e 如 ( 12) 、( 13) 式所示是 i r 、i 的函數(shù).由上述哈密頓函數(shù) ,可以寫(xiě)出小行星運(yùn)動(dòng)的正則方程 :5 h15 h15 h5 h i r = -= -

9、 5 , i = -= - 5 ,55r5 h ( 1 - ) 2r5 h15 h ( 1 - ) 25 h1 r+ 5 i = 5 i- 1 + 5 i .= 5 i=,=r ( i r + i) 3i) 3( i r +r構(gòu)造映射3為了保證構(gòu)造的映射能反映原動(dòng)力系統(tǒng)的主要性質(zhì) ,在構(gòu)造映射時(shí)要求映射的相空間與真實(shí)系統(tǒng)的相空間的拓?fù)湫再|(zhì)在定性和定量?jī)煞矫姹３忠恢?. hadjidemet rio u2 為此 提出了將哈密頓系統(tǒng)簡(jiǎn)化為映射的 3 個(gè)原則 : (1) 映射應(yīng)是保面積的 ; (2) 映射應(yīng)與真實(shí)動(dòng)力系統(tǒng)具有同樣的不動(dòng)點(diǎn) ; (3) 不動(dòng)點(diǎn)具有相同的線性穩(wěn)定性指標(biāo) . 在這些原則下

10、,文 2提出了構(gòu)造一個(gè)映射的具體方法和步聚.保留 h1 至 e0 , 并記 i = i r + i ,哈密頓函數(shù)和正則方程為 :co s( 1 - ) 21-h = h0 + h1 = -+ ( 15)i -,42 i 2ii 4 -2 i2co s + 15 h i r = -= 0 ,( 16)5r2( i 3 -5 h ( 1 - ) 24co sico s) r( 17)= 5 i=-+,i3sini5( i4 -2 i2co s + 1) 3ri 2 sin 5 h i = -( 18)=-,5i4( i4 - 2 i2co s+ 1) 3 = 5 hr= - 1 .( 19)5 i

11、- a2cosr + acos - r + asinr sin( ) 31a2 + 1 - 2 acos首先尋找上述方程兩種特殊的解 . 令 i = 0 , = 0 , 代入 ( 18) 、( 19) 式得到兩種情( 1 - ) 24c0 2i - 1 = 0 , 得 解 i r = i 0 ,況 : ( 1 ) sin = 0 ,co s = c0 = 1 ,-+ri 3i5( i 2 - c0 ) 2i = i0 , r = c 常數(shù) , = k. 由 ( 11) 式可知哈密頓函數(shù)保留至 e0 時(shí) , = = k, 這種解對(duì)應(yīng)著直線平動(dòng)點(diǎn) .sin 0 , 由 ( 18) 、( 19) 式

12、得到 2 i2co s = 1 以及i7 = i4 - 3, 得到另外一種解( 2)i r = i0 , i = i0 , =0 0 22 ( i + i r)c 常數(shù) , co s = 1/. 同樣地由 ( 11) 式可知 , = rr/ 3 , 同時(shí) r1 = r2 , 這種解對(duì)應(yīng)著三角平動(dòng)點(diǎn) .我們感興趣的是 (2) 的情形. 我們希望能夠找到一個(gè)映射 ,這個(gè)映射能反映運(yùn)動(dòng)方程 在三角平動(dòng)點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為 . 按照 hadjidemet rio u 的方法 ,生成函數(shù) f 取為 :0 n +10 n +1ni n +1 nh0 ( i r , i+ h1 ( i r , i,) + )

13、( 20)f =,其中 = 2/ c , h0 、h1 即 ( 15) 式中的 h0 、h1 , 但將其中的 i r 、i、 置換成 i 0 、i n + 1 、n .r由這個(gè)生成函數(shù)導(dǎo)出的映射滿足上面所提的 3 個(gè)原則性要求 , 在三角平動(dòng)點(diǎn)附近具有與運(yùn)動(dòng)方程同樣的拓?fù)湫再|(zhì) . 重新記 i = i0 + i n + 1 ,則可得到如下映射 :r 1-i n +1nn= i + sin( 21)i4,( i 4 - 2 i 2co sn + 1) 24co sn( 1 - ) 2- 1 -+n +1n= + ( 22).i3i5( i4 - 2 i2co sn + 1) 2這個(gè)映射定義在相空間

14、中的一個(gè)截面 r = 0 , i = i 0 上 , 映射的不動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著運(yùn)動(dòng)方程r r ri = i 0的三角平動(dòng)點(diǎn) . 對(duì)開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng) (= 0) , 這個(gè)映射是截面上一個(gè)映向自身的半徑為的圓 , 每映射一次轉(zhuǎn)過(guò)角度 = ( 2/ c) ( 1/ i3 - 1) .4映射的數(shù)值結(jié)果映射 (21) 、(22) 式的 ,對(duì)太陽(yáng) - 木星 - 小行星三體系統(tǒng) ,其值取 = 9 . 53 10 - 4 . 我們?nèi)?i0 = 0 , 并按情形 ( 2) 中的公式給出 = c 和的值 , 這對(duì)應(yīng)小行星以圓軌道在三角平rr動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng) . 此時(shí)對(duì)映射的數(shù)值計(jì)算給出如圖 2 的結(jié)果 . 從圖中可以看出 , 三

15、角平動(dòng)點(diǎn)的周?chē)嬖谥蛔兦€ , 這證明了三角平動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性 . 而在橢圓不變曲線之間 , 還存在 著由破裂的不變曲線形成的島嶼 , 這說(shuō)明了在三角平動(dòng)點(diǎn)的附近有著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為 6 . 需要說(shuō)明的是 , 圖 2 只給出了相圖中 ( 0 ,) 的部分 , 另外 (, 2) 的部分與 此對(duì)稱(chēng) ;對(duì)于小行星的情況 ,它們分別對(duì)應(yīng)著小行星的特羅央群和希臘群 . 以下的相圖都只作出與圖 2 類(lèi)似的部分 ,不再說(shuō)明 .我們將映射 ( 21) 、( 22) 式作為一般動(dòng)力系統(tǒng)研究 , 考察隨參數(shù) 變化平動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性 . 仍如上面所作的一樣 , 取 i 0 = 0 , 并按情形 ( 2) 中的公式給出 0

16、 , 但這次我們對(duì) 的值rr作一次掃描 . 結(jié)果如圖 3 所示. 圖 3 中 ( a - i ) 9 個(gè)圖是取相同初值和不同的 值得到的 .從圖 3 中我們可以看到 , 隨著 的變化 , 相圖也發(fā)生著變化 . 當(dāng) 0 . 024 之后 ,沒(méi)有發(fā)現(xiàn)新的不 變曲線.圖 4 a 相圖 = 0 . 0216512fig. 4a surface of sectio n = 0 . 0216512圖 3 的結(jié)果表明 ,如果把 當(dāng)作參數(shù)并且 0 . 02165 時(shí) ,三角平動(dòng)點(diǎn)附近出現(xiàn)新的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)和混沌現(xiàn)象 . 繼續(xù)增 大到 0 . 024 之后 ,新出現(xiàn)的曲線也逐漸消失 ,不再有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn) .以上我們

17、只是討論了 i 0 = 0 的情形 ,這只對(duì)應(yīng)小天體的初始軌道是圓軌道的情形 . 倘r若我們?nèi)?i0 0 的值 ( 對(duì)應(yīng)小天體初始軌道有略大于 0 的偏心率 ,本文所取的模型要求ri 00r 的值較小) 時(shí) ,映射計(jì)算的結(jié)果表明 ,當(dāng) i r 0 . 019 (對(duì)應(yīng)初始軌道偏心率 e 0 . 14) 時(shí) ,292天文學(xué)報(bào)40 卷相圖的結(jié)構(gòu)和它隨著 值變化的性質(zhì)與 i0 = 0 的情形基本相同.r圖 4 b 相圖= 0 . 0216512fig. 4b surface of sectio n = 0 . 0216512結(jié)論5我們利用映射方法研究一類(lèi)特殊的平面圓型限制性三體問(wèn)題 ,討論了對(duì)不同 值

18、三角平動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性以及平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) . 發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)主天體質(zhì)量比 0 . 02165 時(shí) ,三角平動(dòng)點(diǎn)失去穩(wěn)定性 ,在它的附近出現(xiàn)混沌現(xiàn)象 . 數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明映射方法在處理這種 長(zhǎng)期問(wèn)題時(shí)所具有的可靠性.參考文獻(xiàn)12co usins f w. the solar system. new yo r k : p ica press , 1972 . 73 - 111hadjidemet rio u j d. mapping mo dels fo r hamilto nian systems wit h applicatio n to reso nant asteroid motio n

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22、( sun2j upiter2asteroid) ,t he stabilit y of l agranges t riangular equilibrium point s is st udied. fro m t he hamilto nian equatio ns , w hich describe t he evolutio n of t he asteroid , a symplectic mapping is co nst ructed near l agranges t riangular equilibrium point s. being required t hat t he p hase space of it hast he same topolo gy as t hat of t he poincare map of t he o riginal hamilto nian system , t his mapping mo del is guaranteed to be realistic and reliable . it co ntains all t he main p roperties oft he o riginal dynamical system. by using t his mapping met ho d , bot h