中考數(shù)學(xué)壓軸題專題全等三角形的存在性(共6頁)

1、專題25 全等三角形的存在性破解策略 全等三角形的存在性問題的解題策略有： （1）當有一個三角形固定時（三角形中所有邊角為定值），另一個三角形會與這個固定的三角形有一個元素相等；再根據(jù)全等三角形的判定，利用三角函數(shù)的知識（畫圖）或列方程來求解 （2）當兩個三角形都不固定時（三角形中有角或邊為變量），若條件中有一條邊對應(yīng)相等時，就要使夾這條邊的兩個角對應(yīng)相等，或其余兩條邊對應(yīng)相等；若條件中有一個角對應(yīng)相等時，就要使夾這個角的兩邊對應(yīng)相等，或再找一個角和一條邊對應(yīng)相等例題講解 例1 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx4與x軸的一個交點為A（2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是x3，對稱軸

2、與x軸交于點B （1）求拋物線的表達式； （2）若點D在x軸上，在拋物線上是否存在點P，使得PBDPBC?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由 （3）若點M在y軸的正半軸上，連結(jié)MA，過點M作MA的垂線，交拋物線的對稱軸于點N問：是否存在點M，使以點M、A、N為頂點的三角形與BAN全等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由 解：（1）由題意可列方程組 ， 解得 ， 所以拋物線的表達式為 （2）顯然OA2， OB3， OC4 所以 若P BDPBC，則BD BC5，PDPC 所以D為拋物線與x軸的左交點或右交點，點B，P在CD的垂直平分線上，若點D為拋物線與 x軸的左交點，即與點A

3、重合 如圖1，取AC的中點E，作直線BE交拋物線于P1（x1，y1），P2（x2y2）兩點 此時P1BCP1BD，P2BCP2 BD 由A、C兩點的坐標可得點E的坐標為（1，2）所以直線BE的表達式為 聯(lián)立方程組，解得， 所以點P1，P2的坐標分別為（4一，）（4，） 若D為拋物線與x軸的右交點，則點D的坐標為（8，0） 如圖2，取CD的中點F作直線BF交拋物線于P3（x3，y3），P4（x4，y4）兩點 此時P3BCP3BD，P4BCP4 BD 由C、D兩點的坐標可得點F的坐標為（4，2）， 所以直線BF的表達式為y2x6聯(lián)立方程組，解得，所以點P3，P4的坐標分別為（1，82），（ 1，8

4、2）， 綜上可得，滿足題意的點P的坐標為（4一，），（4，），（1，82）或（1，82） （3）由題意可設(shè)點M（0，m），N（3，n），且m0， 則AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN與ABN全等有兩種可能： 當AMAB，MNBN時，可列方程組，解得；（舍）， 所以此時點M的坐標為（0，）當AMNB，MNBA時，可列方程組：解得，（舍）所以此時點M的坐標為（0，）綜上可得，滿足題意的點M的坐標為（0，）或（0，）例2 如圖，在平面直角坐標系xoy中，ABO為等腰直角三角形，ABO 900，點A的坐標為（40），點B在第一象限若點D在線段BO上，OD

5、2DB，點E，F(xiàn)在OAB的邊上，且滿足DOF與DEF全等，求點E的坐標 圖1 圖2解： 由題意可得OA4，從而OBAB所以O(shè)DOB，BDOB當點F在OA上時，（）若DFODFE，點E在OA上如圖1此時DFOA，所以O(shè)FOD，所以O(shè)E2OF，即點E的坐標為（，0）（）若DFODFE，點F在AB上，如圖2此時EDOD2BD，所以sinBED；所以BED300，從而BEBD，AE過點E作EGOA于點G則EGAGAE，所以O(shè)G，即點E的坐標為（，） 圖3 圖4（）若DFOFDE，點E在AB上，如圖3 此時DEOA，所以BDBE 從而AEOD， 過點E作EGOA于點G， 則EGAGAE，所以O(shè)G，即點E

6、的坐標為（，）當點F在AB上時，只能有ODF AFD，如圖4 此時DF0A且點E與點A重合， 即點E的坐標為（4，0） 綜上可得，端足條件的點E的坐標為（，0），（，），（，）或（4，0）迸階訓(xùn)練 1如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與y軸變于點C直線l；與拋物線的對稱軸交于點E連結(jié)CE，探究；拋物線上是否存在一點F，使得FOEFCE若存在，請寫出點F坐標；若不存在，請說明理由答案：存在點F的坐標為（，4）或（，4）2 如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1過點A（1，0）且與y軸平行直線l2過點B（0，2）且與x軸平行，直線l1與l2相交于點PE為直線l2上一點，反比例函數(shù)（k0）

7、的圖象過點E且與直線l1相交干點F （1）若點E與點P重合，求k的值； （2）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M，E，F(xiàn)為頂點的三角形與PEF全等？若存在，求點E的坐標：若不存在，請說明理由 答案：（1）k2（2）存在點E的坐標為（，2）或（，2）【提示】（2）易得點E（，2），F(xiàn)（1，k）如圖1，當k2時，只能有MEFPEF過點F作FHy軸于點H，易證BMEHFM，用k表示相關(guān)線段的長度，從而得到BM，再解RtBME，得k，所以點E的坐標為（，2）；如圖2，當k2時，只能有MEFPFE 過點F作FQy軸于點Q，同可得點E的坐標為（，2）3如圖，拋物線經(jīng)過A（，0），B（，0），C（0，3）三點，線段BC與拋物線的對稱軸交干D，該拋物線的頂點為P，連結(jié)PA，AD線段AD與y軸相交于點E （1）求該拋物線的表達式； （2）在平面直角坐標系中是否存在一點Q使以Q，C，D為頂點的三角形與ADP全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由答案：（1）拋物線的表達式為（2）存在點Q的坐標為（，4），（，2），（，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直線BC：，從而點D的坐標為（，2），可得CDPD，所以QCD與ADP全等有兩種情況設(shè)點Q坐標，通過兩點間距離公式列出QC，QD，AP，AD的長再分類討論列方程組，從而求得點Q點坐標方法二：連接CP，易證