中考數(shù)學(xué)壓軸題專題全等三角形的存在性(共6頁)

1、專題25 全等三角形的存在性破解策略 全等三角形的存在性問題的解題策略有： （1）當(dāng)有一個(gè)三角形固定時(shí)（三角形中所有邊角為定值），另一個(gè)三角形會與這個(gè)固定的三角形有一個(gè)元素相等；再根據(jù)全等三角形的判定，利用三角函數(shù)的知識（畫圖）或列方程來求解 （2）當(dāng)兩個(gè)三角形都不固定時(shí)（三角形中有角或邊為變量），若條件中有一條邊對應(yīng)相等時(shí)，就要使夾這條邊的兩個(gè)角對應(yīng)相等，或其余兩條邊對應(yīng)相等；若條件中有一個(gè)角對應(yīng)相等時(shí)，就要使夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)相等，或再找一個(gè)角和一條邊對應(yīng)相等例題講解 例1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx4與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為C，對稱軸是x3，對稱軸

2、與x軸交于點(diǎn)B （1）求拋物線的表達(dá)式； （2）若點(diǎn)D在x軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PBDPBC?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 （3）若點(diǎn)M在y軸的正半軸上，連結(jié)MA，過點(diǎn)M作MA的垂線，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)N問：是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、A、N為頂點(diǎn)的三角形與BAN全等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 解：（1）由題意可列方程組 ， 解得 ， 所以拋物線的表達(dá)式為 （2）顯然OA2， OB3， OC4 所以 若P BDPBC，則BD BC5，PDPC 所以D為拋物線與x軸的左交點(diǎn)或右交點(diǎn)，點(diǎn)B，P在CD的垂直平分線上，若點(diǎn)D為拋物線與 x軸的左交點(diǎn)，即與點(diǎn)A

3、重合 如圖1，取AC的中點(diǎn)E，作直線BE交拋物線于P1（x1，y1），P2（x2y2）兩點(diǎn) 此時(shí)P1BCP1BD，P2BCP2 BD 由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）所以直線BE的表達(dá)式為 聯(lián)立方程組，解得， 所以點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為（4一，）（4，） 若D為拋物線與x軸的右交點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0） 如圖2，取CD的中點(diǎn)F作直線BF交拋物線于P3（x3，y3），P4（x4，y4）兩點(diǎn) 此時(shí)P3BCP3BD，P4BCP4 BD 由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2）， 所以直線BF的表達(dá)式為y2x6聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)P3，P4的坐標(biāo)分別為（1，82），（ 1，8

4、2）， 綜上可得，滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4一，），（4，），（1，82）或（1，82） （3）由題意可設(shè)點(diǎn)M（0，m），N（3，n），且m0， 則AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN與ABN全等有兩種可能： 當(dāng)AMAB，MNBN時(shí)，可列方程組，解得；（舍）， 所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）當(dāng)AMNB，MNBA時(shí)，可列方程組：解得，（舍）所以此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）綜上可得，滿足題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，ABO為等腰直角三角形，ABO 900，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（40），點(diǎn)B在第一象限若點(diǎn)D在線段BO上，OD

5、2DB，點(diǎn)E，F(xiàn)在OAB的邊上，且滿足DOF與DEF全等，求點(diǎn)E的坐標(biāo) 圖1 圖2解： 由題意可得OA4，從而OBAB所以O(shè)DOB，BDOB當(dāng)點(diǎn)F在OA上時(shí)，（）若DFODFE，點(diǎn)E在OA上如圖1此時(shí)DFOA，所以O(shè)FOD，所以O(shè)E2OF，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）（）若DFODFE，點(diǎn)F在AB上，如圖2此時(shí)EDOD2BD，所以sinBED；所以BED300，從而BEBD，AE過點(diǎn)E作EGOA于點(diǎn)G則EGAGAE，所以O(shè)G，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，） 圖3 圖4（）若DFOFDE，點(diǎn)E在AB上，如圖3 此時(shí)DEOA，所以BDBE 從而AEOD， 過點(diǎn)E作EGOA于點(diǎn)G， 則EGAGAE，所以O(shè)G，即點(diǎn)E

6、的坐標(biāo)為（，）當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，只能有ODF AFD，如圖4 此時(shí)DF0A且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合， 即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0） 綜上可得，端足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），（，），（，）或（4，0）迸階訓(xùn)練 1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與y軸變于點(diǎn)C直線l；與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E連結(jié)CE，探究；拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得FOEFCE若存在，請寫出點(diǎn)F坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案：存在點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，4）或（，4）2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1過點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行直線l2過點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l1與l2相交于點(diǎn)PE為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)（k0）

7、的圖象過點(diǎn)E且與直線l1相交干點(diǎn)F （1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值； （2）是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與PEF全等？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由 答案：（1）k2（2）存在點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）或（，2）【提示】（2）易得點(diǎn)E（，2），F(xiàn)（1，k）如圖1，當(dāng)k2時(shí)，只能有MEFPEF過點(diǎn)F作FHy軸于點(diǎn)H，易證BMEHFM，用k表示相關(guān)線段的長度，從而得到BM，再解RtBME，得k，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）；如圖2，當(dāng)k2時(shí)，只能有MEFPFE 過點(diǎn)F作FQy軸于點(diǎn)Q，同可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2）3如圖，拋物線經(jīng)過A（，0），B（，0），C（0，3）三點(diǎn)，線段BC與拋物線的對稱軸交干D，該拋物線的頂點(diǎn)為P，連結(jié)PA，AD線段AD與y軸相交于點(diǎn)E （1）求該拋物線的表達(dá)式； （2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q使以Q，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ADP全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案：（1）拋物線的表達(dá)式為（2）存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，4），（，2），（，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直線BC：，從而點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2），可得CDPD，所以QCD與ADP全等有兩種情況設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)，通過兩點(diǎn)間距離公式列出QC，QD，AP，AD的長再分類討論列方程組，從而求得點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)方法二：連接CP，易證