橢圓的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì)練習(xí)題

1、橢圓的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì)練習(xí)題一1.假設(shè)曲線ax1 2 + by2= 1為焦點在x軸上的橢圓，那么實數(shù)a, b滿足A. a2b2B.I 1abC . 0abD.0ba答案：C2 . 2ax + by = 1,x軸上，所以丁詁。，所以0ab0)。由點P2,3 在橢圓上知=1。又a2b2|PFi| ,|F 1F2I , PF成等差數(shù)列，那么|PFi|+|PF 2|=2|F 冋c，即 2a=2 X2c,ac2=a2_b2，聯(lián)立得a44mm=8, b2=6x 23. ABC勺頂點B、C在橢圓3 + y2= i上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，那么 ABC的周長是A. 2 3B

2、. 6C. 4 3D. 12答案：C 如圖，設(shè)橢圓的另外一個焦點為 F,那么厶ABC的周長為|AB+ | AQ + | BC = I AB + I BF + I AC + | CF = 4a= 4書。4. 橢圓x2 + my= 1的離心率e扌，1 ,貝V實數(shù)m的取值范圍是( )A. 0，4 B. 3，+8 C.0,4 ud. 41 u 1,舟11答案：C 在橢圓 x2 + m$= 1 中，當(dāng) 0 v me 1 時，a2= , b2= 1, c2= a2 b2= 1,mm12 12 c me = 2= 1 ma 1m12 1 2 cm 1111口4e = 2= 1-一，又石vev 1, ： 1

3、-a 1m24 m3綜上可知實數(shù) m的取值范圍是 0, 44 ,+c2 25.兩圓 G:(x-4) +y=169.C2:( x+4) +y =9,動圓在圓 G內(nèi)部且和圓G相內(nèi)切，和圓C2相外切,那么動圓圓心M的軌跡方程為(2 2x y “A.16448 2x y “B.14864G.22x_!_=14864D.21 .2642148答案：D設(shè)圓M的半徑為 r，那么 |MGi|+|MG2|=(13-r)+(3+r)=16所以M的軌跡是以G,G2為焦點的橢圓，且 2a=16, 2c=8，故所求的軌跡方程為2+X_=164 486.橢圓= 1(ab0)的左、右焦點分別為Fi,F2, P是橢圓上的一點

4、，2aI : x，且 PQL I ,c垂足為Q1A. ( -,1)21B. (0，-)2G.(0,呂2D. ( - ,1)2答案：A設(shè)點P(x1,y 1)，由于a2PQL I,故|PQ|=X1+，因為四邊形 PQFF2為平行四邊形，所以c2a|PQ|=|F 1F2|=2c，即 X1+=2c,c2那么有 X1=2c- -a，所以 2+ac-a 20,即 2e?+e-10，解得 e ，由于0e1，所以21 1eb0)的左右焦點分別為 Fi, F2,假設(shè)橢圓C上恰有8個不同的點P,使得 F1F2P為直角三角形,那么橢圓 C的離心率的取值范圍是(A.(0, -2)2B.(0,C.(2)2D.1,1)2

5、答案：C 由題意，問題等價于橢圓上存在四個點P使得直線PFi與直線PF2垂直,所以 |OP|=cb，2 2 2即 c a -c，所以 a , 2 c,因為 e=c, 0e1，所以 一2 e2 C.t 相切的切點,那么 |MF2|=|F 2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F 1M|，即 |F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.2 213橢圓篤爲(wèi)a b=1 ( ab0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B, F為其右焦點，假設(shè) AF丄BF,設(shè)/ ABF= a,且 a那么該橢圓離心率的取值范圍為A.B.C.D.答案：A 由題知AF丄BF,根據(jù)橢圓的對稱性，AF丄BF(其

6、中F是橢圓的左焦點)，因此四邊形AFBF是矩形，于是 | AB = | FF = 2c, | AF| = 2csin a,根據(jù)橢圓的定義，| AF| + | AF| = 2a,二 2csin a+ 2ccos a=2a, ce a sin a+ cos a述sin Jna+ 4亠n ni,而 a 12 4 , a+夫414.直線2 2X Vy - - _ 3x 與橢圓 c： 2a b= 1(ab0)交于 代B兩點，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點，那么橢圓 C的離心率為(c.3 -1D.4-2 .3，亙2答案：c 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1, F2,由題意可得|OF2|=|OA|=|

7、OB|=|OF 1|=c，由 y=- 3x 得/AOfF= , / AOF=。所以 |AF2|= -,3 c , |AF1|=c.33由橢圓定義知,|AF 1|+|AF 2|=2a，所以 c+. 3 c=2a，所以 e=c=、, 3-1.a15.橢圓的焦點在x軸上，一個頂點為A(0 , - 1)，其右焦點到直線 xy + 2 2= 0的距離為3,那么橢圓的方程為2答案： y2 =1據(jù)題意可知橢圓方程是標(biāo)準方程，故b= 1.設(shè)右焦點為(c, 0)( c0)，它到已3知直線的距離為|c+養(yǎng)=3,解得c= 2，所以2a2= b2 + c2 = 3,故橢圓的方程為X3 + y2= 1.32 216.設(shè)

8、F1, F2分別是橢圓X =1的左、右焦點,2516P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|O咻3，那么P點到橢圓左焦點的距離為答案：4 由題意知 |0M|= 1 |PF2|=3，所以 |PF2|=6，所以 |PF1|=2a-|PF 2|=10-6=422 211, 12的交點17.分別過橢圓 篤每=1(ab0)的左、右焦點F1, F2所作的兩條互相垂直的直線a2b2在此橢圓的內(nèi)部，那么此橢圓的離心率的取值范圍是答案：0,22由得交點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上。又點P在橢圓內(nèi)部，所以有c2b2，又 b2=a2-c 2，所以有 c2a2-c2，即 2c2 5的左焦點為F,直線x =

9、m與橢圓相交于點 A,FAB的周長的最大值是 12,那么該橢圓的離心率是 2答案：3設(shè)橢圓的右焦點為 F,如圖，由橢圓定義知，|AF + |AF|=| BF + | BF| = 2a又 AFAB的周長為 | AF + | BF + | AB 弓 AF| + | BF + | AF| + | BF| = 4a,當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點F時等號成立。此時 4a = 12,貝U a= 3o22故橢圓方程為9 + 5 = 1，所以c=2,- c 2 所以e= -= 了。a 322120.如圖，焦點在x軸上的橢圓 亠+每=1的離心率e=-, F, A分別是橢圓4 b22的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點貝

10、U PFPA的最大值為 答案：4 設(shè)P點坐標(biāo)為X。，y。由題意知a= 2,1 2 2 t e= c=土，c = 1, b2 = a2 c2= 3.故所求橢圓方程為 x + y = 1.a 243tt- F 1,0 ,A2,0,PF= 1X。，y。,PA=2 x。，y。,t t22 1 212 PFPA= x x 2 + y= x Xo+ 1 = ：x 2.44即當(dāng)Xo= 2時,PF PA取得最大值4.21.橢圓C：2 2于占ab0的左焦點為F, C與過原點的直線相交于A, B兩點，連接AF,BF。假設(shè) |AB|=10 ,|BF|=8 , cos Z ABF，那么C的離心率為52 2 2答案：一

11、 如圖，設(shè) |AF|=x，貝U cos Z ABF=2 一 72沃810解得x=6負值舍去，所以/ AFB=90,由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AFi|=8，且 / FAF=/ FAB+Z FBA=90, FAF是直角三角形，所以|F1F|=10，故 2a=8+6=14, 2c=10，所以22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,2 2F1, F2分別是橢圓 -爲(wèi)a2b2= 1ab0的左、右焦點，頂點 B2假設(shè)FQ丄AB求橢圓離心率 e的值的坐標(biāo)為0 , b，連接BB并延長交橢圓于點A,過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C,連接RC4 1l假設(shè)點C的坐標(biāo)為亍?，且回，求橢圓的方程【解析】1由題意

12、F2c,0, B0,b , |BF2|, b2 c2a 二 2,4 21 24 133x2又C,，所以&3廠=1，解得b=1，所以橢圓方程為 一3 32b222+y =1.2 2x yx y 直線BF2方程為=1,與橢圓方程 2 =1聯(lián)立方程組，解得 A點坐標(biāo)為a b2a2ca2 c2a2飛，那么C點的坐標(biāo)為2.3_b_2 2 2 2a c a c又 F1-c,0b3a2 cb3c 23 3a c cbb3又kAET-，由FQ丄AB,得 -c3a2c + c3-b=-1,c即 b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化簡得 e= = 5a 523.橢圓 C： X2+ 2y2= 4.1求橢圓C的離心率2設(shè)O為原點.假設(shè)點A在直線y = 2 上,2點B在橢圓C上，且2OAl OB求線段解析：1由題意，橢圓C的標(biāo)準方程為4 + 2 = 1。所以a2= 4,b2 = 2，從而 c2 =AB長度的最小值a2 b2 = 2o因此a= 2, c=2.故橢圓C的離心率e= a=。 設(shè)點A, B的坐標(biāo)分別為t, 2, xo, y。，其中X。旳。t t2y0因為 OAL OB 所以 OAOB= 0，即 tx 0+ 2y= 0,解得 t =丄。Xo20-+ 4b ,22廠嚴2.22,2y2222又 X0+ 2y0= 4，所以 | AB = (X0 t) + (y0 2) =