階常微分方程初值問題的數(shù)值方法ppt課件

1、一階常微分方程初值問題的數(shù)值方法-單步法泰山學院信息科學技術(shù)系一階常微分方程初值問題的普通方式是:0( , ),(1)( )( , ),yf x y axby ayDx y axb cyd 稱f(x,y)在區(qū)域D上對y滿足Lipschitz條件是指:1212120 . .( ,)( ,), , , ,Ls tf x yf x yL yyxa byyc d 利用Picard逼近容易證明: Th1 假設(shè)f(x,y)在區(qū)域D上延續(xù),且對y滿足Lipschitz條件,那么初值問題(1)在a,b上存在獨一的延續(xù)可微解y.利用Gronwall不等式易證解延續(xù)依賴于初值條件:()12122( , )( ;)

2、( ;).L x aThf x yDy x sy x sess設(shè)在上連續(xù),且對y滿足Lipschitz條件,若y(x;s)是初值問題y =f(x,y),axby(a)=s的解,則有一. Euler方法001( ),( , ),0,1,1iiiiyy xyyhf x y iN01210,1,2,.NNjaxxxxxbbaxxjh hjNN部分截斷誤差11(, ),() ()(, (), )iiiiiiiiyyhxy hy xy xhxy xhi+1對于數(shù)值方法局部截斷誤差定義為:eEuler方法的部分截斷誤差21121211()()()(),2,()()(,()()()iiiiiiiiiiiiy

3、 xy xhyxh yxxy xy xhfxy xO heO h二.改良的Euler方法11111111()()( ,()(,()(,()2(,),(,)(,),20,1,1iixiixiiiiiiiiiiiiiiy xy xfx y xdxhfxy xfxy xyyhfxyhyyfxyfxyiN因 為得 到改良的Euler方法的部分截斷誤差213( , )()( )( , ( ) ( , ( )2( , ( ) ( , ( )( )xyxyiiiixiiyiiiiyf x yyff yff fhy xy xhf x y xf x y xf x y xf x y xO h1223 ( , )(

4、 , )( , )2( , ) ( , )( )( , ) ( , )( , ) ( , )2( ).iiiiiixiiiiyiiiiixiiiiyiihyyf x yf x yhf x yhf x y f x yO hhyhf x yf x yf x y f x yO h對于改進的Euler方法整體截斷誤差11111( , , ),(2)()() ( , , ).iiiiiiiiiiiyyh x y hEy xyy xyh x y h對于數(shù)值方法 =其整體截斷誤差為1111()()10.()0( , , )( , , ),.1.pipipL b aL b aiTheO heMhLx y hx

5、 z hL yzy zRMhEeEeL若數(shù)值方法(2)的局部截斷誤差截斷誤差滿足(即),且使得則(2)的整體11,111111211110()()(,(), )()() (,(), )(, ).(1)(1)(1)1(1)(1)1,iiiiiiiiiiiiiiipiipiNNpy xy xhxy xheEy xyy xyhxy xhxy heEhLEMhhLEhLMhhLEhLMh定理顯然得證.證:與(2)相減得到8.1.2 一階常微分方程初值問題的一階常微分方程初值問題的Runge-Kutta方法方法思索一階常微分方程初值問題0( , ),( ),yf x yaxby ay 11()( )(

6、, ( )( )( , ( )iixiixiy xy xf x y x dxy xhfy1( )(, ()nijijijjy xhb f xch y xch11njjb將區(qū)域a,b進展分劃：0,1, 2,.,.jxa xajhjNbahN稱 為 步 長假設(shè)那么111222(, ()( , ( ),(, ()( , ( ),.(, ()( , ( ).iiiiiiiinininiikf xch y xchf x y xkf xc h y xc hf x y xkf xc h y xc hf x y x(, ()(, ( )( )(, ( )( , ( )jijijijijiijijiikf xc

7、 h y xc hf xc h y xhc y xf xc h y xhc f x y x11(,)jijijmmmf xc h yha k11jjmjmac11111,( ,),(,),2,3,.,niijjjiijjijijmmmyyhb kkf x ykf xc h yha kjnn級顯式Runge-Kutta方法11jjmjmac11111,( ,),(,),2,3,.,niijjjiijjijijmmmyyhb kkf x ykf xc h yha kjnn級顯式Runge-Kutta方法11jjmjmac二級Runge-Kutta方法取n=211 12 212221(),( ,),

8、(,).iiiiiiyyh bkb kkf x ykf xc h yc hk( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),iixxiiyyiixxxxiiyyyyiixyxyiiff x yff x yff x yffx yffx yffx y記由此得12221221231122 21,(,)( , )()( ),()()( )iiiixyiixykfkf xc h yc hkf x yc h fk fO hyybb hfc bh fk fO h另一方面23123( , ),()( )( )( )( )2()( )2iixyiiiiixyyf x yf yff fhy

9、 xy xhy xy xO hhyhfff fO h為使部分截斷誤差為 ,應(yīng)取1222112bbcb3()O h改良的Euler方法 取2121,12bbc112121(/ 2/ 2),(,),(,),0,1,.,1.iiiiiiyyh kkkfxykfxh yhkiN中點方法取 21211,0,2bbc12121,(,),(,),220,1,.,1.iiiiiiyyhkkfxyhhkfxykiN二階Heun方法取 212312,443bbc11212113(),44(,),22(,),330,1,.,1.iiiiiiyyhkkkfxyhhkfxykiN11111,( ,),(,),2,3,.

10、,niijjjiijjijijmmmyyhb kkf x ykf xc h yha kjnn級顯式Runge-Kutta方法11jjmjmac二級Runge-Kutta方法取n=211 12 212221(),( ,),(,).iiiiiiyyh bkb kkf x ykf xc h yc hk( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),iixxiiyyiixxxxiiyyyyiixyxyiiff x yff x yff x yffx yffx yffx y記由此得12221221231122 21,(,)( , )()( ),()()( )iiiixyiixykf

11、kf xc h yc hkf x yc h fk fO hyybb hfc bh fk fO h另一方面23123( , ),()( )( )( )( )2()( )2iixyiiiiixyyf x yf yff fhy xy xhy xy xO hhyhfff fO h為使部分截斷誤差為 ,應(yīng)取1222112bbcb3()O h改良的Euler方法 取2121,12bbc112121(/ 2/ 2),(,),(,),0,1,.,1.iiiiiiyyh kkkfxykfxh yhkiN中點方法取 21211,0,2bbc12121,(,),(,),220,1,.,1.iiiiiiyyhkkfx

12、yhhkfxykiN二階Heun方法取 212312,443bbc11212113(),44(,),22(,),330,1,.,1.iiiiiiyyhkkkfxyhhkfxykiN二級Runge-Kutta方法不超越二階 記 那么2,2xyxxxyyyFff f Gff ff f2232221()2kfc hFc h GO h 因此部分截斷誤差只能到達22 341122 22 21()( ),2iiyybb hfbc h Fbc hG O h2341234()( )( )( )( )()2!3!()().26iiiiiiyhhy xy xhy xy xyxO hhhyhfFGf FO h3()

13、.O h三級Runge-Kutta方法取n=311 12233122213331132233132(),( ,),(,),(,),.iiiiiiiiyyh bkb kb kkf x ykf xc h yc hkkf xc h ya hka hkcaa記2,2xyxxxyyyFff f Gff ff f222122322(,)1()2iikfxc h yc hkfc hFc h GO h31 132222332322321()2a ka kc fc a hFc a h GO h33311322331132222333113222331132222332323(,)()12()2()()1()()

14、2iixyxxxyyyykf xc h ya hka hkfh c fa ka kfhc fca ka kfa ka kfO hfc hFhc a F fc GO h 又由于211232 23 332243 2 322 23 3()()12() ().2iiyyybbb hfbcbc h Fhbc a FfbcbcGO h2341()()( ),26iiyhhy xyhfFGf FO h因此要使部分截斷誤差為O(h4)，必需 1232233222233323 21 ,1 / 2 ,1 / 3 ,1 / 6 .bbbbcbcbcbcbcaKutta方法取1232332311/6,2/3,1/6,

15、1/2,1,2,1bbbccaa 1123121312121(),636(,),11(,),22(,2).iiiiiiiiyyhkkkkfxykfxh yhkkfxh yhkhk三階Heun方法 取1232332311/4,0,3/4,1/3,2/3,2/3,0bbbccaa1131213213(),44(,),11(,),3322(,).33iiiiiiiiyyhkkkfxykfxhyh kkfxhyh k三級Runge-Kutta方法不超越三階 完全類似于二級Runge-Kutta方法的分析 將 和 都展開到 項 易證三級Runge-Kutta方法的部分截斷誤差只能到達4().O h1iy

16、1()iy x4h,四級R-K方法取n=411 1223344122213331132244411422433331324414243(),(,),(,),(,),(,),.iiiiiiiiiiyyh b kb kb kb kkf x ykf xc h yc hkkf xc h ya hka hkkf xc h ya hka hka hkcaacaaa2233132341424341234223 344222333223 344223 3443 2324242343222332442433 2 3324424234342,1,1/2,1/3,1/4,()1/6,()1/12,()1/8,aacaaacbbbbb cb cb cb cb cb cb cb cb cb c ab c ac ab c ab c ac ab c c ab c c ac ab c a32431/2