數(shù)值分析研究生復(fù)習(xí)題例題ppt課件

1、復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題31311.(1)1.0,(2)1.2, (3)1.3( )_( )_ffff x dxf x dx 已已知知，則則用用拋拋物物線線公公式式計(jì)計(jì)算算求求得得，用用復(fù)復(fù)合合梯梯形形公公式式計(jì)計(jì)算算求求得得。一一 填空填空 2.( )( )f xxf x 設(shè)設(shè)可可微微，求求方方程程的的牛牛頓頓迭迭代代公公式式是是_。33.( )1,0,1,2,30,1,2,3,4f xxxff設(shè)設(shè)+ +則則差差商商_, _, _。2.3672.351()()1kkkkkf xxxxfx 102 16._1 2A , ,則則其其譜譜半半徑徑為為。7. 數(shù)數(shù)值值求求解解積積分分的的梯梯形形公公式式具具有有

2、_次次代代數(shù)數(shù)精精度度，辛辛甫甫生生公公式式具具有有_次次代代數(shù)數(shù)精精度度。8.1_n 個(gè)個(gè)求求積積節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的插插值值型型求求積積公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度至至少少為為次次。5.3.23.4 3.63.8( )02410(3.6)_xf xf 已已知知函函數(shù)數(shù)表表用用三三點(diǎn)點(diǎn)公公式式計(jì)計(jì)算算。4._pO hp 解解常常微微分分方方程程的的四四階階龍龍格格庫(kù)庫(kù)塔塔公公式式的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為 ( () ), ,則則。52031n3014009.( )(0,1, ),( )_,(3)_innniiiiil x inxxxl xx l 設(shè)設(shè)是是插插值值基基函函數(shù)數(shù)，為為兩兩兩兩互互異

3、異的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)，則則。3122110.3_3kkkxxx 若若迭迭代代公公式式收收斂斂于于，則則迭迭代代公公式式收收斂斂階階為為。211.(1, 1),(0,3),(2,4)_x 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的的二二次次拉拉格格朗朗日日插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式中中系系數(shù)數(shù)為為。811212 解：解：例例1 1：求一個(gè)形如：求一個(gè)形如 ( ( 為常數(shù)為常數(shù)) )的擬合曲的擬合曲線，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合線，使它能和下表給出的數(shù)據(jù)相擬合: : bxyae ( , )a b x 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450對(duì)對(duì) 兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得 bxyae lnlnyabx 01ln ,

4、ln ,yy aa ab 令令01yaa x0 124 0.6981 0.1906 -0.3011 -0.7985 ixiy原數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓟?shù)據(jù)變?yōu)?1470.21097213.6056aa 010.59460.3699aa 00.36991.8123,0.36991.8123axaebye 法方程組為法方程組為解得解得33000333120004.0iiiiiiiiiiixyaaxxx y 即即 例例2 設(shè)有求積公式設(shè)有求積公式 求求A0，A1，A2，使其代數(shù)精度盡量高，并，使其代數(shù)精度盡量高，并問(wèn)此時(shí)求積公式的代數(shù)精度問(wèn)此時(shí)求積公式的代數(shù)精度 解：解：3個(gè)未知系數(shù)需三個(gè)方程個(gè)未知系數(shù)需三個(gè)方程

5、 令求積公式分別對(duì)令求積公式分別對(duì)f(x) = 1、x、x2準(zhǔn)確成立。準(zhǔn)確成立。即即 解之得解之得A0 = A2 = 4/3，A1 = -2/3，1012111( )()(0)( )22f x dxA fA fA f 10121102112021210222344dxAAAAAxdxAAx dx 又易知求積公式對(duì)又易知求積公式對(duì)f(x) = x3f(x) = x3也準(zhǔn)確成立：也準(zhǔn)確成立：但但所以該求積公式具有所以該求積公式具有3 3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。1120300AAdx)2 02( ) .56322x dx 11211( )(2()- (0)2( )322f

6、xfff 即有320 1d Ixxx 利利用用龍龍貝貝格格算算法法求求的的近近似似值值, ,要要求求二二分分三三次次。例例3 3k k0 01 12 23 3( )0kT( )1kT( )2kT( )3kT14.230249511.171369910.443796810.266367210.151743410.201272510.207224010.204574410.207669110.2076207解解：計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果列列表表如如下下：3201d 10.2076691xxx 例例4 4：用改良尤拉公式求解初值問(wèn)題：用改良尤拉公式求解初值問(wèn)題 要求取步長(zhǎng)h=0.1，計(jì)算y(0.1)及y(0

7、.2)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保管5位. 解 設(shè)f(x,y)=-2xy2 , x0=0,y0=1, 改良尤拉公式為 220(0)1yxyy )(21),(),(11cpipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy2211221()2piiiciipipcyyhx yyyhxyyyy 于是有由y0=1計(jì)算得12(0.1)0.99,(0.2)0.961366yyyy20.9703900.9523330.961366pcyyy 110.980.99pcyyy 932184326AAAJacobiGaussSeidelAJacobiGaussSeidelxbxbxb 例例5 5設(shè)設(shè)的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣

8、陣分分別別寫寫出出解解方方程程組組的的、和和超超松松弛弛迭迭代代公公式式( (= =1 1. .0 05 5) )，并并判判斷斷解解的的迭迭代代法法和和迭迭代代法法的的收收斂斂性性。112233| 9 | 2| 3| | 8 | 1| 4| 6 | 3| 2|aaaAJacobiGaussSeidel 解解： 迭迭代代法法略略. .因因?yàn)闉?，即即是是?yán)嚴(yán)格格對(duì)對(duì)角角占占優(yōu)優(yōu)矩矩陣陣，故故迭迭代代法法和和迭迭代代法法收收斂斂。例 6 知x=-1, 1, 2, 4對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=3, 1, -1, 3，作三次Newton插值多項(xiàng)式. 解 首先構(gòu)造差商表 xi f(xi) 一階差商 二階差商 三階

9、差商 -1 3 1 1 -1 2 -1 -2 -1/3 4 3 2 4/3 1/3 三次Newton插值多項(xiàng)式為311( )3-(1)(1)(1)(1)(1)(2)33Nxxxxxxx123246349251134xxx 例例7:7:用矩陣的直接三角分解法解方程組用矩陣的直接三角分解法解方程組或或 用用 Doolittle 分解法分解法 13246100246492210011011310010112 解解： 14123123100321051411233,1,2yyyyyy (1)(1)解解方方程程組組得得12312324630110100103213953,20220139 53(,)20220Txxxxxxx （2 2）解解方方程程組組得得：，所所以以方方程程組組的的解解為為，。例例8 8：知方程：知方程 在在1.51.5附近有根，把方程附近有根，把方程寫成三寫成三種不同的等價(jià)方式種不同的等價(jià)方式(1) (1) ； (2) (2) 。 試建立相應(yīng)的簡(jiǎn)單迭代格式試建立相應(yīng)的簡(jiǎn)單迭代格式 ，并判，并判別迭代別迭代格式在格式在 附近的收斂性。附近的收斂性。 31 0 xx 31+xx 31xx 211xx 01 5 .x 解：解：1 1 2331113( ),(