信號(hào)與系統(tǒng)第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域

1、第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第第 2 2 章章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 主講教師：盧亞玲主講教師：盧亞玲第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 系統(tǒng)分析的任務(wù)系統(tǒng)分析的任務(wù):在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。在給定系統(tǒng)和輸入的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析:是指信號(hào)與系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所是指信號(hào)與系統(tǒng)的整個(gè)分析過程都在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行，即所涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間涉及的函數(shù)自變量均為連續(xù)時(shí)間t t的一種分析方法。的一種

2、分析方法。 系統(tǒng)時(shí)域分析法包含兩方面內(nèi)容：系統(tǒng)時(shí)域分析法包含兩方面內(nèi)容：微分方程求解；利用單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)輸出零狀態(tài)響應(yīng)微分方程求解；利用單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)輸出零狀態(tài)響應(yīng) 。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解(微分方程建立、復(fù)習(xí)解法、重點(diǎn)說明微分方程建立、復(fù)習(xí)解法、重點(diǎn)說明解的物理含義解的物理含義)2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)的物理含義沖激響應(yīng)的物理含義2.3卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì)2.4 用算子符號(hào)表示微分方程用算子符號(hào)表示微分方程 第第 2 2 章章 連續(xù)信

3、號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立和微分方程求解系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立和微分方程求解2.1.1、R.L.C上的上的e(t)i(t)1.電阻電阻數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型)()()(1)(tRiteteRti第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.電感電感數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型deLtidttdiLtet)(1)()()(第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.電容電容數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型diCtedttdeCtit)(1)()()(第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 12y tftf

4、t4、求和、求和第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 5、分支、分支 123ftftft第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.1.2 LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、電路微分方程的導(dǎo)出：一、電路微分方程的導(dǎo)出： 列方程的基本依據(jù)：列方程的基本依據(jù)： 1 1、元件特性約束：方程。、元件特性約束：方程。 2 2、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：、網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：KCLKCL、KVLKVL方程。方程。 列方程的基本方法：列方程的基本方法： 節(jié)點(diǎn)分析法和回路分析法。節(jié)點(diǎn)分析法和回路分析法。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

5、連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2-1、圖、圖2-1所示為所示為RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓的端電壓 與激勵(lì)源與激勵(lì)源 間的關(guān)系間的關(guān)系)(tv)(tis)(tis)(tvRRiLiCiLC圖圖2-1)(1)(tvRtiRdvLtitL)(1)(dttdvCtiC)()(第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 對(duì)整個(gè)電路，根據(jù)基爾霍夫電流定律有對(duì)整個(gè)電路，根據(jù)基爾霍夫電流定律有)()()()(titititiSCLR代入它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式并化簡(jiǎn)得到代入它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式并化簡(jiǎn)得到)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS

6、電路的數(shù)學(xué)模型是常電路的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)的微分方程系數(shù)的微分方程結(jié)論：結(jié)論：LTI系統(tǒng)可以用常系數(shù)的微分方程來描述系統(tǒng)可以用常系數(shù)的微分方程來描述第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 二、二、 LTI系統(tǒng)的輸入系統(tǒng)的輸入-輸出方程的一般形式輸出方程的一般形式tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn0111101111. 式中式中a an-1n-1，a a1 1，a a0 0和和b bm m，b bm-1m-1，b b1 1，b b0 0均為常數(shù)。均為常數(shù)。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

7、連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 什么是起始狀態(tài)、什么是起始狀態(tài)、初始條件初始條件響應(yīng)區(qū)間：激勵(lì)信號(hào)加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變響應(yīng)區(qū)間：激勵(lì)信號(hào)加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化的區(qū)間化的區(qū)間。一般把激勵(lì)加入的時(shí)刻定為一般把激勵(lì)加入的時(shí)刻定為t=0t=0所以系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間為所以系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間為t0注意：這就是系統(tǒng)響應(yīng)注意：這就是系統(tǒng)響應(yīng)r(t)的定義域的定義域第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 起始狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入之前瞬起始狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入之前瞬間有一組狀態(tài)間有一組狀態(tài))0(),.,0()0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk、稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（

8、0-狀態(tài)）狀態(tài)）注意：時(shí)刻點(diǎn)是注意：時(shí)刻點(diǎn)是0-0-包含系統(tǒng)的全部過去信息包含系統(tǒng)的全部過去信息第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 初始條件：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入后瞬間初始條件：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入后瞬間有一組狀態(tài)有一組狀態(tài))0(),.,0()0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk、稱為系統(tǒng)的初始條件（稱為系統(tǒng)的初始條件（0+狀態(tài)）狀態(tài)）注意：時(shí)刻點(diǎn)是注意：時(shí)刻點(diǎn)是0+0+，它是系統(tǒng)響，它是系統(tǒng)響應(yīng)區(qū)間內(nèi)的一組狀態(tài)，所以用它應(yīng)區(qū)間內(nèi)的一組狀態(tài)，所以用它來確定完全響應(yīng)中的常數(shù)來確定完全響應(yīng)中的常數(shù)第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域

9、分析 三三 微分方程的解微分方程的解（一）、經(jīng)典法：（經(jīng)典法：（P4547）全解分解：全解分解： 全解全解=齊次解齊次解+特解特解方法：方法：Step1: 由特征方程求特征根得齊次解通式；由特征方程求特征根得齊次解通式；Step2: 由輸入定特解；由輸入定特解；Step3: 由初始條件定通解的常數(shù)由初始條件定通解的常數(shù),求出全解。求出全解。)()()(trtrtrph第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 step1.齊次解齊次解 齊次解滿足齊次微分方程齊次解滿足齊次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等數(shù)

10、學(xué)經(jīng)典理論知，由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的該齊次微分方程的特征方程為特征方程為n+an-1n-1+a1+a0=0得到得到n個(gè)根個(gè)根1，2，n第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 (1)(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同( (即即無重根無重根) )，則微分方程的齊次解則微分方程的齊次解(2) (2) 特征根有特征根有重根重根。若。若1 1是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其余，而其余(n-)(n-)個(gè)根個(gè)根+1+1，+2+2，n n都是單根，則微分方程的齊次解都

11、是單根，則微分方程的齊次解1( )inthiiy tce(211)(212) n n階微分方程的齊次解的系數(shù)階微分方程的齊次解的系數(shù)n n個(gè)系數(shù)由初始條件確定個(gè)系數(shù)由初始條件確定 nitiitiihiecetcty111)(第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例22 22 求微分方程的齊次解。求微分方程的齊次解。y(t)+3yy(t)+3y(t)+2y(t)=f(t) (t)+2y(t)=f(t) 解：由特征方程：解：由特征方程：2 2+3+2=0+3+2=0 解得特征根解得特征根1 1=-1=-1，2 2=-2=-2。 因此該方程的齊次解因此該方程的齊次解

12、y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2e e-2t-2t 例例2323求微分方程求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的的齊次解。齊次解。 解解 由特征方程由特征方程2 2+2+1=0+2+1=0解得二重根解得二重根1 1=2 2=-1=-1，因此該方程的齊次解因此該方程的齊次解 y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2tete-t-t 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 Step2:特解特解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的

13、形式有關(guān)。 表表2121列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)f(t)f(t)及其所對(duì)應(yīng)的及其所對(duì)應(yīng)的特征解特征解y yp(p(t)t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)出其待定系數(shù)P Pi i，就可得出特解，就可得出特解，具體步驟如下具體步驟如下：(1)(1)由激勵(lì)查表由激勵(lì)查表2-1(2-1(書上書上P46P46表表2-2)2-2)試選特解試選特解 (2)(2)將激勵(lì)代入原方程右邊，整理得自由項(xiàng)；并將將激勵(lì)代入原方程右邊，整理得自由項(xiàng)；并將試選特解代入原方程左邊試選特解代入原方程左邊(3)(3)根據(jù)方程兩端對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等

14、，即可解根據(jù)方程兩端對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，即可解出中待定系數(shù)出中待定系數(shù)PiPi 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 表表21 激勵(lì)函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的解激勵(lì)函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的解 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2424若輸入激勵(lì)若輸入激勵(lì)f(t)=ef(t)=e-t-t，試求微分方程，試求微分方程y(t)+3y (t)+2y(t)= f(t)y(t)+3y (t)+2y(t)= f(t)的特解。的特解。 解解: :查表查表2121，因?yàn)?，因?yàn)閒(t)=ef(t)=e-t-t，=-1=-1與一個(gè)與一個(gè)特征根特征根1 1=-1=-

15、1相同，因此該方程的特解相同，因此該方程的特解1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt將特解將特解y yp p(t)(t)代入微分方程，有代入微分方程，有第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 Step3:求出完全解求出完全解 完全解是齊次解與特解之和完全解是齊次解與特解之和 （1 1）如果微分方程的特征根全為單根，則微分）如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為方程的全解為1( )( )intipiy tceyt(215)（2） 當(dāng)特征根中當(dāng)特征根中1 1為為重根，而其余重根

16、，而其余(n-)(n-)個(gè)個(gè)根均為單根時(shí)，方程的全解為根均為單根時(shí)，方程的全解為111( )( )inttiipijy tctece jyt (216) 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 如果微分方程的特征根都是單根，則方程的如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為式完全解為式(215)(215)，將給定的初始條件分別代，將給定的初始條件分別代入到式入到式(215)(215)及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組 y(0)=c1+c2+cn+yp(0)y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=1n-1 c1+2n-1

17、c2+nn-1 cn+y(n-1)p(0)解方程組，解方程組，由此可求出要求的待定常數(shù)由此可求出要求的待定常數(shù) c ci i(i=1,2(i=1,2n)n)第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例225225求微分方程求微分方程r(t)+r(t)+3r (t)+2 r(t)=f(t)+2 r(t)=f(t)的齊的齊次解次解, ,若輸入激勵(lì)若輸入激勵(lì)f(t)=ef(t)=e-t-t , ,試求微分方程的特解。設(shè)試求微分方程的特解。設(shè) 求系統(tǒng)的全解求系統(tǒng)的全解解解 ：由特征方程：由特征方程解得特征根解得特征根因此該方程的齊次解因此該方程的齊次解02322, 121

18、ttheAeAtr221)(0)0()0(rr第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 查表查表22（P46），因?yàn)椋?，因?yàn)閒(t)=e-t中中=-1，與一個(gè)，與一個(gè)特征根特征根1=-1相同，因此該方程的特解相同，因此該方程的特解tptetr)(所以系統(tǒng)的全響應(yīng)為所以系統(tǒng)的全響應(yīng)為)()()()()(221tuteeAeAtrtrtrtttph第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 用初始條件確定常系數(shù)：用初始條件確定常系數(shù)：由初始條件得到一組方程組由初始條件得到一組方程組0)0()0(rr01200)()0( 0)0(21210221

19、0221AAAAteeAeAdtdrteeAeArtttttttt即解得：解得：1121AA全解：全解：)()()(2tuteeetrttt第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 經(jīng)典法解的意義：經(jīng)典法解的意義：)()()(trtrtrph)()(1tutreApnitii系統(tǒng)的自由響應(yīng)系統(tǒng)的自由響應(yīng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)特征根稱為系統(tǒng)的固有頻率或自特征根稱為系統(tǒng)的固有頻率或自由頻率、自然頻率，它決定了自由頻率、自然頻率，它決定了自由響應(yīng)的全部形式由響應(yīng)的全部形式只與激勵(lì)函數(shù)的形式只與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)有關(guān)表示解區(qū)表示解區(qū)間間第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系

20、統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 由起始狀態(tài)由起始狀態(tài)(0-狀態(tài)狀態(tài))求初始條件求初始條件(0+狀態(tài)狀態(tài))方法一：方法一： 根據(jù)根據(jù)元件特性約束元件特性約束和和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束與與換路定換路定理理求初始條件求初始條件P P5757 例例2-2-6 6第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 方法二：沖激函數(shù)匹配法方法二：沖激函數(shù)匹配法 當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)已有微分方程已有微分方程時(shí)使用該法。時(shí)使用該法。 沖激匹配法是指沖激匹配法是指為為保持保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)方程式的方程式的恒等恒等，方程式兩邊所具有的，方程式兩邊所具有的沖激信沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)

21、數(shù)號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須必須相等相等。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例2-6 2-6 已知系統(tǒng)微分方程式為已知系統(tǒng)微分方程式為)( 3)(3)( ttrtr給定給定0-0-狀態(tài)起始值狀態(tài)起始值r(0-),r(0-),確定它的確定它的0+0+狀態(tài)狀態(tài)r(0+)r(0+)解：由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)解：由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)(t)(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)r r(t)(t)也必須含有也必須含有(t)(t)。所以設(shè)。所以設(shè))()()( )( tuctbtatr第第 2 2 章章 連續(xù)信

22、號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 將將r (t)代入方程得到代入方程得到)( 3)(3)(3)()()( ttubtatuctbta解得：解得：a=3,b=-9,c=27所以所以)()0()0(tubrr有：)0(9)(9)0()0(rturr有：第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 該方法要注意兩個(gè)問題：該方法要注意兩個(gè)問題：第一，注意第一，注意u(t)u(t)的意義的意義1.1.時(shí)刻為時(shí)刻為0-0-到到0+0+時(shí)刻；時(shí)刻；2.2.在這段時(shí)間具有單位階躍信號(hào)的函數(shù)特點(diǎn)，在這段時(shí)間具有單位階躍信號(hào)的函數(shù)特點(diǎn)，所以其微分是單位沖激信號(hào)，而其積分所以其微分

23、是單位沖激信號(hào)，而其積分第二，沖激函數(shù)匹配法的第二，沖激函數(shù)匹配法的關(guān)鍵關(guān)鍵是設(shè)出響應(yīng)最高是設(shè)出響應(yīng)最高階的表達(dá)式：響應(yīng)的最高階階的表達(dá)式：響應(yīng)的最高階= =方程右端最高階及方程右端最高階及其依次積分項(xiàng)的線性疊加。其依次積分項(xiàng)的線性疊加。沖激函數(shù)匹配法也是對(duì)微分方程右端含有沖激沖激函數(shù)匹配法也是對(duì)微分方程右端含有沖激函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的方程求解的方法。函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的方程求解的方法。 0)(1)()(00tdtdtu第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 （二）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（二）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng))()()(trtrtrzszi系統(tǒng)的全解分解成系統(tǒng)的

24、全解分解成：零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)： （zeroinput response）沒有沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用下，只有外加激勵(lì)信號(hào)的作用下，只有起始狀態(tài)起始狀態(tài)（起（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。The zeroinput response is the response that exists due to initial condition (or initial state) alone with the input e(t)=0.第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 零輸入響應(yīng)的解零輸入響應(yīng)的解的形式：的形式：nitziizii

25、eAtr1)(它是齊次解的一部分，其常系數(shù)由起始狀態(tài)確定它是齊次解的一部分，其常系數(shù)由起始狀態(tài)確定0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCzinzinzinnzinn零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)滿足滿足方程方程及及起始狀態(tài)起始狀態(tài)的解的解。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用下（起起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用下（起始狀態(tài)為零），由系統(tǒng)始狀態(tài)為零），由系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。所產(chǎn)生的響應(yīng)。The zero-state response component due to s

26、ources or inputs.零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程)()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及起始狀態(tài)及起始狀態(tài)1, 1 , 0, 0)0(nkrk 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 零狀態(tài)響應(yīng)的解的形式：零狀態(tài)響應(yīng)的解的形式：)()(1tBeAtrnjtzsjzsj它含有齊次解的一部分及強(qiáng)迫響應(yīng)。它含有齊次解的一部分及強(qiáng)迫響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的求解：時(shí)域解法同經(jīng)典法解方程；零狀態(tài)響應(yīng)的求解：時(shí)域解法同經(jīng)典法解

27、方程； 卷積法卷積法第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 系統(tǒng)全解為系統(tǒng)全解為：)()()(11tutBeAeAtrnjtzsjnitziiji第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 （三）瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（三）瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)tDefinition: 當(dāng)當(dāng)時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)，時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)，保留下來的那部分分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。保留下來的那部分分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。)()()(2tuteeetrttt例例2-2中中全部都是瞬態(tài)分量，穩(wěn)態(tài)分量為全部都是瞬態(tài)分量，穩(wěn)態(tài)分量為0第第 2 2

28、 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 總結(jié)：總結(jié)： 由于由于研究方法研究方法和和目的目的的的不同不同可以有不同的解可以有不同的解的分解形式的分解形式。 全解零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全解零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (transient response)+ (steady-state response) 自然響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自然響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng) (natural response)+ (force response) 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng)1、沖

29、激響應(yīng)定義：沖激響應(yīng)定義： Impulse response , denoted h(t), of a fixed, linear system assumed initially unexcited, is the response of the system to a unit impulse applied at time t=0. 沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)沖激響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)單位沖激信號(hào)輸入單位沖激信號(hào)輸入時(shí)的時(shí)的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)。記為：記為：)(th第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 可見，沖激響應(yīng)滿足：可見，沖激響應(yīng)滿足：（1）微分方程：）微分方程：)()

30、()()()()()()(1111011110tEtdtdEtdtdEtdtdEthCthdtdCthdtdCthdtdCmmmmmmnnnnnn（2）起始條件：）起始條件：1, 1 ,0,0)0(nkhk第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2、沖激響應(yīng)的時(shí)域求解：、沖激響應(yīng)的時(shí)域求解：將將 沖激響應(yīng)分解成：沖激響應(yīng)分解成：方程右邊在方程右邊在 時(shí)都等于零時(shí)都等于零 解特征方程，注意：解特征方程，注意：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，與齊次解的形式相同時(shí)，與齊次解的形式相同當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由特征方程解的特征根得的是齊次解時(shí)，由特征方程解的特征根得的是齊次解 。其中還應(yīng)含有沖激響應(yīng)及其相應(yīng)

31、的各階導(dǎo)數(shù)。其中還應(yīng)含有沖激響應(yīng)及其相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)。 )()()(thththph 0tmn mn n求得的求得的 中還有待定系數(shù)中還有待定系數(shù) ，待定系數(shù)由，待定系數(shù)由 1, 1 , 0, 0)0(nkhk確定確定 )(th第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 二二.階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)1 1、階躍響應(yīng)的、階躍響應(yīng)的定義定義： Step response is a Step response is a zero state zero state responseresponse of a fixed ,linear system to of a fixed ,li

32、near system to a a unit step functionunit step function applied at time applied at time t=0.t=0. 階躍響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)階躍響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)輸入時(shí)輸入時(shí)的的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)記作階躍響應(yīng)記作g(t)g(t)。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 dttdgthdhtgt2、階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系：、階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的關(guān)系：3 3、階躍響應(yīng)的求解、階躍響應(yīng)的求解方法一：用求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法。方法一：用求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法。方法二：利用方法

33、二：利用 與與 的關(guān)系求解。的關(guān)系求解。)(tg)(th第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )(t三、沖激響應(yīng)的重要意義三、沖激響應(yīng)的重要意義1 1、任意信號(hào)都可以用沖激信號(hào)的組合表示、任意信號(hào)都可以用沖激信號(hào)的組合表示dtete)()()(2 2、線性時(shí)不變系統(tǒng)的、線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸入與其與其相應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)相應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)之之間的間的關(guān)系關(guān)系 （1 1）設(shè)系統(tǒng)變換為）設(shè)系統(tǒng)變換為T T ，系統(tǒng)輸入為，系統(tǒng)輸入為 ，則，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 為：為：)(th)()(tTth第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )

34、()(thtTdtete)()()()()()()()()()()()()()(txthtrdthedtTedteTteTtrzszs（2）設(shè)系統(tǒng)變換為）設(shè)系統(tǒng)變換為T ，系統(tǒng)輸入為，系統(tǒng)輸入為 ，則系統(tǒng)的零，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng) 為：為：系統(tǒng)變換的變系統(tǒng)變換的變量是量是 t系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)所系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)所以有以有)(te)(trzs稱為卷積稱為卷積第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 )(th)(te)(trzs系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)可以表示可以表示系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性，單位沖激單位沖激響應(yīng)的性質(zhì)響應(yīng)的性質(zhì)可以表示系統(tǒng)的可以表示系統(tǒng)

35、的因果性和穩(wěn)定性因果性和穩(wěn)定性，它是，它是分析分析LTILTI系統(tǒng)的重要手段。系統(tǒng)的重要手段。)()()(thtetrzs第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.3 卷積積分卷積積分 2.3.1 卷積的定義卷積的定義 設(shè)設(shè)f1(t)和和f2(t)是定義在是定義在(-，)區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，我們將積分我們將積分 dtff)()(21定義為定義為f1(t)和和f2(t)的卷積的卷積 (Convolution)， 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 )()(21tftf第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 即即 dtfftf

36、tf)()()()(2121 式中，式中，為虛設(shè)積分變量，為虛設(shè)積分變量， 積分的結(jié)果為積分的結(jié)果為另一另一個(gè)新的個(gè)新的時(shí)間信號(hào)。時(shí)間信號(hào)。 積分限根據(jù)積分限根據(jù)f1(t)和和f2(t)的作用時(shí)間范圍而變化的作用時(shí)間范圍而變化第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.3.2 卷積的圖解機(jī)理卷積的圖解機(jī)理 信號(hào)信號(hào)f1(t)與與f2(t)的卷積運(yùn)算可通過以下幾個(gè)步驟來完成：的卷積運(yùn)算可通過以下幾個(gè)步驟來完成： 第一步，畫出第一步，畫出f1(t)與與f2(t)波形，將波形圖中的波形，將波形圖中的t軸改換成軸改換成軸，軸，分別得到分別得到f1()和和f2()的波形。的

37、波形。 第二步，將第二步，將f2()波形反褶，得到波形反褶，得到f2(-)波形。波形。 第三步，第三步，給定給定一個(gè)一個(gè)t值，將值，將f2(-)波形沿波形沿軸平移軸平移|t|。在。在t00時(shí)，波形往時(shí)，波形往右右移移。這樣就得到了。這樣就得到了f2(t-)的波的波形。形。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第四步，將第四步，將f1()和和f2(t-)相乘，得到卷積積分式中的被積相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)函數(shù)f1()f2(t-)。 第五步，計(jì)算乘積信號(hào)第五步，計(jì)算乘積信號(hào)f1()f2(t-)波形與波形與軸之間包含的軸之間包含的凈面積凈面積，便，便是是式式

38、(2.2 - 1)卷積在卷積在t t時(shí)刻的值時(shí)刻的值。 第六步，令變量第六步，令變量t在在(-，)范圍內(nèi)變化，范圍內(nèi)變化，重復(fù)重復(fù)第三、四、第三、四、五步操作，最終得到卷積信號(hào)五步操作，最終得到卷積信號(hào)f1(t)*f2(t)。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 2.3 1 給定信號(hào)給定信號(hào) )()() 3()()(21tuetftututft求求y(t)=f1(t)*f2(t)。 圖圖 2.2 1 f1(t)和和f2(t)波形波形 01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

39、圖圖 2.2 2 卷積的圖解表示卷積的圖解表示 01234f1()1o1f1()1f2( )t0t310t3f2( )t(c) t0(d) 0 t 310t3t03y(t)y(3)(e) t3(f )f2( )(a)(b)f1()f1()f2( )t當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，對(duì)任一時(shí)，對(duì)任一，乘積，乘積f1()f2(t-)恒為零，故恒為零，故y(t)=0。當(dāng)當(dāng)0t33時(shí)，時(shí)，f f2 2( (t t-)-)波形如圖波形如圖2.2-2(e)2.2-2(e)所示，所示，此時(shí)，僅在此時(shí)，僅在0303范圍內(nèi)，乘積范圍內(nèi)，乘積f f1 1( () )f f2 2( (t t- -) ) 不為零，故有不為零，故有第第

40、2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，f2(t-)波形如圖波形如圖2.2-2(c)所示，對(duì)任一所示，對(duì)任一，乘積，乘積f1()f2(t-)恒為零，故恒為零，故y(t)=0。 當(dāng)當(dāng)0t3時(shí)，時(shí)，f2(t-)波形如圖波形如圖2.2-2(e)所示，此時(shí)，僅在所示，此時(shí)，僅在03范圍內(nèi)，乘積范圍內(nèi)，乘積f1()f2(t-) 不為零，故有不為零，故有 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2.3.3 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)(一一)時(shí)移性質(zhì)和卷積代數(shù)時(shí)移性質(zhì)和卷積代數(shù) 1. 時(shí)移時(shí)移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-

41、t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0) =f1(t-t0-t1)*f2(t) =f1(t)*f2(t-t0-t1) (2.3-7) 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 令令-t0=x， 代入上式，代入上式， 得得)()()()()()(102112011201tttftfdttftfttfttf 同理可證式同理可證式(2.5-7)的其它形式。的其它形式。 當(dāng)當(dāng)f1(t)、 f2(t)、 f3(t)分別滿足可積條件時(shí)，分別滿足可積條件時(shí)， 一些代一些代數(shù)性質(zhì)也適合卷積運(yùn)算。數(shù)性質(zhì)也適合卷積運(yùn)算。 dttftfttfttf)()()()(12011201證證第

42、第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2. 交換律交換律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) (2.3-8) h(t)f (t)y (t)f (t)h(t)y (t)圖圖 2.3-3 交換律的實(shí)用定義交換律的實(shí)用定義 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 3. 分配律分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.3-9) 式式(2.3-9)實(shí)際應(yīng)用意義如圖實(shí)際應(yīng)用意義如圖2.3-4所示。所示。 f2(t) f3(t)f1(t)y (t)f2(t)f3(t)f1(t)y

43、(t)圖圖 2.3-4 分配律的實(shí)用定義分配律的實(shí)用定義第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖圖 2.3-5 結(jié)合律的實(shí)用定義結(jié)合律的實(shí)用定義f2(t)f3(t)f1(t)y (t)f2(t) f3(t)f1(t)y (t)*4. 結(jié)合律結(jié)合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) (2.3-10)實(shí)用定義實(shí)用定義第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 （二）（二） 任意函數(shù)與任意函數(shù)與(t)、 u(t)卷積卷積 1 f(t)*(t)=f(t) (2.3-11) 證證 )()()()()()()(

44、tfdttfdtfttf第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 2 f(t)*(t-t1)=f(t-t1) (2.3-12)證證 )()()()()()()(11111ttfdttttfdttftttf第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 由式由式(2.3-12)可知，任意函數(shù)與可知，任意函數(shù)與(t-t1)卷積，相當(dāng)卷積，相當(dāng)于該信號(hào)通過一個(gè)延時(shí)（移位）器，如圖于該信號(hào)通過一個(gè)延時(shí)（移位）器，如圖2.3-6所示。所示。 圖圖 2.3-6 (t t1)f (t)f (tt1)延時(shí) t1f (t)f (tt1)第第 2 2 章章 連續(xù)信

45、號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 3 dftutft)()()(2.3-13) 由式由式(2.3-13)可知，可知， 任意函數(shù)與任意函數(shù)與u(t)卷積，卷積， 相當(dāng)于信號(hào)通相當(dāng)于信號(hào)通過一個(gè)積分器，過一個(gè)積分器， 如圖如圖2.3-7所示。所示。 圖圖 2.3-7 u(t)f (t)y (t)f (t)y (t)第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 推廣到一般情況推廣到一般情況)()()()()()(0)(0)()()(ttftttftfttfkkkkk取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)階次，取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)階次， k取負(fù)整數(shù)時(shí)表取負(fù)整數(shù)時(shí)表示重積分的次數(shù)示重積分的次

46、數(shù)第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 (三三) 卷積的微分、卷積的微分、 積分性質(zhì)積分性質(zhì)與信號(hào)的運(yùn)算相似，卷積也有微分、與信號(hào)的運(yùn)算相似，卷積也有微分、 積分性質(zhì)，積分性質(zhì)， 但與信號(hào)但與信號(hào)的微分、的微分、 積分運(yùn)算有所區(qū)別積分運(yùn)算有所區(qū)別。1 微分微分對(duì)兩個(gè)函數(shù)的卷積函數(shù)對(duì)兩個(gè)函數(shù)的卷積函數(shù)微分微分， 等于對(duì)其中一個(gè)等于對(duì)其中一個(gè)被被積積函數(shù)函數(shù)微分后微分后再卷積。再卷積。)()()()()()(212121tfdtdtftftfdtdtftfdtd(2.3-14) 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 證證 )()()(

47、)()()(212121tfdtdtfdtfdtdfdtffdtd由卷積的第二種形式，由卷積的第二種形式， 同理可證同理可證)()()()(2121tftfdtdtftfdtd第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 dftfdftfdffttt)()()()()()(122121 (2.3-15) 2. 積分積分對(duì)兩個(gè)函數(shù)的卷積函數(shù)對(duì)兩個(gè)函數(shù)的卷積函數(shù)積分積分， 等于對(duì)其中一個(gè)等于對(duì)其中一個(gè)被被積函數(shù)積分積函數(shù)積分后后再再卷積。卷積。第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 證證 dftfddffddffdfftttt)()()()()

48、()()()(21212121由卷積的第二種形式同理可證由卷積的第二種形式同理可證 dftfdfftt)()()()(1221第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 應(yīng)用類似的推導(dǎo)，應(yīng)用類似的推導(dǎo)， 可導(dǎo)出卷積的可導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)和和多重積分多重積分的運(yùn)算規(guī)律。的運(yùn)算規(guī)律。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 3 微、微、 積分性。積分性。 若若 y(t)=f1(t)*f2(t) 則則 y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t) (2.3-16) 其中其中, , i、j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次；取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)

49、的階次； i、 j取取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的階次。負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的階次。 特別地特別地, , dfdttdfdfdttdftftftytt)()()()()()()(122121 (2.3-17) 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 證證 )()()()()( )()()()()(2121212121tftftffdfdtdfdffdtddfdttdfttt第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 利用式利用式(2.3-16)的結(jié)果，的結(jié)果， 可由可由f(t)與與h(t)的卷積公的卷積公式，式， 推出推出f(t)與階躍響應(yīng)與階躍響應(yīng)g

50、(t)的卷積公式，的卷積公式， 即即)()()()()()()(tgtfdhtfthtftyt(2.3-18) 式中，式中， g(t)是系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)的零狀態(tài)是系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)，也簡(jiǎn)稱單位階躍響應(yīng)。響應(yīng)，也簡(jiǎn)稱單位階躍響應(yīng)。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 2.3 2 計(jì)算常數(shù)計(jì)算常數(shù)K與信號(hào)與信號(hào)f(t)的卷積積分。的卷積積分。 解解 直接按卷積定義，直接按卷積定義， 可得可得 )()()()(波形的凈面積tfKdKfKtftfK常數(shù)常數(shù)K與任意信號(hào)與任意信號(hào)f(t)的卷積值等于該信號(hào)波形凈面積值的的卷積值等于該信號(hào)波形凈面積值的

51、K倍。倍。 如果應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)來求解，將導(dǎo)致如果應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)來求解，將導(dǎo)致 dfKdtdtfKt)()(第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 2.3 3 圖圖2.3 - 5(a)所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱矩形脈沖，用符號(hào)矩形脈沖，用符號(hào)g(t)表示，其幅度為表示，其幅度為1，寬度為，寬度為，求卷積，求卷積積分積分g(t)*g(t)。 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 例例 2.3 3 圖圖2.3 - 5(a)所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常稱所示為門函數(shù)，在電子技術(shù)中常

52、稱矩形脈沖，用符號(hào)矩形脈沖，用符號(hào)g(t)表示，其幅度為表示，其幅度為1，寬度為，寬度為，求卷積，求卷積積分積分g(t)*g(t)。 解解 方法一方法一 圖解法。由于門函數(shù)是偶函數(shù)，故其波形繞縱圖解法。由于門函數(shù)是偶函數(shù)，故其波形繞縱軸翻轉(zhuǎn)軸翻轉(zhuǎn)180后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，后與原波形重疊，圖中用虛線表示。注意，t=0時(shí)，時(shí)，門函數(shù)左邊沿位于門函數(shù)左邊沿位于x=-/2位置，右邊沿位于位置，右邊沿位于x=/2位置，如圖位置，如圖2.3 - 5(b)所示。在任一所示。在任一t時(shí)刻，移動(dòng)門函數(shù)左邊沿位于時(shí)刻，移動(dòng)門函數(shù)左邊沿位于x=t-/2位置，位置， 右邊沿則位于右邊沿則位于x=t+

53、/2位置，如圖位置，如圖2.3 - 5(c)所示。按照?qǐng)D所示。按照?qǐng)D2.2- 5中中卷積過程的圖解表示，可計(jì)算求得：卷積過程的圖解表示，可計(jì)算求得： 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 圖圖 2.3 5 例例2.3 - 3方法一圖方法一圖 22ot1g (t)22ox1g ( x) g (x)22ox1 12t2tg (t x)(t 0)g (t x)(t 0)(b) t 0(c) t 0 , t 022to12t2ox1tg (t)g (t)*(d) t 0(e) 0 t(f )ox(a)tt積分區(qū)間積分區(qū)間0t,2t積分區(qū)間積分區(qū)間 t02,t卷積結(jié)果：三角脈沖卷積結(jié)果：三角脈沖方法一：圖解法方法一：圖解法第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 第第 2 2 章章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析 方法二方法二 應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分和時(shí)移性質(zhì)，應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分和時(shí)移性質(zhì)， 可得可得 )(22)(22)()()()()1()1()1