向量代數-復習課

1、空間解析幾何與空間解析幾何與 向量代數向量代數 復復 習習 課課一、主要內容一、主要內容（一）向量代數（一）向量代數（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何向量的向量的線性運算線性運算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數量積數量積混合積混合積向量的積向量的積向量概念向量概念（一）向量代數（一）向量代數1 1、向量的概念、向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負向量、負向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、(1) 加法：加法：cba 2 2、向

2、量的線性運算、向量的線性運算dba ab(2) 減法：減法：cba dba (3) 向量與數的乘法：向量與數的乘法：設設 是是一一個個數數，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標軸上的分向量：在三個坐標軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標表示式：向量的坐標表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向

3、量的表示法向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式xyzo 1M 2M 由圖分析

4、可知：由圖分析可知： cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式：向量方向余弦的坐標表示式：1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦

5、為222|zyxaaaa 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa )1coscoscos(222 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式4 4、數量積、數量積 cos|baba 其其 中中 為為a與與b的的 夾夾 角角(點積、內積點積、內積)zzyyxxbabababa 數量積的坐標表達式數量積的坐標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式5 5、向量積、向量積 sin|bac

6、 其其 中中 為為a與與b的的 夾夾 角角c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式ba zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合積、混合積例例1 1解：解：共共面面且且，使使，求求一一單單位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yixn 設設由題設條件得：由題設條件得：10 ncn 00n

7、ab 020221222zyzyxzyx解得：解得：).323132(0kjin 解：解：設設向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 設設2P的的坐坐標標為為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數方程參數方程旋轉曲面旋轉曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數

8、方程參數方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點法式方程點法式方程一般方程一般方程空間直角坐標系空間直角坐標系（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o1 1、空間直角坐標系、空間直角坐標系空間的點空間的點有序數組有序數組),(zyxxyoz空空間間直直角角坐坐標標系系共有一個原點共有一個原點,三個坐標軸三個坐標軸,三個坐標面三個坐標面,八個卦限八個卦限. 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點兩點間距離公式兩點間距離公式:曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果

9、曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；那那 么么 ， 方方 程程0),( zyxF就就 叫叫 做做 曲曲 面面S的的 方方 程程 ， 而而曲曲 面面S就就 叫叫 做做 方方 程程 的的 圖圖 形形 .2 2、曲面、曲面(2) 不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方

10、程.1 旋轉曲面旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞其定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱之所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉曲面的這條定直線叫旋轉曲面的軸軸.方程特點方程特點:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方方程程為為軸軸旋旋轉轉所所成成的的旋旋轉轉曲曲面面繞繞曲曲線線方方程程為為軸軸旋旋轉轉所所成成的的旋旋轉轉曲曲面面繞繞曲曲線線設設有有平平面面曲曲線線（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉雙曲面）旋轉雙曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定義：定義：

11、平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的這條定曲線叫柱面的準線準線，動直線叫柱面，動直線叫柱面的的母線母線.從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只 含含yx ,而而 缺缺z的的 方方 程程0),( yxF， 在在空空 間間 直直 角角 坐坐 標標 系系 中中 表表 示示 母母 線線 平平 行行 于于z軸軸 的的 柱柱面面 ， 其其 準準 線線 為為xoy面面 上上 曲曲 線線C.(1) 平面平面 xy (3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2)

12、 圓柱面圓柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定義定義: 三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號與與qpzqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx 3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程 22222)21()21

13、(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數方程為參數方程為3 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面4 空間立體或曲面在坐標

14、面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體空間立體曲面曲面4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點法式方程平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1

15、n2 2n 5 5、空間直線、空間直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo1 2 LxyzosL0M M 3 空間直線的參數方程空間直線的參數方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的夾角公式

16、兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角5 兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm旋轉曲面旋轉曲面定義定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面所成的曲面稱為旋轉曲面

17、. .這條定直線叫旋轉曲面的這條定直線叫旋轉曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz （2）點點M到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞z軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf例例