操作臂動(dòng)力學(xué)

1、No.1第五章第五章 操作臂動(dòng)力學(xué)操作臂動(dòng)力學(xué)No.2一、思路一、思路剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓方程牛頓方程歐拉方程歐拉方程牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程牛頓第二定律牛頓第二定律力和動(dòng)量力和動(dòng)量力矩和動(dòng)量矩力矩和動(dòng)量矩No.3MII 剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)Fma動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程N(yùn)o.4二、連桿慣性張量二、連桿慣性張量 為連桿為連桿Li的慣性張量的慣性張量 。 Hmmijjjjjjjjrvrvjijrv Hmijjijjrr HHHixiyizxxxyxzyxyyyzzxzyzzix

2、iyizIIIIIIIIIHiii I Ii 連桿依質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩連桿依質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩HiNo.5連桿慣性張量連桿慣性張量Ixxjjjjmyz22Iyyjjjjmzx22IIxyyxjjjjm x yIIxzzxjjjjm x zIIyzzyjjjjm y z對(duì)x，y，z軸的慣性矩 jjjjzzyxm22I慣性積 No.6七、歐拉方程七、歐拉方程剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體質(zhì)心的移動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)牛頓方程牛頓方程歐拉方程歐拉方程牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程牛頓第二定律牛頓第二定律力和動(dòng)量力和動(dòng)量力矩和動(dòng)量矩力矩和動(dòng)量矩No.7七、歐拉方程七、歐拉

3、方程剛體剛體S繞繞B軸的旋轉(zhuǎn)慣性矩軸的旋轉(zhuǎn)慣性矩IIm rjjj2l Im In ImnInlIlmIxxyyzzyzzxxy222222l, m, n -為剛體轉(zhuǎn)軸的方向余弦為剛體轉(zhuǎn)軸的方向余弦Mj - Pj的質(zhì)量的質(zhì)量rj- 點(diǎn)點(diǎn)Pj對(duì)對(duì)B軸的旋轉(zhuǎn)半徑軸的旋轉(zhuǎn)半徑 No.8七、歐拉方程七、歐拉方程剛體對(duì)于慣性主軸的慣性矩剛體對(duì)于慣性主軸的慣性矩 Im剛體剛體S繞繞x、y、z軸的慣性矩軸的慣性矩 Imyzxxjjjj()22Imxzyyjjjj()22Imxyzzjjjj()22Im y xIm x zIm y zyxjjjjxzjjjjyzjjjj剛體剛體S繞繞坐標(biāo)系的慣性積坐標(biāo)系的慣性積

4、 Il Im In Imxxyyzz222No.9七、歐拉方程七、歐拉方程剛體剛體S所受的相對(duì)于隨行所受的相對(duì)于隨行 的外力矩的外力矩M為：為： 在移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體S上任上任選固定在剛體上的一點(diǎn)選固定在剛體上的一點(diǎn)O，將，將基準(zhǔn)坐標(biāo)系基準(zhǔn)坐標(biāo)系 原點(diǎn)移至原點(diǎn)移至O點(diǎn)上成點(diǎn)上成為隨行為隨行 ，隨行，隨行 隨隨S移動(dòng)，但移動(dòng)，但不隨不隨S轉(zhuǎn)動(dòng)，以便考察轉(zhuǎn)動(dòng)，以便考察S相對(duì)相對(duì) 的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng).MIIv ddtmgNo.10七、歐拉方程七、歐拉方程MIIv ddtmg隨行坐標(biāo)系隨行坐標(biāo)系 原點(diǎn)不動(dòng)原點(diǎn)不動(dòng) v0MII 的三軸方向和的三軸方向和S S的慣性主軸方向一致的慣性主軸

5、方向一致IIIyxzxzy 0MIIvmmgddtm 0v0 v0MIImm 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)性能的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)性能的歐拉方程歐拉方程ImxxyyzzIII000000剛體剛體S受外力矩受外力矩MNo.11機(jī)器人牛頓機(jī)器人牛頓歐拉動(dòng)力學(xué)歐拉動(dòng)力學(xué)的遞推計(jì)算公式的遞推計(jì)算公式 所有力學(xué)變量均定義于所有力學(xué)變量均定義于一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系中一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系中 作用于第作用于第i號(hào)桿件質(zhì)心上的力號(hào)桿件質(zhì)心上的力及力矩，質(zhì)心線加速度都是相及力矩，質(zhì)心線加速度都是相對(duì)于坐標(biāo)系對(duì)于坐標(biāo)系 描述的矢量描述的矢量 從構(gòu)件從構(gòu)件1到構(gòu)件到構(gòu)件n計(jì)算各構(gòu)件計(jì)算各構(gòu)件的速度和加速度，并對(duì)每個(gè)的速度和加速度，并對(duì)每個(gè)構(gòu)件應(yīng)用

6、牛頓構(gòu)件應(yīng)用牛頓歐拉方程，歐拉方程，初始條件是機(jī)座的確定運(yùn)動(dòng)初始條件是機(jī)座的確定運(yùn)動(dòng) 從構(gòu)件從構(gòu)件n到構(gòu)件到構(gòu)件1計(jì)算計(jì)算各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和反各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和反力，初始條件是已知力，初始條件是已知構(gòu)件構(gòu)件n所受的力及力矩所受的力及力矩 iNo.12描述連桿描述連桿Li動(dòng)力學(xué)性能的方程組動(dòng)力學(xué)性能的方程組 ffgvnfnfIIiii iiiiiiiiiii ii iiiiiiiimmGOGO1111111,() vi連桿連桿Li作為力學(xué)隔離體作為力學(xué)隔離體質(zhì)心的移動(dòng)用牛頓方程質(zhì)心的移動(dòng)用牛頓方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)用歐拉方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)用歐拉方程 No.13L1連桿的牛頓歐拉方程組連桿的牛頓歐拉方程組 2

7、.封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程ffgvnfnfI0 11 21110 10 1101 21 21111,mmG OG O L2連桿的牛頓歐拉方程組連桿的牛頓歐拉方程組 fgvnfI1 22221 21 22122,mmG O 兩個(gè)自由度的機(jī)器人手臂兩個(gè)自由度的機(jī)器人手臂 No.14兩個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉顯式方程兩個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉顯式方程2.封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程nIIm l lmlm lm lIm lm l lm l lm l lm lmlm lgzzzzzz11122 1 2221 1122 122 222122 2222 1 22222

8、 1 222222 1 222122 22121 1112 1122 coscossinsin sin()sinsin nIm lm l lIm lm l lm l gzzzz2222 2222 1 222122 22222 1 222122 2212cossinsin 它給出了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和以機(jī)器手臂位姿為參數(shù)的各它給出了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和以機(jī)器手臂位姿為參數(shù)的各關(guān)節(jié)角速度和角加速度之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系關(guān)節(jié)角速度和角加速度之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。No.15N個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉普遍方程個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉普遍方程2.封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程 式中變參數(shù)式中變參數(shù)Dij，Dijk

9、，Di都是各關(guān)節(jié)角位移和構(gòu)都是各關(guān)節(jié)角位移和構(gòu)件尺寸的函數(shù)。件尺寸的函數(shù)。兩自由度手臂的兩自由度手臂的牛頓歐拉方程：牛頓歐拉方程：1,2,1,2, ,iiiijjjiNnnjk 構(gòu)件尺寸nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN , , 12111221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.162.封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程 所有上述系數(shù)都和機(jī)器人的終端位姿及整機(jī)所有上述系數(shù)都和機(jī)器人的終端位姿及整機(jī)形態(tài)有關(guān)，這些系數(shù)都是變系數(shù)。形態(tài)有關(guān)，這些系數(shù)都是變系數(shù)。 機(jī)器人作為多剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它的牛頓機(jī)器人作為多剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，

10、它的牛頓歐拉方程組中各個(gè)變量并不都是獨(dú)立的。為了歐拉方程組中各個(gè)變量并不都是獨(dú)立的。為了得到機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中各關(guān)節(jié)輸入轉(zhuǎn)矩和各得到機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中各關(guān)節(jié)輸入轉(zhuǎn)矩和各關(guān)節(jié)角位移運(yùn)動(dòng)輸出之間的顯式關(guān)系，需要作關(guān)節(jié)角位移運(yùn)動(dòng)輸出之間的顯式關(guān)系，需要作代數(shù)消元和矢量運(yùn)算。代數(shù)消元和矢量運(yùn)算。 No.17機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程的普遍形式的普遍形式 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程 牛頓歐拉方程牛頓歐拉方程 拉格朗日方程拉格朗日方程 各個(gè)連桿的力矩平衡各個(gè)連桿的力矩平衡 系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能NjQqLqLdtdjjjj, 2 , 1拉格朗日

11、函數(shù)拉格朗日函數(shù)LTP No.181. 動(dòng)能與勢(shì)能動(dòng)能與勢(shì)能連桿連桿l1的動(dòng)能的動(dòng)能1T 、勢(shì)能、勢(shì)能1P2111121lmT1111cosglmP連桿連桿l2的動(dòng)能的動(dòng)能2T、勢(shì)能、勢(shì)能2P21212212222121222212122cos22121l lmlmlmT)cos(cos21221122glmglmPNo.192.拉格朗日算子拉格朗日算子n拉格朗日算子拉格朗日算子- L=T-Pn由求得的由求得的- T1、P1、T2、P2 得得 :)cos(cos)()(cos)(21)(212122112121122122212222121212211glmglmml lmlmlmmPTPTL

12、NjQqLqLdtdjjjj, 2 , 1No.203.動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程Lmmlm lm l l()()cos()1121212 22122 1 22122Lmmglm gl112112212 ()sinsin()ddtLmmlm lm l lm lm l lm l lm l l()coscossinsin112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 22222 Lm lm l l()cos22 22122 1 221Lm l lm gl22 1 221122212 sin()sin()ddtLm lm lm l lm l lcossin22 2212 22

13、22 1 2212 1 2212 No.21ddtLLn1111ddtLLn2222nmm lmlml lmlml lml lml lmm glm gl1112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 2222121221222()coscossinsin() sinsin() nm lm l lm lm l lm gl222 222 1 2212 2222 1 22122212 cossinsin()No.22DDDDDn1111221222211212111 DDDDn21122221112222 上式的構(gòu)造和兩自由度手臂的牛頓歐拉方程相似。事實(shí)上，對(duì)同一機(jī)器

14、人動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)其牛頓歐拉動(dòng)力學(xué)方程和拉格朗日方程相同。221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.23N個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉普遍方程個(gè)自由度的機(jī)器人手臂的牛頓歐拉普遍方程2.封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程 式中變參數(shù)式中變參數(shù)Dij，Dijk，Di都是各關(guān)節(jié)角位移和構(gòu)都是各關(guān)節(jié)角位移和構(gòu)件尺寸的函數(shù)。件尺寸的函數(shù)。兩自由度手臂的兩自由度手臂的牛頓歐拉方程：牛頓歐拉方程：nniNjNiiiijjj, , ,構(gòu)件尺寸1212nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN , , 1211122121122212122121112

15、2212221211111DDDDnDDDDDn No.241.計(jì)算任意連桿上任意一點(diǎn)的速度計(jì)算任意連桿上任意一點(diǎn)的速度 2.動(dòng)能動(dòng)能 3.勢(shì)能勢(shì)能 4.拉格朗日算子拉格朗日算子 5.動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 No.251.機(jī)器人臂上一點(diǎn)的速度機(jī)器人臂上一點(diǎn)的速度rrqqTdtdrviijjjii1drdtr rTrace rrTraceTqq rTqq rTraceTqr rTqq qTijjiikkiTjiijkiiiTiTkjkji2111 速度速度速度的平方速度的平方rT riiNo.262.動(dòng)能動(dòng)能質(zhì)量為質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 連桿連桿Li的動(dòng)能的動(dòng)能 ijkjkTiTiii

16、kjiiqqqTdmrrqTTracedk1121積分積分kdkTraceTqrdmrTqq qiiiijiiTiTkjk12 機(jī)器人手臂的動(dòng)能機(jī)器人手臂的動(dòng)能 N個(gè)運(yùn)動(dòng)連桿個(gè)運(yùn)動(dòng)連桿kjNiijikkTiijiNiiqqqTqTTraceKK 11121H驅(qū)動(dòng)和傳動(dòng)元件的動(dòng)能驅(qū)動(dòng)和傳動(dòng)元件的動(dòng)能 與構(gòu)件有相對(duì)運(yùn)動(dòng)與構(gòu)件有相對(duì)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的總動(dòng)能機(jī)構(gòu)的總動(dòng)能 和和KI qaiaii122KTraceTqTqq qIqijiiTkkijiiNjkaiiiN12121121H No.273.勢(shì)能勢(shì)能連桿連桿Li的勢(shì)能的勢(shì)能 重力加速度矢量重力加速度矢量總勢(shì)能總勢(shì)能Pm g TriiTi i ggggT

17、1230Pm gT riTiiiN 1No.284.拉格朗日算子拉格朗日算子動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程2111111122TNiiNNTiiijkii iaiiijkiijkTTLTraceq qm g TrI qqqH QddtLqLqiNiiii , ,12 No.295.動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程LqTraceqqqI qpikiiTpkii pNkappTHT1ddtLqTraceqqqI qTraceqqqq qpikiiTpkkii pNappikmiiTpmikmkii pN THTTHT1211Traceqqqq qipmiiTkmikmkiipN211THT LqTraceqqqq qm

18、 gTqrpipjiiTkkijkjii pNiTipii pN211THT No.305.動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程ddtLqLqTraceqqqIqTraceqqqq qm gTqrppikiiTpkkiipNappikmiiTpmikmkiipNiTipiipNTHTTHT1211QTraceqqqI qTraceqqqq qm gTqriNiijkjijTikkij iNaiijkmjjTimikmkij iNjTjijj iNTHTTHT (, ,)121112 QDqDqD q qDiNiiijj iNjii iijkjkikij iN (, , )112將下標(biāo)將下標(biāo)p和和i換成換成i和

19、和j 改變求和順序改變求和順序 No.315.動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程QDqDqD q qDiNiiijj iNjii iijkjkikij iN (, , )112DIiiaiDTraceTqTqijpjppTipi j kNHmax( , , )DTraceTqqTqijkpjkppTipi j kN2Hmax( , , )Dm gTqripTpipp iN 慣性力和重力載慣性力和重力載荷對(duì)機(jī)器人的控制荷對(duì)機(jī)器人的控制特別重要，他們影特別重要，他們影響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定響伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定性和位置精度。性和位置精度。 向心力和哥氏力，向心力和哥氏力，只在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)重只在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)重要的。但它們產(chǎn)生要的

20、。但它們產(chǎn)生的誤差不大。的誤差不大。 No.32n nnnNNT1122P x y z o o orxyzTTQFMT FM11,2,NNNTijjiiiijkjkiFMiijiji kD qD qDq qDnQiNJ D qD qD q qDniNijjiiiijkjkiiikNj iNj iN , ,112 No.33一、廣義坐標(biāo)一、廣義坐標(biāo)描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一組獨(dú)立變量描述動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一組獨(dú)立變量-系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài) 設(shè)設(shè)N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)-具有具有S S個(gè)約束方程個(gè)約束方程 fxy zxyzfxy zxyzfxy zxyzNNNNNNSNNN11112111111000(,)(,)

21、(,)3N個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo) K=3N-S個(gè)獨(dú)立（系統(tǒng)自由度）個(gè)獨(dú)立（系統(tǒng)自由度）No.34一、廣義坐標(biāo)一、廣義坐標(biāo)選選K個(gè)獨(dú)立參數(shù)個(gè)獨(dú)立參數(shù)xx q qqyy q qqiNzz q qqiikiikiik( ,)( ,) (, , )( ,)12121212rriikq qqiN(,)(, ,)1212這這k個(gè)決定質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)位置的獨(dú)立參數(shù)，個(gè)決定質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)位置的獨(dú)立參數(shù)，稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)自由度數(shù)。自由度數(shù)。 No.35二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 在非自由質(zhì)點(diǎn)系中，在非自由質(zhì)點(diǎn)系中，-質(zhì)點(diǎn)位移受到約束限制質(zhì)點(diǎn)位移受到約束限制.在給在給定瞬時(shí)，約束所允許的各質(zhì)點(diǎn)任何無(wú)限小

22、的位移，定瞬時(shí)，約束所允許的各質(zhì)點(diǎn)任何無(wú)限小的位移，稱(chēng)為稱(chēng)為。位移位移實(shí)位移實(shí)位移虛位移虛位移力、初始條件及時(shí)間力、初始條件及時(shí)間約束的性質(zhì)約束的性質(zhì)No.36二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的虛位移由各質(zhì)點(diǎn)的虛位移組質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的虛位移由各質(zhì)點(diǎn)的虛位移組成。成。riiN(, ,) 12 在廣義坐標(biāo)系中，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移也可在廣義坐標(biāo)系中，各質(zhì)點(diǎn)的虛位移也可以用廣義坐標(biāo)的變分以用廣義坐標(biāo)的變分(稱(chēng)為廣義虛位移稱(chēng)為廣義虛位移)來(lái)來(lái)表示。表示。 qqqk12,No.37二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移與廣義坐標(biāo)),(),(),(212121kiikiik

23、iiqqqzzqqqyyqqqxx),(21kiiqqqrr 虛虛微微分分kjjjiikjjjiikjjjiiqqzzqqyyqqxx111kjjjiiqq1rr(1,2,);1,2,iNjkNo.38二、虛位移和虛功原理二、虛位移和虛功原理 系統(tǒng)平衡時(shí)系統(tǒng)平衡時(shí) 處于平衡狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，作用在系統(tǒng)上處于平衡狀態(tài)的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，作用在系統(tǒng)上外力的虛功之和為零，這就是外力的虛功之和為零，這就是虛功原理虛功原理。0iF虛功為零虛功為零FriiiN01質(zhì)點(diǎn)系是剛體或相接觸的剛體集合質(zhì)點(diǎn)系是剛體或相接觸的剛體集合 內(nèi)力的虛功和為零內(nèi)力的虛功和為零 FriiiN外01No.39三、廣義外力三、廣義外力 內(nèi)力的虛功和為零內(nèi)力的虛功和為零稱(chēng)稱(chēng) 為廣義坐標(biāo)為廣義坐標(biāo) 的的 廣義外力廣義外力。 WFiiiNFr外1kjNijjiiNikjjjiiFqqqqW1111rFrF外外QqjiijiNFr外1WQqFjjjk1Qjkj(, , ) 12 qjkj(, , ) 12 kjjjiiqq1rrNo.40四、達(dá)朗伯原理四、達(dá)朗伯原理 達(dá)朗伯原理的符號(hào)表達(dá)式達(dá)朗伯原理的符號(hào)表達(dá)式。 達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在形式上化為靜力學(xué)將動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在形式上化為靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解