講座3：圓錐曲線

1、第三講 圓錐曲線講座導讀1掌握橢圓的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程2掌握雙曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應用，直線與圓錐曲線的位置關系知識網(wǎng)絡圓錐曲線橢圓定義標準方程幾何性質(zhì)雙曲線定義標準方程幾何性質(zhì)拋物線定義標準方程幾何性質(zhì)第二定義第二定義統(tǒng)一定義直線與圓錐曲線的位置關系橢圓雙曲線拋物線a、b、c關系高考導航圓錐曲線是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，它的基本特點是數(shù)形兼?zhèn)洌嫒莶?，可與代數(shù)、三角、幾何知識相溝通，歷來是高考的重點內(nèi)容?？v觀近幾年高考試題中對圓錐曲線的考查，基本上是兩個客觀題，一個主觀題，分值2

2、1分24分，占15%左右，并且主要體現(xiàn)出以下幾個特點：1圓錐曲線的基本問題，主要考查以下內(nèi)容：圓錐曲線的兩種定義、標準方程及a、b、c、e、p五個參數(shù)的求解圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應用2、求動點軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高，此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法3有關直線與圓錐曲線位置關系問題，是高考的重熱點問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識以及線段中點、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數(shù)形結合思想和“設而不求”的方法、對稱的方法及韋達定理，多以解答題的形式出現(xiàn)4求與圓錐曲線有關的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點，這類問題綜合性較大

3、，運算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結合的問題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，是高考命題的一個趨勢 例題解析考點一. 圓錐曲線標準方程和軌跡問題理解圓錐曲線標準方程中各個量的關系，注意判斷焦點位置。求指定的圓錐曲線的方程是命題的重點，主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定

4、量”的步驟.定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關系，通過解方程得到量的大小.用標準方程確定參數(shù)例題1、若方程+=1（1）表示圓，則實數(shù)k的取值是 .（2）表示x型橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示y型橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是 .待定系數(shù)法求標準方程例題2、（1）若橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的標準方程為 。（2）與雙曲線有共同的漸近線，且過點，則該雙曲線的標準方程為 。

5、變式訓練：求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。利用第一定義求標準方程例題3、（1）若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是 （2）已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上一個動點，如果延長F1P到Q，使得，那么動點Q的軌跡是（ ）A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線一支 D. 拋物線例題4、已知動圓A與圓B：(x+5)2+y2=81和圓C：(x-5)2+y2=1都外切，求動圓圓心A的軌跡方程。變式訓練：設點Q是圓C：上動點,點A（1，0）是圓內(nèi)一點,AQ的垂直平分線與CQ交于點M,求點M的軌跡方程。 圓錐曲線統(tǒng)一定義研究方程例題5、（1）已知動點 M（x，y）滿足，則點M的軌跡是（ ）。（A）橢圓

6、 （B）雙曲線 （C）拋物線 （D）兩條相交直線（2）設圓F：上動點, 動圓P與Y軸和圓F都相切，求動圓圓心P的軌跡方程。 變式訓練：（1）若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是（ ）A（0，1） B. （1，+） C. （0，5） D. （5，+）考點二：.圓錐曲線定義的應用在解題中要充分利用圓錐曲線的兩種定義，靈活處理焦半徑，熟悉和掌握a、b、c、e關系及幾何意義，能夠減少運算量，提高解題速度，達到事半功倍之效解與焦半徑、焦點弦有關的問題時，一般要從橢圓的定義入手考慮。涉及橢圓雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形問題，常用第一定義來解決;涉及焦點、準線、離心率、圓錐曲線上的點中的三者，常用

7、統(tǒng)一定義解決問題.例1、橢圓 上一點P到右焦點F2的距離為10，求P到左焦點的距離。變式1:求點P到左準線的距離? 變式2:求點P到右準線的距離?例2（1）設橢圓上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，若點M滿足，則（2）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_.變式訓練：（1）如果分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線左支上過點的弦，且，則的周長是 (2)橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在

8、點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是（ ）A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能例3已知AB為過雙曲線1(ab0)焦點F的弦, 則以AB為直徑的圓與雙曲線的準線( )A相交 B相切 C相離 D與a、b的取值有關例4過橢圓左焦點F，傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為( )(A) (B) (C) (D)例5（1）給定A（-2，2），已知B是橢圓上動點，F(xiàn)是左焦點，當取 最小值時，求B點坐標。（2）已知雙曲線y2=1，M為其右支上一動點，F(xiàn)為其右焦點，點A（3，1），則的最小值為 。變

9、式訓練：點A（3，2）為定點，點F是拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，若 取得最小值，求點P的坐標。例6：已知雙曲線1(a0，b0)的左、右兩個焦點分別為F1、F2，P是它左支上一點，P到左準線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為yx，問是否存在點P，使d、PF1、PF2成等比數(shù)列？若存在，求出P的坐標；若不存在說明理由變式訓練：設、分別為雙曲線的左、右焦點，為左準線，為雙曲線左支上一點，點到的距離為，已知，成等差數(shù)列，求的值例7、已知某橢圓的焦點F1（4,0），F(xiàn)2（4,0），過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個焦點為B，且F1BF2B10，橢圓上不同兩點A（x1,y1）,C(x2,y2)滿足

10、條件F2A，F(xiàn)2B，F(xiàn)2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點的橫坐標.考點三：焦點三角形焦點三角形應注意以下關系：(1) 定義：r1r22a (2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面積：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點，|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)例題1：設點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為 。變式：1、已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若，求的面積2、設，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？例題2：已知橢圓，F(xiàn)1,F2是橢圓左右兩個焦點，P是橢圓的任一點若，求橢圓離心率的取值范

11、圍。變式：在中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 例題3：設點是橢圓上的一點，是焦點，的內(nèi)切圓半徑為，求點坐標。例題4：由雙曲線上的一點與左、右兩焦點、構成，求的內(nèi)切圓與邊的切點坐標.變式訓練：已知雙曲線左支上一點P到兩焦點F1,F2的三角形的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標( ) A. a B. b C.c D.a+b-c 考點四：離心率的有關問題離心率是圓錐曲線的一個重要性質(zhì)，是描述曲線形狀的重要參數(shù)橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數(shù)據(jù)；雙曲線的離心率是描述雙曲線“開口”大小的一個重要數(shù)據(jù)；而拋物線的離心率是1.圓錐曲線的統(tǒng)一定義是按離心率的范圍不同，確定圓錐曲線中的橢圓、雙曲線和拋物

12、線的類型.求離心率的關鍵是列出一個與a,b,c,e有關的等式或不等關系.在此,要活用圓錐曲線的特征三角形.常用方法: .利用曲線定義。圓錐曲線的統(tǒng)一定義是與離心率密不可分的,在題目中挖掘這隱含信息有助于解題.利用曲線變量范圍。圓錐曲中變量的變化范圍對離心率的影響是直接的,充分利用這一點，可優(yōu)化解題.利用直線與曲線的位置關系。根據(jù)題意找出直線與曲線相對的位置關系，列出相關元素的不等式，可迅速解題.利用點與曲線的位置關系。根據(jù)某點在曲線的內(nèi)部或外部，列出不等式，再求范圍，是重要的解題途徑5. 用根的判別式根據(jù)條件建立與、相關的一元二次方程，再用根的判別式列出不等式，可得簡解6. 構造關于e的方程求

13、解. 7. 聯(lián)立方程組。如果有兩曲線相交，將兩個方程聯(lián)立，解出交點，再利用范圍，列出不等式并求其解8. 三角函數(shù)的有界性。用三角知識建立等量關系，再利用三角函數(shù)的有界性，列出不等式易解9.數(shù)形結合法：解析幾何和平面幾何都是研究圖形性質(zhì)的，因此，在題設條件中有關圓、直線的問題，或題目中構造出直線形與圓，可以利用平面幾何的性質(zhì)簡化計算。例題1：已知動點 M（x，y）滿足，則離心率為 例題2：已知F1,F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的一點若滿足的點總在橢圓的內(nèi)部，求橢圓離心率的取值范圍。例題3：已知橢圓的兩焦點為F1(-c,0),F2(c,0),P是直線上的一點，的垂直平分線恰過點，求橢圓離心率的

14、取值范圍。例題4：已知橢圓，F(xiàn)1,F2是橢圓左右兩個焦點，以F1F2 為邊做正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，求橢圓離心率。例題5：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。例題6：橢圓過左焦點F1且傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點，若，求橢圓離心率e。例題7：點P(-3,1)在橢圓的左準線上.過點P且方向為a=(2,-5)的光線,經(jīng)直線=-2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例題8：已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且

15、只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ ）（A）（B）（C）（D）例題9：直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e B.1e C.1e例題10：設雙曲線 與（a0，b0）的離心率分別為e1、e2，則當a、b變化時，的最小值是（ ） （A）2 (B)4 (C)4 (D)考點五：直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力

16、、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”。1直線與圓錐曲線的位置關系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為，0時，有兩個公共點，0時，有一個公共點，0時，沒有公共點但當直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個交點）時，直線與曲線未必相切，在判定此類情形時，應注意數(shù)形結合 2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與

17、量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍. 當弦過圓錐曲線的焦點時， 可用焦半徑進行運算3對稱問題，要注意兩點：垂直和中點 再利用好中點與橢圓的位置關系。直線與圓錐曲線的位置關系例1：直線y = k x + 1與橢圓恒有公共點,則的的取值范圍為( )A. B. C. D. 例2：經(jīng)過點且與雙曲線僅交于一點的直線條數(shù)為( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4變式訓練：不論k為何值, y = k (x-2) + b與總有公共點,則b的取值范圍為( ).A. B. C. D. 變式訓練：直線m的方程為，雙曲線C的方程為，若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ） A. B

18、. C. D.例3：直線與曲線的交點的個數(shù) 。變式訓練：直線y=2k與曲線9k2x2+y2=18k2|x|的公共點的個數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例4：直線y=kx+1與雙曲線相交于A、B兩點.(1)當k為何值時,A與B位于同一支上? 當k為何值時,A與B位于不同的支上?(2)當k為何值時,以AB為直徑的圓過坐標原點? 例5：直線與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S； (1)求在k=0，0b1的條件下，S的最大值； (2)當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程。焦點弦問題例1:過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點，若，則這樣的直線有 條 條 條 不存在變式：若將上

19、題中的“”改為“”則滿足什么條件時，這樣的直線有（1）0條； （2）2條 （3）3條 （4）4條變式訓練：過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（ ）A有且僅有一條 B有且僅有兩條 C有無數(shù)條D不存在例2：過雙曲線1(ab0)右焦點F的弦AB, 則以AB為直徑的圓與雙曲線的右準線( )A相交 B相切 C相離 D與a、b的取值有關 例3: 過橢圓左焦點F，傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點，若，則橢圓的離心率為( )(A) (B) (C) (D) 例4過拋物線y22px的焦點作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A、B兩點，則線段AB被焦點分

20、的比為 設拋物線y22px的焦點弦被焦點分為長是m和n的兩部分，則m與n的關系是 中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是考試的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。（一）、求中點弦所在直線方程問題例1、過橢圓內(nèi)一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。（二）、求弦中點的軌跡方程問題例2、過橢圓上一點P（-

21、8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。（三）、弦中點的坐標問題例3、求直線被拋物線截得線段的中點坐標。（四）、中點弦綜合問題例4.橢圓與直線y=1-x交于M與N 兩點,原點與MN中點的連線斜率為,則的值 . 例5、已知雙曲線中心在原點，一個焦點為，直線與其交于兩點，線段中點的橫坐標為，則雙曲線的方程為 例6、已知雙曲線方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在直線方程；(2) 過點B(1,1)能否作直線，使與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由例7、已知橢圓，橢圓上有不同的三點A，B，且

22、 成等差數(shù)列，（1）求弦AC的中點M的橫坐標；（2）設弦AC的垂直平分線的方程為存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，分三步：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。對稱問題，要注意兩點：垂直和中點 再利用好中點與橢圓的位置關系。例1、已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱。例2、在拋物線y24x上恒有兩點關于直線ykx3對稱，求k的取值范圍例3、已知雙曲線上存在兩點關于直線y=kx+4對稱,求實數(shù)k的取值范圍.例4、已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的

23、右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.例5、直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A 兩點. （1）求證：; （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.定值問題、最值問題例1：直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點. 求證：; 例2：設點A和B為拋物線上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，（1）求證：; ； （2）求點M的軌跡方程例3. 橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_例4、（1）給定A（-2，2），已知B是橢圓上動點，F(xiàn)是左焦點，當取 最小值時，求B點坐標。（2）已知雙曲線y2=1，M為其右支上一動點，F(xiàn)為其右焦點，點A（3，1），則的最小值為 。例5已知橢圓E：，（1）直線與橢圓E有兩個不同的公共點，求的取值范圍；（2）以橢圓E的焦點、為焦點，經(jīng)過直線：上一點作橢圓，當橢圓的長軸最短時，求橢圓的方程。圓錐曲線的綜合問題例1、直線關于原點對稱的直線為.若與橢圓的交點為A與B,點P 為橢圓上的動點,則使的面積為的點P的個數(shù)為 例2、直線的右支交于不同的兩點A、B.（I）求實數(shù)k的取值范圍；（II）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不