北師大版初中數(shù)學(xué)《圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系》學(xué)案

1、【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1.基本概念(1)頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.(2)從圓心到弦的距離叫弦心距.(3)1的圓心角所對(duì)的弧叫1的弧.2.定理(1)圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形.(2)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距相等.(3)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等.3.應(yīng)注意的問題(1)解題時(shí)作圓心的弦心距是常用輔助線.(2)等弧的度數(shù)一定相等，相等度數(shù)的弧不一定是等弧.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】本節(jié)的重點(diǎn)是掌握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系，并能運(yùn)用這些關(guān)系解決有關(guān)的證明、計(jì)算題，難點(diǎn)在于

2、選擇適當(dāng)?shù)妮o助線，運(yùn)用這幾個(gè)量的相等關(guān)系解題.例1 如圖7-20，o是rtabc三條角平分線的交點(diǎn)，c=90，o經(jīng)過c點(diǎn)分別交ac、bc于d、e，交ab于f、g，求證=證明：作弦cd、ce、fg的弦心距om、on、op， o是abc的三條角平分線的交點(diǎn)， om=on=op， 則：=說明：證明弧相等通常證明弧所對(duì)的弦或圓周角相等，此題由角平分線定理得三條弦的弦心距相等，從而知道這三條弧相等. 圖7-20 圖7-21例2 如圖7-21，oa、ob是o的兩條互相垂直的半徑，m是弦ab的中點(diǎn)，過m作mcoa，交于c，求證=.證明：過m、c作meao于e，cfao于f，連oc m為ab的中點(diǎn)，me=ob

3、,易證mefc為矩形 cf=ob=oc，cof=30，則=說明：若=，則cof=boa，由題目條件知，須證明cof=30即可.例3 已知ab、cd是o的兩條直徑，ap是o的弦，且apcd，求證bd=dp證明：如圖7-22，apcd，=，ab、cd是兩直徑，coa=bod，=，則=故bd=dp說明：此題用到“夾在兩平行弦之間的弧相等”，“圓心角相等弧相等”，“弧相等弧所對(duì)的弦相等”等結(jié)論.例4 如圖7-23，mba與mdc是o的二割線，已知弦ab=cd，求bm=dm.證明：作oeab于e，ofcd于f，ab=cd，oe=of，則rtmeortmfo，me=mf，又ae=ab=cd=fcmb=mc

4、說明：本題通過作弦心距將問題轉(zhuǎn)化為證me=mf，再通過三角形全等達(dá)到目的，在全等的證明過程中用到“弦相等弦心距相等”這一結(jié)論.【難題巧解點(diǎn)撥】例1 如圖7-24，o中弦ab=cd，與的中點(diǎn)分別是m和n，mn與ab、cd分別交于e和f，求證：me=nf.證明：連結(jié)am、bm、cn、dnab=cd，=m、n的分別為、的中點(diǎn)=am=bm=cn=dn，=fnd=emb，mbe=ndf，mebnfd，me=fn說明：此題通過弧、弦相等關(guān)系的互換證得mb=dn，從而得mebfnd，得出結(jié)論.例2 如圖7-25，已知o的兩弦ab和cd相交于p，且bpo=dpo，求證：=.證明：作oecd于e，ofab于f，

5、bpo=dpo，oe=of，cd=ab，=，=說明：本題通過角平分線定理得弦心距相等，從而弦相等，進(jìn)而弧相等，再去掉公共部分得命題成立.【課本難題解答】1.如圖7-26，在o中，弦ab=cd，延長(zhǎng)ab到e，延長(zhǎng)cd到f，使be=df，求證：ef的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)o.分析：由角平分線定理的逆定理知，只須證明oe=of，又由條件弦相等得弦心距om=on，從而得fomeon，證出of=oe，命題成立.2.如圖7-27，在abc中，acb=90，b=25，以c為圓心，ca為半徑的圓交ab于d，求的度數(shù).分析：要求弧ad的度數(shù)就是求dca的度數(shù)，由條件易求出a=65，再考慮cda，易求得dca=50，=

6、50【典型熱點(diǎn)考題】例1 如圖7-28，已知o中=2，求證明：ab2cd.證明：取的中心m，連結(jié)bm、am=2=從而有am=bm=cd在amb中，abbm+am=2am=2cd故ab2cd說明：本題主要考察弦、弧之間的關(guān)系，定理告訴我們等弧對(duì)等弦，此題告訴我們長(zhǎng)不相等的弧的比值與其所對(duì)的弦的比值不等.例2 如圖7-29，ab為o的直徑，半徑ocab，過oc的中點(diǎn)d作弦efab，求證abe=15.證明：作ehab于h，則ehod為矩形eh=od，又d為co的中點(diǎn)，eh=od=co考慮eho知：eoh=30再考慮eob知：ebo=eoh=15例3 在rtabc中，c=90，b=20，以c為圓心ca

7、為半徑的圓交ba于d，交bc于e，求的度數(shù)(圖7-30).解：連連dc，考慮abc，c=90，b=20a=70考慮cda，cd=ca，a=70dca=40，則dce=50，=50說明：本題主要考察弧的度數(shù)的概念.本周訓(xùn)練【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題(8分5=40分)(1)梯形abcd內(nèi)接于o，且adbc，則ab= .(2)ab、cd是o的兩弦，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，若ab=cd，作oe= ，aob= ，= .(3)圓內(nèi)最大的弦是12，則這個(gè)圓的半徑是 .(4)一條弦把圓分成2:3兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是 .(5)等邊abc內(nèi)接于o，則與相等的弧有 ，aob= .二、選擇題(8分

8、5=40分)(1)ab、cd分別是兩個(gè)不等圓的弦，若ab=cd，則( )a.= b. c. d. (2)在o中，=2，那么( )a.ab=2dc b.ab=dc c.ab2dc d.ab2dc(3)在abc中，a=70，o截abc的三邊，所截得的弦都相等則boc等于( )a.11 b.125 c.130 d.不能確定(4)在半徑不相等的o1和o2中，與所對(duì)的圓心角都是60，則下列說法正確的是( )a.與的弧長(zhǎng)相等 b. 和的度數(shù)相等c.與的弧長(zhǎng)和度數(shù)都相等d.與的弧長(zhǎng)和度數(shù)不相等(5)下面說法正確的是( )a.弦相等，則弦心距相等 b.弧長(zhǎng)相等的弧所對(duì)的弦相等c.垂直于弦的直線必平分弦 d.圓的兩條平行弦所夾的弧長(zhǎng)相等三、解答題(10分2=20分)(1)從o外一點(diǎn)p向o引兩條割線pab、pcd交o于a、b、c、d，且=，求證：圓心o必在bpd的平分線上，(2)如圖7-31，已知o的半徑oa、ob互相垂直，弦ad的延長(zhǎng)線交ob的延