排隊論-2-練習

1、 排隊論排隊論 pM/M/1/GD/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)pM/M/1/GD/c/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) pM/M/s/GD/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) pM/M/s/GD/c/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 01sc-1css+1s-12(s-1)sss（4 4）M/M/s/GD/c/排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)c (0,1, -1)0jjc，。 (0,1, ) (1,2, ),0 (1,)jjjjjssjsscjc，001 1()( )!1sscisssssissis ！0jj-s (0)! ()s!sjjjsjsjcjjjc21110jjc010jj021()(1)!(1)sc scsqssssLcsss ,(1)qeceeLLWW有

2、效到達率有效到達率)1 (11ccsnnsnnSsnL/p例：某旅館有例：某旅館有10個床位，旅客到達服從泊松服務，個床位，旅客到達服從泊松服務，平均到達速率為平均到達速率為6人人/天，旅客平均逗留時間為天，旅客平均逗留時間為2天，天，求：求： (1) 旅館客滿的概率。旅館客滿的概率。 (2) 每天客房平均占用數(shù)。每天客房平均占用數(shù)。p解：解：c=s=10，=6，=0.5，=12，Lq=0。 0=0.0018； 10=0.3019。 (1) 旅館旅館10個床位全滿的概率為個床位全滿的概率為0.3019。 (2) L=Lq+(1-10)=12(1-0.3019)=8.3772。 平均占用平均占用

3、8.3772個床位?？头空加寐蕿閭€床位?？头空加寐蕿?3.77%。p當當s=cs=c時，系統(tǒng)的等待隊列長度為時，系統(tǒng)的等待隊列長度為0 0。即顧客到。即顧客到達時，如果服務臺有空閑，則進入服務臺接受達時，如果服務臺有空閑，則進入服務臺接受服務。如果服務臺沒有空，顧客則當即離開。服務。如果服務臺沒有空，顧客則當即離開。許多服務系統(tǒng)具有這樣的特征。如服務設施、許多服務系統(tǒng)具有這樣的特征。如服務設施、停車場、旅館等。停車場、旅館等。p設顧客源為有限個設顧客源為有限個m個，服務臺個數(shù)為個，服務臺個數(shù)為s。且。且ms。顧客到達率為顧客到達率為（如一臺機器在單位時間內發(fā)生故（如一臺機器在單位時間內發(fā)生故障

4、的期望次數(shù)）。障的期望次數(shù)）。p系統(tǒng)外的顧客數(shù)為：系統(tǒng)外的顧客數(shù)為：m-Lp系統(tǒng)的有效到達率為：系統(tǒng)的有效到達率為： e=(m-L)pn= (m-n), ns0101 !( )!()!()! !iismi sii smmmiimi s s！系統(tǒng)客源有限的排隊模型系統(tǒng)客源有限的排隊模型0j0j-s! (0)()! ! ()()! !sjjmjsmjjmsjcmj s()eqqsLLLmL,qeeLLWWp例：車間有本例：車間有本5 5臺機器，每臺機器的故障率為臺機器，每臺機器的故障率為1 1次次/ /小時，有小時，有2 2個修理工負責修理這個修理工負責修理這5 5臺機器，工作效臺機器，工作效率相

5、同，為率相同，為4 4臺臺/ /小時。求：小時。求： （1 1）等待修理的平均機器數(shù)；）等待修理的平均機器數(shù)； （2 2）等待修理及正在修理的平均機器數(shù)；）等待修理及正在修理的平均機器數(shù)； （3 3）每小時發(fā)生故障的平均機器數(shù)；）每小時發(fā)生故障的平均機器數(shù)； （4 4）平均等待修理的時間；）平均等待修理的時間； （5 5）平均停工時間。）平均停工時間。p解：解：m=5,=1，=4，=1/4pLq=0.118, L=1.092, e=(m-L)=3.908; pWq=Lq/e =1.8(分鐘分鐘), W=L/e=16.8(分鐘分鐘)例例 題題1L12qL)(2sLWLqqWLssWL10)1 (

6、jj系統(tǒng)中沒有顧客的概率系統(tǒng)中j個顧客的概率系統(tǒng)中平均顧客的數(shù)量正在排隊的平均顧客數(shù)量正在接受服務的平均顧客數(shù)量單位時間內進入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)量單位時間內進入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)量單位時間內接受服務的平均顧客數(shù)量單位時間內接受服務的平均顧客數(shù)量sqLLL 例例1 1、某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按、某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，來理發(fā)的顧客按PoissonPoisson分布到達，平均每小時分布到達，平均每小時4 4人，理發(fā)時間服人，理發(fā)時間服從指數(shù)分布，平均需從指數(shù)分布，平均需6 6分鐘，求分鐘，求（1 1）理發(fā)店空閑時間的概率；）理發(fā)店空閑時間的概率；（2 2）店里有）店里有3 3個顧客的概率

7、；個顧客的概率；（3 3）店里至少有）店里至少有1 1個顧客的概率；個顧客的概率；（4 4）在店內顧客的平均數(shù)；）在店內顧客的平均數(shù)；（5 5）在店內平均逗留的時間；）在店內平均逗留的時間；（6 6）等待服務的顧客平均數(shù)；）等待服務的顧客平均數(shù)；（7 7）平均等待服務時間；）平均等待服務時間；（8 8）必須在店內消耗）必須在店內消耗1515分鐘以上的概率。分鐘以上的概率。 解解1 1：=4/60=0.067=4/60=0.067人人/ /分；分；=1/6=1/6人人/ /分；分；=0.4=0.4。（1 1）0 0=1-=1-0.4=0.6=1-=1-0.4=0.6；33(1)0.0384 0(

8、1) 1(1) 11 (1)0.4P nP n 67. 01L101W（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）268. 0LLq4)1 (qW （8 8） 用用 T T 表示顧客在系統(tǒng)中逗留的時間，則表示顧客在系統(tǒng)中逗留的時間，則 T T服從參數(shù)為服從參數(shù)為-的指數(shù)分布，于是的指數(shù)分布，于是 1515)()(233. 0|)()15(xxedxeTP（6 6）（7 7） 例例2 2、某電話亭有一部電話，來打電話的顧客數(shù)服、某電話亭有一部電話，來打電話的顧客數(shù)服從從PoissonPoisson分布，相繼兩人到達間隔的平均時間為分布，相繼兩人到達間隔的平均時間為1010分鐘，通話時間服從指數(shù)分布，

9、平均通話時間為分鐘，通話時間服從指數(shù)分布，平均通話時間為3 3分鐘。求分鐘。求 （1 1）顧客到達電話亭要等待的概率。）顧客到達電話亭要等待的概率。 （2 2）等待打電話的平均顧客數(shù)。）等待打電話的平均顧客數(shù)。 （3 3）當一個顧客至少要等）當一個顧客至少要等3 3分鐘才能打電話時，電分鐘才能打電話時，電信局打算增設一臺電話機，問平均每分鐘到多少顧信局打算增設一臺電話機，問平均每分鐘到多少顧客，裝第二臺電話機才合算？客，裝第二臺電話機才合算？ （4 4）等）等1010分鐘以上才能打上次電話的概率是多少？分鐘以上才能打上次電話的概率是多少？ （5 5）第二臺電話機安裝后，顧客的平均等待時間是）第

10、二臺電話機安裝后，顧客的平均等待時間是多少？多少？解解2 2：=0.1=0.1人人/ /分鐘，分鐘，=0.3333=0.3333人人/ /分鐘，則分鐘，則=0.3=0.3（1 1）顧客必須等待的概率為：）顧客必須等待的概率為： P(n1)=1-P(n1.25X60=75W1.25X60=75分鐘。則分鐘。則 11751/15W053. 0人人/ /分鐘。分鐘。 例例7 7、某航運局擬建、某航運局擬建1 1個港口，根據(jù)資料貨船按個港口，根據(jù)資料貨船按PoissonPoisson流到達，平均每小時到達流到達，平均每小時到達2121艘船，卸貨艘船，卸貨時間服從指數(shù)分布，平均卸貨時間為時間服從指數(shù)分布

11、，平均卸貨時間為2 2分鐘。每分鐘。每艘船獲利為艘船獲利為8 8萬元，每建一個泊位需投資萬元，每建一個泊位需投資1212萬元，萬元，問建設多少個泊位合理？問建設多少個泊位合理？解解7 7：此問題可看成多服務臺、容量無限的問題，：此問題可看成多服務臺、容量無限的問題，現(xiàn)求需泊位數(shù)現(xiàn)求需泊位數(shù)s s。 =21=21艘艘/ /小時小時,=30,=30艘艘/ /小時，小時，（1 1）s=1s=1時，時， ； 系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為（2 2）s=2s=2時，時， ； 系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為（3 3）s=3s=3時，時， ； 系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為系統(tǒng)內貨船的平均數(shù)為 7 . 030/21010.3 3 . 211L35. 0)302/(2100.482202()0.7