10變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

1、2021年6月12日變質(zhì)量系統(tǒng)變質(zhì)量系統(tǒng)：質(zhì)量隨時(shí)間：質(zhì)量隨時(shí)間連續(xù)連續(xù)變化的質(zhì)點(diǎn)系。變化的質(zhì)點(diǎn)系。又如火箭、電梯、灑水車等又如火箭、電梯、灑水車等(工程中的變質(zhì)量系統(tǒng)工程中的變質(zhì)量系統(tǒng))例：雨滴下降過程中由于蒸發(fā)而質(zhì)量變小，由于水例：雨滴下降過程中由于蒸發(fā)而質(zhì)量變小，由于水汽凝結(jié)使質(zhì)量增加；浮冰在天熱時(shí)由于溶解而質(zhì)量汽凝結(jié)使質(zhì)量增加；浮冰在天熱時(shí)由于溶解而質(zhì)量變小，也會(huì)由于下雪而質(zhì)量變大。變小，也會(huì)由于下雪而質(zhì)量變大。(自然界的變質(zhì)自然界的變質(zhì)量系統(tǒng)量系統(tǒng)) tMtMMtM210 從零時(shí)刻到從零時(shí)刻到 t 時(shí)刻離開系統(tǒng)的質(zhì)量，時(shí)刻離開系統(tǒng)的質(zhì)量， 從零時(shí)刻到從零時(shí)刻到 t 時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的質(zhì)量

2、，時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的質(zhì)量， 是時(shí)間的非負(fù)、非遞減、連續(xù)可微函數(shù)。是時(shí)間的非負(fù)、非遞減、連續(xù)可微函數(shù)。 tM1 tM221 , MM模型假設(shè)模型假設(shè)：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量 M(t) 在在 t=0 時(shí)為時(shí)為 在任意時(shí)刻為在任意時(shí)刻為0M在在 的動(dòng)量的動(dòng)量 edcbtStStt, ,* *ttPPcbattSttt, :*的動(dòng)量的動(dòng)量 *tttPPP edcbtSttS,*的動(dòng)量的動(dòng)量 *tttPPP設(shè)設(shè) 是變質(zhì)量系統(tǒng)，是變質(zhì)量系統(tǒng)， 是常質(zhì)量系統(tǒng)。是常質(zhì)量系統(tǒng)。 tS tS推導(dǎo)變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量定理的思路推導(dǎo)變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量定理的思路在在 時(shí)刻系統(tǒng)時(shí)刻系統(tǒng) 與系統(tǒng)與系統(tǒng) 的動(dòng)量之間關(guān)系為的動(dòng)量之間

3、關(guān)系為tt*SS*12ttttPPPP與常質(zhì)量系統(tǒng)相比，研究變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量變化規(guī)律的與常質(zhì)量系統(tǒng)相比，研究變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量變化規(guī)律的特殊困難特殊困難是什么？是什么？研究對(duì)象研究對(duì)象(質(zhì)系質(zhì)系)也隨時(shí)間變化！也隨時(shí)間變化！即即: *12ttPPPPPP12 PPPP兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 ，取極限后可得，取極限后可得:t*120ddddlimt tt tttttt PPPP對(duì)常質(zhì)量系統(tǒng)對(duì)常質(zhì)量系統(tǒng) 用動(dòng)量定理：用動(dòng)量定理：S *ddet tttPR*( )*120( )( )limettttt PPPR設(shè)設(shè)S是慣性系中運(yùn)動(dòng)的封閉曲面，在運(yùn)動(dòng)是慣性系中運(yùn)動(dòng)的封閉曲面，在運(yùn)動(dòng)(包括變形包括變形)中有

4、質(zhì)點(diǎn)并入或離開中有質(zhì)點(diǎn)并入或離開S圍成的區(qū)域，這是變質(zhì)量系圍成的區(qū)域，這是變質(zhì)量系統(tǒng)。統(tǒng)。記記Q為任意時(shí)刻為任意時(shí)刻S內(nèi)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)系，其動(dòng)量為內(nèi)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)系，其動(dòng)量為P變質(zhì)量系統(tǒng)的推導(dǎo)變質(zhì)量系統(tǒng)的推導(dǎo)S)(*tQ在某時(shí)刻在某時(shí)刻 , S內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系為內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系為 ,動(dòng)量為動(dòng)量為 。*tt *)(QtQ* ( )tPP經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間 后，后，S內(nèi)質(zhì)系內(nèi)質(zhì)系Q的動(dòng)量變化為的動(dòng)量變化為 而而在在 時(shí)刻在時(shí)刻在S內(nèi)的內(nèi)的 的的動(dòng)量變?yōu)閯?dòng)量變?yōu)閠*PP*tt *Q*PP顯然：顯然： *12 PPPPPP 是是 內(nèi)離開內(nèi)離開S的部分質(zhì)量的部分質(zhì)量 的動(dòng)量。的動(dòng)量。 是是 內(nèi)進(jìn)入內(nèi)進(jìn)入S的部

5、分質(zhì)量的部分質(zhì)量 的動(dòng)量。的動(dòng)量。1P2Ptt1Q2Q*12 PPPP1Q2QSQ(t)S)(*tQ *12ddddettPPFFRF對(duì)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng) 用動(dòng)量定理用動(dòng)量定理: 是是 時(shí)刻作用在時(shí)刻作用在 上的外力主向量。上的外力主向量。*Q *ddetPR eR*tt *Q1212lim , limtt PPFFF 稱為反推力。稱為反推力。如何借助牛頓第三定律如何借助牛頓第三定律理解反推力？理解反推力？ 變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量矩定理變質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量矩定理 設(shè)設(shè)O為慣性空間不動(dòng)點(diǎn)或質(zhì)心，同上可推出：為慣性空間不動(dòng)點(diǎn)或質(zhì)心，同上可推出： 12ddeeOOOtLMMMMM1212lim, limOOtt LLMM

6、M 稱為反推力矩。稱為反推力矩。記變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)記變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)點(diǎn)是一種模型，不一定是幾何質(zhì)點(diǎn)是一種模型，不一定是幾何點(diǎn)點(diǎn))為為Q。設(shè)。設(shè) 是是 時(shí)刻離開時(shí)刻離開Q的部分質(zhì)量的的部分質(zhì)量的絕對(duì)速度，絕對(duì)速度， 是是 時(shí)刻并入時(shí)刻并入Q的部分質(zhì)量的的部分質(zhì)量的絕對(duì)速度。則絕對(duì)速度。則1u2u*tt *tt 111222, MM PuPu是是 內(nèi)離開內(nèi)離開Q的質(zhì)量的質(zhì)量是是 內(nèi)并入內(nèi)并入Q的質(zhì)量的質(zhì)量1M2Mtt121122dd, ddMMtt FuFu是從是從 到到 時(shí)刻離開時(shí)刻離開Q的質(zhì)量之和，的質(zhì)量之和，是從是從 到到 時(shí)刻并入時(shí)刻并入Q的質(zhì)量之和。的質(zhì)量之和。1M2M0t*t0t*t而而 ，

7、為質(zhì)點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)Q的絕對(duì)速度。的絕對(duì)速度。( )M tPvv1212ddddddddMMMMttttvvRuu012MMMM12ddddddMMMttt 1212ddddddMMMtttvRuvuv記記 (相對(duì)速度相對(duì)速度)， 則則iriuuv1212ddddddrrMMMtttvRuu1)若若 ，即只有分離質(zhì)量，沒有并入質(zhì)量，則，即只有分離質(zhì)量，沒有并入質(zhì)量，則02M1ddddMMtt 1ddddrMMttvRu2)若若 ，即只有并入質(zhì)量，沒有分離質(zhì)量，則，即只有并入質(zhì)量，沒有分離質(zhì)量，則01M2ddddMMtt2ddddrMMttvRu討論討論1212ddddddtrrMMMttvRuu3)若

8、若 且且 ，則，則02M10uddMtvR即當(dāng)沒有并入，即當(dāng)沒有并入，只有分離質(zhì)量，并且其絕對(duì)速度為只有分離質(zhì)量，并且其絕對(duì)速度為零零時(shí)，質(zhì)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于外力。時(shí)，質(zhì)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)等于外力。4)若若 且且 ，則，則02M10ruddMtvR即當(dāng)沒有并入，即當(dāng)沒有并入，只有分離質(zhì)量，并且相對(duì)速度為零只有分離質(zhì)量，并且相對(duì)速度為零時(shí)時(shí)，質(zhì)系動(dòng)量定理的形式與常系統(tǒng)相同。，質(zhì)系動(dòng)量定理的形式與常系統(tǒng)相同。注意注意：這個(gè)結(jié)論對(duì)一般變質(zhì)量系統(tǒng)不成立。：這個(gè)結(jié)論對(duì)一般變質(zhì)量系統(tǒng)不成立。1212ddddddtrrMMMttvRuu設(shè)火箭在太空中運(yùn)動(dòng)，不受任何外力作用設(shè)火箭在太空中運(yùn)動(dòng)，不受任何外力作用

9、其中其中 是燃料向后噴射的相對(duì)速度，設(shè)是燃料向后噴射的相對(duì)速度，設(shè) 與與 共線，取公共作用線為共線，取公共作用線為Ox軸，則軸，則 0RddddrMMttvuruvruddddrvMMutt oPvrux火箭的運(yùn)動(dòng)火箭的運(yùn)動(dòng)若若 ，則，則constur 0 , ln000MMtMMuvvr sfrMMuvTv1ln0當(dāng)燃料燃完時(shí)當(dāng)燃料燃完時(shí) ，火箭速度為，火箭速度為Tt fuelf :structureshells :sfMMM0|提高質(zhì)量比，提高質(zhì)量比，需使用新材料及新結(jié)構(gòu)需使用新材料及新結(jié)構(gòu)鋁合金、鎂合金、鈦合金、高分子材料、復(fù)合材料鋁合金、鎂合金、鈦合金、高分子材料、復(fù)合材料薄殼結(jié)構(gòu)、薄

10、壁結(jié)構(gòu)、蜂窩夾層結(jié)構(gòu)、桿系結(jié)構(gòu)：薄殼結(jié)構(gòu)、薄壁結(jié)構(gòu)、蜂窩夾層結(jié)構(gòu)、桿系結(jié)構(gòu)： M0/M 9 ，雞蛋而言，雞蛋而言，M0/M = 7煤油煤油+液氧液氧 (蘇聯(lián)蘇聯(lián)“衛(wèi)星號(hào)衛(wèi)星號(hào)”芯級(jí)芯級(jí)) ur = 3000 m/s 偏二甲肼偏二甲肼+紅煙硝酸紅煙硝酸 (長征一號(hào)長征一號(hào) 一一.二級(jí)二級(jí)) ur = 2500 m/s偏二甲肼偏二甲肼+四氧化二氮四氧化二氮 (長征三號(hào)長征三號(hào) 一一.二級(jí)二級(jí)) ur = 2900 m/s液氫液氫+液氧液氧 (長征三號(hào)長征三號(hào) 三級(jí)三級(jí)) ur = 4300 m/sp提高噴射速度提高噴射速度ur，需研制新型推進(jìn)劑需研制新型推進(jìn)劑|按目前的技術(shù)水平，考慮空氣阻力、重力

11、影響，按目前的技術(shù)水平，考慮空氣阻力、重力影響，實(shí)際到達(dá)速度小于第一宇宙速度。目前都用多級(jí)實(shí)際到達(dá)速度小于第一宇宙速度。目前都用多級(jí)火箭入軌?；鸺胲墶?11011lngtMMuvvsfr222121lngtMMuvvsfr333231lngtMMuvvsfr設(shè) ， 則6sifiMM35rvu第一級(jí)第二級(jí)第三級(jí)多極火箭 已知鏈條的、l。求鏈條自由下落時(shí)，磅秤的指示 解法一：考慮已落到磅秤上的鏈條為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，加入質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度與相對(duì)速度均為 。由于鏈條下落時(shí)各環(huán)相互不擠壓，故各環(huán)均為自由落體。下落 x 距離后有 ，所以 N = 3 x g。磅秤指示為已落于磅秤上的鏈條重量的三倍d()0dxxx

12、gNxt解法二：解法二：取鏈條整體為研究對(duì)象，應(yīng)用常質(zhì)量系統(tǒng)取鏈條整體為研究對(duì)象，應(yīng)用常質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)量定理求解。動(dòng)量定理求解。質(zhì)系動(dòng)量：質(zhì)系動(dòng)量：()plx x質(zhì)系動(dòng)量定理質(zhì)系動(dòng)量定理ddplgNt2d()dplxxxxt22xgxgx3lggx3Ngx定義：定義：變質(zhì)量剛體變質(zhì)量剛體是指質(zhì)點(diǎn)之間距離不變，且至少是指質(zhì)點(diǎn)之間距離不變，且至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)系。有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)系。設(shè)第設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為)()()0()(21tmtmmtmiiii) , . 2 , 1(Ni )(1tmi)(2tmi其中其中是從零時(shí)刻到是從零時(shí)刻到t時(shí)刻離開該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。時(shí)刻離開

13、該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。是從零時(shí)刻到是從零時(shí)刻到t時(shí)刻并入該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。時(shí)刻并入該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。我們已經(jīng)給出了變質(zhì)量質(zhì)系的動(dòng)量矩定理我們已經(jīng)給出了變質(zhì)量質(zhì)系的動(dòng)量矩定理：設(shè)設(shè)O為慣為慣性空間不動(dòng)點(diǎn)或質(zhì)系的質(zhì)心，則性空間不動(dòng)點(diǎn)或質(zhì)系的質(zhì)心，則 12ddeFFOOtLMMM 1212lim, limFFOOtt LLMM對(duì)于剛體：對(duì)于剛體：()111()Fiiim Mru()222()FiiimMru是分離、并入第是分離、并入第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的速度。個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的速度。12, iiuu設(shè)設(shè) 是分離、并入第是分離、并入第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的相對(duì)第相對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。則個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度。則 ( )( )12,rriiuu()()( )( )121122()FFrriiiiimm MMruu()iiimrv( )()rOiiimMrv對(duì)于作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變質(zhì)量剛體對(duì)于作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變質(zhì)量剛體( )d( )drzzzJ tMMtd()dziiiJmtrv作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變質(zhì)量剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程為作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變質(zhì)量剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程為衛(wèi)星消旋問題：設(shè)衛(wèi)星消旋過程中每秒鐘消衛(wèi)星消旋問題：設(shè)衛(wèi)