線(xiàn)性代數(shù)輔導(dǎo)講義

1、2013考研數(shù)學(xué)存季基礎(chǔ)班線(xiàn)性代數(shù)輔導(dǎo)講義2013考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班線(xiàn)性代數(shù)輔導(dǎo)講義主講：湯家鳳第一講行列式一、基木概念定義1逆序一設(shè)一對(duì)不等的正幣數(shù)，若i j,則稱(chēng)(ij)為一對(duì)逆序。定義2逆序數(shù)一設(shè)/,Z2 /是1.2,的一個(gè)扭列，該推列所含逆用總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序 數(shù)，記為7(/./； /),逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列。5 絢25定義3行列式一稱(chēng)如 勺“稱(chēng)為階行列式，規(guī)定 o=工（-1嚴(yán)5 a2 定義4余了式與代數(shù)余了式一把行列式= 6/21心2屮元素嗎所在的i行元素和j列元索去掉,剩卜的舁-I行和H - 1列元索按照元素原來(lái)的排列次序構(gòu)成的/2 - 1階

2、行列式，稱(chēng)為元索6的余子式.記為稱(chēng)Aij=(-rjMij為元索仇的代數(shù)余了式。二、幾個(gè)特殊的高階行列式a, 01、對(duì)角行列式一形如5 0 000稱(chēng)為對(duì)角行列式,61 a22、上(下)三角行列式一稱(chēng)吩 0 0列式.0%0s 00 0 及a2l a22 0 % annnn0 0C7 22 0 一 ac5an2 ann為上(下)三角行22 ann稱(chēng)為/!階范得蒙行列式,3、4、范得蒙彳丁列式一形如1/（4衛(wèi)2，久）=且 V(aa2-,an) =w-in-l【注解】心“）工（）的充分必要條件是絢山2,，心兩兩不等。三、行列式的計(jì)算性質(zhì)（一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì) 1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,

3、epn = Dro2、對(duì)調(diào)兩行（或列）行列式改變符號(hào)。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推論1行列式某行（或列）元素全為零,則該行列式為零。推論2行列式某兩行（或列）相同，行列式為零。推論3行列式某兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式為零。an%a%5”a2 5 + h,a,i + b“ % + biaa,a,2 a+h,2 hin 5an2%5an2 annClnCtn2 aftn即4、行列式的某行（或列）的每個(gè)元索皆為兩數(shù)之和時(shí)，行列式可分解為兩個(gè)行列式，即 a2 an % 細(xì) 2 % 心 +kajt 2 + kaj2 % +也j” 勺2 勺“ 勺2 伽 eg% a”n/

4、i4川a心 ann5、行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列）,行列式不變,其中P為任意常數(shù)?！纠}1】設(shè)久0,久化必為4維列|uJt：,HI4I=I a、VW? *= 4，IB |=|0,人3 兒，人 1=21,求 IA + BI。1 + a111 + Cl21111【例題4】計(jì)1 Dn =1 11 11 + 1. 1 1+%,其中 0(lZ =2-354-57-9-62-242472（一）行列式降階的性質(zhì)6、行列式等丁行列式某行（或列）元索與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余了式之積的和.即D = 5A., + ai2Ai2 + + ainAin (i = 12,n),D = a1/AM+a2.A2y +

5、 + 異可()= 1,2,曲) 7、行列式的某行（或列）元素與另_行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零。2 1【例題I】用行列式按行或列展開(kāi)的性質(zhì)計(jì)算-2 34 8【例題2】設(shè)=2-354-57-9_61 -1212472，求（1）A7“ + M” + M書(shū) + M24;( 2) A/ji + M甘。四、行列式的應(yīng)用一克萊姆法則4內(nèi)+嗎2吃+僉兀= “2內(nèi)+如勺+吆兀=（）（/） 及心內(nèi)+心2吃+心九=0a2+a22x2+-a2nxn=b2（）比中（）稱(chēng)為非齊方秤細(xì)，（/）稱(chēng)為（）對(duì)應(yīng)的齊次方用組或（）的導(dǎo)出方用細(xì)。a2*anSaina a2b、令D二“21 a22a2n ，D嚴(yán)b2如。2”

6、 a2 a22 be an2%bna”nnlnnan%仇其中D稱(chēng)為系數(shù)行列式,我們有定理1 (Q只有零解的充分必要條件是0； (/)有非零解(或補(bǔ)(/)有無(wú)窮多個(gè)解)的 充分必要條件是D=0o定理2 (“)有唯一解的充分必要條件是0，且a;=-(/ = 1,2, - ,/7)； D = 0時(shí)， ()耍么無(wú)解，要么仃無(wú)窮多個(gè)解。第二講矩陣一、基本概念及其運(yùn)算(一)基本概念11a2anI、矩陣一形如 5 也22”稱(chēng)為加行加列的矩陣，記為A = (.)mx，行數(shù)與列 m2d”wi 丿數(shù)相等的矩陣稱(chēng)為方陣，元索全為零的矩陣稱(chēng)為冬矩陣。(1) 若矩陣中所有元索都為零，該矩陣稱(chēng)為零矩陣,記為0。(2) 對(duì)

7、4 = (a” ),”心，若m = n,稱(chēng)人為乃階方陣。( (3) 稱(chēng)=為單位矩陣。(4) 對(duì)稱(chēng)矩陣一設(shè) A = (ai)nxn,若= 1,2,),稱(chēng) A 為對(duì)稱(chēng)矩陣。(5)轉(zhuǎn)置矩陣一設(shè)A二矩陣力的轉(zhuǎn)魚(yú)矩陣。2、同型矩陣及矩陣相等一若兩個(gè)矩陣行數(shù)與列數(shù)相同，稱(chēng)兩個(gè)矩陣為同熨矩陣，若兩個(gè)矩 陣為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)元素相同，稱(chēng)兩個(gè)矩陣相等。3、伴隨矩陣一設(shè)4 =(勺)也為矩陣，將矩陣A中的第!彳J和/列去掉，余下的元索按照 原來(lái)的元素排列次序構(gòu)成的/1-1階行列式,稱(chēng)為元素知的余了式，記為M廠(chǎng)同時(shí)稱(chēng)a.=(-iryMzy為元索知的代數(shù)余子式，這樣知陣中的每一個(gè)元索都佇白己的代數(shù)余了式，記4,2 Aj

8、 ,稱(chēng)為矩陣A的伴隨絶陣。 人2”Ann(-)矩陣的三則運(yùn)算11 a2“、伽1細(xì)22、數(shù)與矩陣的乘法一設(shè)人=a2 a22 a2n ,則M二如21 転22 % amn 7如肋沁3、矩陣與矩陣的乘法:1、矩陣加減法一設(shè)A =5 如”(l2lCl22a2n9 9 99 9 9 ,B =b hi hM 優(yōu)2 九、仇” ,則Jrb、S 士如士切仏士幾、A =Cl2 21 G 22 士 力22 a2n b2n Si 土/% 方加ci + bninmn /2仏、%如bj設(shè)al a 22 a2n ,B =&21 “22 h2s a機(jī)2amn /4*2b則【注解】(1)A$O、BwO推不岀ABO.(2) AB

9、工 BA。(3) 犯陣多項(xiàng)式對(duì)進(jìn)行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。若 AB= BA,則 A2 -3AB + 2B2 = (A-B)(A-2B).再如A2 -A-6E = (A-3E)(A + 2E)。(4) 方程組的二種形式 形式一：基木形式(/)(/)分別稱(chēng)為齊次與非齊線(xiàn)性方卅組。id A =仏2 Cl2a22a2n 、X =/ ,b =*，則方程組(/ )、(/)可改寫(xiě)為Vlmaml Clmn )3,” 糾內(nèi)+如勺+弘耳=0+a22x2+- + a2nxn =05州+%吃+殂兀=/?,內(nèi)+心2吃+ 2兀=b2心必+%2兀+。加兀=0An內(nèi)+心2無(wú)+ 0加兀=hm形式：方程組的矩陣形

10、式(/ )(/)AX=0,AX=b,令e =s =/ 、，, =/ 、,x =/X-V1,b =1)r2丿15 3“則有形式三：方程組的向最形式+ x2a2 + + xnan = O (I )xa,+x2a2- + xnan=O()二、矩陣的兩人核心問(wèn)題一矩旳的逆矩陣與矩旳的秩【背景】初屮數(shù)學(xué)問(wèn)題：對(duì)一元一次方程ax = h(a0).其解育如下兒種情況(1) 出“工()時(shí)，ax = b兩邊乘以丄得x = -oa a(2) 1 = 0,/; = 0時(shí)，方ax = b的解為一切實(shí)數(shù)。(3) 當(dāng) d = 0,bH 0 時(shí)，方 ax = b 無(wú)解， 矩陣形式的線(xiàn)性方程組解的聯(lián)想：對(duì)線(xiàn)性方卅組AX=b,

11、莫解有如下兒種情況(1) 設(shè)4為刀階矩陣，對(duì)方程組AX =b,存在刃階矩陣，使御BA = E ,則X = Bh.(此種情況產(chǎn)生矩陣的逆陣?yán)碚?(2) 設(shè)A為/I階矩陣,對(duì)方程組AX =方，不存在n階矩陣B，使得BA = E ,方程組AX=b 5：占有解?(3) 設(shè)A是mxn矩陣，且m n ,方AX =b是占有解？(后兩種情況取決于方觀(guān)纟I的耒知數(shù)個(gè)數(shù)與方秤組約束條件的個(gè)數(shù)即矩陣的秩)(-)逆矩陣I、逆矩陣的定義一設(shè)A為刀階矩陣，若存在3,使得BA=E,稱(chēng)A對(duì)逆，3稱(chēng)為A的逆 矩陣，記為B = A【例題I】設(shè)A為”階矩陣，且A2-A-2E = O,求”,(A + E)T?！纠}2】設(shè)A為n階矩陣

12、，且Ak = O,求（E-A）-o2、關(guān)于逆矩陣的兩個(gè)問(wèn)題【問(wèn)題1】設(shè)4為刃階矩陣，A何時(shí)可逆？【問(wèn)題2】若A可逆，如何求A1?3、逆陣存在的充分必要條件定理設(shè)A為樸階矩陣，則矩陣A可逆的充分必要條件是MkO,4、逆陣的求法（1）方法一：伴隨矩陣法A-1 = A141（2）初等變換法（A IE）初等行變換（1獷）。5、初等變換法求逆陣的思想體系第一步，方程組的三種同解變形（1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程；（2）某個(gè)方卅兩邊同乘以非咨常數(shù)：（3）某個(gè)方卅的倍數(shù)加到另一個(gè)方榨，以上二種變形稱(chēng)為方郴細(xì)的種同解變形。第二步，矩陣的三種初等行變換（1）對(duì)調(diào)矩陣的兩行；（2）矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍;（3）矩陣某行的倍

13、數(shù)加到另一行，以上三種變換稱(chēng)為矩陣的三種初等行變換。若對(duì)犯陣的列進(jìn)行以上二種變換，稱(chēng)為矩必的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換 統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換。第三步，三個(gè)初等矩陣及性質(zhì)（I）E” 一將的第i行與第丿行或者單位矩阡E的第i列與第J列對(duì)調(diào)所得到的矩陣，如I 0（）、001=E23o0 1 0,性質(zhì)：1） I ” 1= 一1 ； 1） E, = Ejj:3）E,/即為矩陣A的第/行與第j行對(duì)訓(xùn)，AEtj即為矩陣A的第i列與第j列對(duì)調(diào)，即EtjA是對(duì)4進(jìn)行第一種初等行變換，AE”是對(duì)A進(jìn)行第一種初等列變換。（2）Ef.（c）（c工0）將的第i行乘以菲零常數(shù)c或E的第i列乘以非零常數(shù)c所得

14、到的矩1 0 ()、陣，如()10 = E3(-5) O、()()-5性質(zhì)：1) I 耳(c)l=c； 2) E7(c) = /-)；c3) E,(c)A即為矩陣A的第i行樸零常數(shù)c , AE, (c)即為矩旳A的第i列非零常數(shù)c ,即E, (c)A為對(duì)A進(jìn)行第一.種初等行變換，AE.(c)為對(duì)A進(jìn)行第種初等列變換。(3) E-.(切一將E第J行的k倍加到第i彳j或E的第i列的k倍加到第j列所得到的矩陣。 性質(zhì)：1) Eh(k)A即A第八j的k倍加到第i行，AEy即A第i列的k倍加到第j列：2) I 伙)1=1； 3) E,(k) = Ejj(-k)第四步，三個(gè)問(wèn)題【問(wèn)題1】設(shè)A是階可逆矩陣，

15、A可都經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為E?(E 0、【問(wèn)題2】設(shè)Aiin階不對(duì)逆矩陣，A是臺(tái)町以經(jīng)過(guò)仃限次初等行變換化為? /(e 0【問(wèn)題3】設(shè)A是川階不可逆矩陣，A是否可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為？I。0)第伍步，初籌變換法求逆陣的理論定理1設(shè)4是階可逆矩陣,則A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為E,且(加E)t(EMT)。定理2設(shè)An階不町逆矩陣，則存在刃階町逆矩陣P和0,使得PAQ =6、逆矩陣的性質(zhì)(1) “尸二 A。(2) (M)h =-Ah o k(3) =更進(jìn)一步(人生人”尸=人：力二(4) (J4/ r，=(A)/ oO(-1，O& B丿0)(5)【例題1】設(shè)可逆矩陣人的i、j行對(duì)訓(xùn)所得的矩陣為

16、B 0(1) 證明：B可逆。 (2)求【例題2】設(shè)分別為加/階可逆矩陣,A=a,B=b9求Si +532 +1233 + 43 丿1 -1)【例35設(shè)“ 01I I ,且 A2-AB = E,求 B, o -I(二)矩陣的秩I、矩陣秩的定義一設(shè)4是mxn知陣，A屮任取r行和/列且元索按原有次序所成的r階 行列式,稱(chēng)為A的A階子式,若人中至少有一個(gè)廠(chǎng)階了式不等于零,而所價(jià)+1階了式(如 果有)皆為零,稱(chēng)廠(chǎng)為矩陣4的秩,記為r(A) = r.2、矩陣秩的求法一將力用初等行變換化為階梯矩陥階梯矩陣的罪零行數(shù)即為矩陣A的秩。 【注解】(I) 設(shè)A為 mxn 矩陣,則 r(A) 1的充分必要條件為(4)

17、 r(A) 2的充分必要條件是A至少有兩行不成比例T,aO(5) “二衛(wèi)門(mén)心),則r(a) =仁。(a = O3、矩陣秩的性質(zhì)(I) r(A) = r(Al ) = r(AA) = r(A7 A)?！纠}1】設(shè)A是mxn矩陣,證明:若AtA = O,則A = O.(2) 心士)S 心)+ 廠(chǎng)(3)?！纠}2】設(shè)G二:，0二 厲丿Aj A = aaJ 陽(yáng),證明：r( A) 2_ * 十 r(AB) r(A)(3) r(AB)minr(A),r(B),等價(jià)于r(AB) r(B)to(I訣:即矩陣的乘法不會(huì)使矩陣的秩升高)【例題3】設(shè)分別為mxnnxm矩陣,且AB = E,求r(A),r(B),(4

18、) 設(shè)且AB = 0,則r(A) + r(B) 2),(Xr(A)n-l(A(7) r r(A) + r(B) 0l*丿(8) r(A) = 1 O存在非零向就Q.0,使得4 =妙廠(chǎng)。第三講向量一、向最基木概念1、向最一H個(gè)實(shí)數(shù)q , “2，,所構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組稱(chēng)為向龜，其中(,他,“)稱(chēng)為X維/ 、5行向毎，:稱(chēng)為X維列向昴，構(gòu)成向駅的所仃元素皆為零的向最稱(chēng)為零向昴。2、向倉(cāng)的內(nèi)積：(Q,0) = Q0 二。r=l注解(1)(久0) = (0,4)=劉0：(2) (a,a) = ; =lal2；/=l(3) (a,0+y) = (a,0) + (a)；(4) (a,R0) = (Ra,0)=

19、R(a,0),(5) ：”i(a,0) = O,即$=()時(shí)，稱(chēng)向赧Q與0正交，記為a丄0，注童零向星與/=1任何向帚正交?！咀⒔狻糠匠探M的向鍛形式齊次線(xiàn)性方程組可以表示為斗e +x2a2 +- + xan =0：非齊線(xiàn)性方程組可以表示為州 +x2a2 + x”q“ = b,/ / 12/ 其屮e =,。2 =，,0” =、b =O m2 /（初）3、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)對(duì)齊次線(xiàn)性方程組xtat + x2a2 + xnan = O, I） xyax +x2a2 + + xnan = O當(dāng)且僅當(dāng)= x2 = = =（）時(shí)成立,即齊次線(xiàn)性方 程組只有零解，稱(chēng)向量組,也，,%線(xiàn)性無(wú)關(guān):（2）若有不全為

20、零的常數(shù)他，焉，& ,使得kai+k2a2+- + kllalt=O成立，即齊次 線(xiàn)性方程組有非零解,稱(chēng)，$，,色線(xiàn)性相關(guān)。4、向錄:的線(xiàn)性表示對(duì)非齊線(xiàn)性方程組州a】 +x2a2 + + xnan =b,（1）存在一組常數(shù)心北2,使得熱少+忍如+忍勺二方成立，即非齊線(xiàn)性方 程組有解,稱(chēng)0可由0 , a?,，線(xiàn)性表示;（2）若州0+兀2偽+ + /=不能成立,即非齊線(xiàn)性方程組無(wú)解,稱(chēng)0不可由,，,線(xiàn)性表示。5、向錄細(xì)的秩與矩陣的秩的概念（1）向帚組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)紐與向昴紐的秩一設(shè),為一個(gè)向彊組，若屮存在廠(chǎng)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的了向杲組，但任意廣+ 1個(gè)了向量組（如果有）線(xiàn)性相 關(guān)，稱(chēng)廣個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的了向昴組

21、為向量組少，勺,的 個(gè)極人線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，廣稱(chēng)為向帚 組&|,02，乙的秩。注解（I）若一個(gè)向承紐屮含有零向址，則該向址紐一定線(xiàn)性相關(guān)。（2）兩個(gè)向昴線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是網(wǎng)個(gè)向杲成比例。（3）向昴組的極人線(xiàn)性無(wú)關(guān)組不一定唯一。6、向量組的等價(jià)一設(shè)A：02,與B:0|,02，0”為兩個(gè)向量組，若e #/+心202+ S0”冬二緒屈+ J02 + J0” am - 50 + 匕202 + + 匕”0”則稱(chēng)向量組A:匕,，,可由向量組B :幾,02，禹線(xiàn)性表示，若兩個(gè)向量組可以相 互線(xiàn)性農(nóng)示，稱(chēng)兩個(gè)向城組等價(jià)。二、向杲的性質(zhì)（一）向曲組的相關(guān)性與線(xiàn)性表示的性質(zhì)1、若沖勺,a”線(xiàn)性相關(guān)，則其屮至少有一

22、個(gè)向杲可由其余向最線(xiàn)性表出。2、設(shè)apa2,- -,an線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而ag,a”,0線(xiàn)性相關(guān),則0可由apa2,線(xiàn)性表出, 且表示方法唯一。3、若一個(gè)向赧組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則其中任意一個(gè)部分向笊組也必然線(xiàn)性無(wú)關(guān)；4、若一個(gè)向量組的一個(gè)部分向量組線(xiàn)性相關(guān),則此向量組一定線(xiàn)性相關(guān);5、設(shè)心,為刃個(gè)n維向帚，則apa2,線(xiàn)性無(wú)關(guān)0|0,的,化1工0。6、若一個(gè)向雖紐的個(gè)數(shù)多于維數(shù)。則此向雖紐一定線(xiàn)性村關(guān)。7、若aa2 a為-個(gè)兩兩正交的非零向帚組，則,，,“線(xiàn)性無(wú)關(guān)。8、設(shè)少,冬,a”為兩兩正交的非零向帚:組，則少,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，反之不對(duì)?！纠}1】設(shè)a,a2,a?線(xiàn)性無(wú)關(guān)，a2,a3,a4線(xiàn)性相關(guān)，證明:巾可

23、由0,禺,偽線(xiàn)性表示?！纠}2設(shè)ara2,a3線(xiàn)性無(wú)關(guān),令0=at +巾，02 =2 +$，03 =$ + e，討論隊(duì)、兒隊(duì) 的相關(guān)性?！纠}4】設(shè)apa2,a3,a4線(xiàn)性無(wú)關(guān),令0i =o（ +$,角=4+,03 =a3+a4,）S4 =a4+ar 討論隊(duì)、隊(duì)屆、隊(duì)的相關(guān)性。（二）向最組的秩的性質(zhì)1、設(shè)A0,如,3：0|,02,，”為兩個(gè)向量組,若A組可由B線(xiàn)性表出,則A組的秩不超過(guò)組的秩。2、導(dǎo)價(jià)的向昴組由相等的秩。3、矩陣的秩、矩陣的行向帚:組的秩、矩陣的列向帚:組的秩三者相等?！咀⒔?（1）設(shè)0,勺，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，0,勺,a”,b線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是方不可由向 帛勿0,2,a”線(xiàn)性表樂(lè)

24、，鴿價(jià)于?（，為，。”上）=0,偽，,） + 1。(2) 設(shè)4:3： 0i，02,，0若向吊勺I人町由向量細(xì)線(xiàn)性表示，而向杲紐不 可由向量組A線(xiàn)性表示，則廠(chǎng)(A) r(B) o第四講方程組方秤組(/),稱(chēng)(/)為刃元齊次線(xiàn)性方程組。()稱(chēng)()為/!元非齊線(xiàn)性方程組,方程組一、線(xiàn)性方程組的基本概念 絢內(nèi)+山2勺+山”兀=0, Cl2X + (l22X2 a2nXn = ，4內(nèi)+知2吃+ 5“兀=0.5 + %大2+ + %兀=P方程泊+ a22x2 + + a2nxn = b2,+爲(wèi)2吃+心川兀二(I) 又稱(chēng)為方程組()對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組或者導(dǎo)出方程組。 二、線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 1、設(shè) XPX

25、2,-.,XS 為齊次線(xiàn)性方 iAX= O 的解，則 klXlk2X2+- + kxXs 為AX= O的解，其中何伙2,&為任意常數(shù)。特殊情形,X, +X2及kX (R為任意常數(shù)) 祁是XX = O的解。2、設(shè)X。為齊次線(xiàn)性方程組AX= O的解，為非齊線(xiàn)性方tAX=b的解，則X+為 方fAX=b的解。3、設(shè)7,“2為非齊線(xiàn)性方程組AX=b的解，則7-“2為AX= O的解。4、設(shè)久,2,，幾為AX二方的一組解，則+心2 + + &為AX的解的充分 必要條件是他+煜+ +=1三、線(xiàn)性方程組解的基木定理定理1 ( 1)齊次線(xiàn)性方用纟11 AX=O只有零解的充分必要條件是r(4) = n ；(2) 齊

26、次線(xiàn)性方程組AX=Oj：| ?解(或者無(wú)窮多個(gè)解)的充分必要條件是r(A) n o 定理2 (1)非齊線(xiàn)性方榨紐AX = b無(wú)解的充分必要條件是r(A)工r(A)。(2) AX = b H解的充分必要條件是r(A) = r(A)更進(jìn)一步地，當(dāng)r(A) = r(A) = n時(shí)， 方程組AX = b有唯-解；當(dāng)r(A) = r(A) = r n時(shí),方程組AX = b有無(wú)窮多個(gè)解。四、線(xiàn)性方程組的通解（一）齊次線(xiàn)性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系與通解X）+ jv2 + x3 - x4 + 8x5 = 0O y 丫 4. 7 丫 【例題1】求方程組 I T 5的通解。x2 + x3 + 5x5 = 0X -

27、x3+x4-x5 = 0x + x2 - 2x3 - x4 + xs = 0 【例題2】求方程組”州+2勺+2小一4心=0。%! + x2 + x3 + 2x4 2x5 = 0【注解】齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解的的三大條件一個(gè)向疑組為齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系的充分必要條件址（I）該向杲組為方程組的解。（2）該向杲組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（3）該向就組的向昴個(gè)數(shù)與方程 組白由變量個(gè)數(shù)相等。（二）非齊線(xiàn)性方程AX=b的通解1、/ X|Ta + 2=3_2OQ 2【例題I】設(shè)方程組2 3無(wú)解，求。x +x2+x3 + x4 =0x2 + 2x. + 2x4 = I【例題2】a取何值時(shí)，方程組2 J r ，有解，并求出

28、其解。-x2 + （a - 3）x3 - 2x4 = b3X + 2x2 + 屯 + ax4 = 一 I【例題3】（1）設(shè)A為n階陣，且A的各行元素Z和為（） /?（A） = n-l,貝IJAX=O,求AX =0的通解:（2）設(shè)A為n階陣，且141=0,4/*0,求AX= 0的通解。（3）設(shè)AX=h為四元非齊方程組.R（A） = Xaa2Ja3為其3個(gè)解向感 且少=（1,9,9,8幾 a2+a5 = （h9,9,9）r, AX=b 的通解。（4）arpa2,a3設(shè)為4維列向址纟II, a】,勺線(xiàn)性無(wú)關(guān),a3 = 3at+2a2,KA = （aI,a2,a3）,求AX = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（5

29、）沒(méi) A = （aa2.aaaa3yaA線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且ax =3a2 + ap = ax +2a2+a4,求ax = 0的通解?！纠}3】設(shè)匕=/ 、5ai2（i = i,2,m）為刀維向景俎,且，舛線(xiàn)性無(wú)關(guān),0=b23”丿ax. + + a”x“ =0為21 *$的非咨解，問(wèn)“,0線(xiàn)性相關(guān)性。A內(nèi)+兀= 方程組補(bǔ)充(一)理論拓展定理I若AB = O,則B的列向量組為方程紐AX =O的解?！纠}1】設(shè)AB = O證明：r(A) + r(B)/?eI 2 3、【例題2】設(shè)4為三階非零矩陣，A的第一行元素a,b,c不全為零，= 2 4 6 ,且 、3 6 AB = O,求方程織AX= O的通解。定理

30、2若AX = O與BX=O同解，則r(A) = r(B)?！纠}I】證明：r(A) = r(ATA).【例題2】設(shè)人為nxs矩陣，Bmxn矩陣，且r(B) = n ,證明：rB) = r(BA).(二)方軒IH的公共解a、 定理AX =0與BX =O的公共解即為X =0的解。【例題I】設(shè)A,祁是n階矩陣,且心)+ r(B) n ,證明：AX = O與BX =0有公共 的非零解。x, - x2 + x3 = 0x2 - x3 + X4 = 0x. += 0【例題2】設(shè)線(xiàn)性方軒纟II (I)12 與方用紐(2廠(chǎng)x2 -x4=0(I) 求兩個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系。(2)求兩個(gè)方榨組的公共解。第五講特征值

31、與特征向量一、基木概念I(lǐng)、矩陣的特征值、特征向帚:一設(shè)A為n階燉陣，若存在久和非零向杲X，使得AX=AX , 稱(chēng)久為矩陣A的特征值，稱(chēng)X為矩陣A的屈于特征值久的特征向昴?！締?wèn)題I】設(shè)人為階矩陣，如何求A的特征值？【問(wèn)題2】設(shè)A為”階矩陣，九為A的特征值，如何求矩陣A的屬于入的特征向竝？(a an %、2特征多項(xiàng)式特征方程一令力=22 a2n ,稱(chēng) AE-A=A-為矩陣a的特征多項(xiàng)式,1征一人1=0稱(chēng)為nn矩陣人的特征方科C【注解】(1)設(shè)A為實(shí)矩陣，則A的特征值不一定是實(shí)數(shù)。(2) 入 + & + + 2“ = “11 + “22 + + % = (A) 0(3) &込& =1 A I。(4)

32、 r(A) = n的充分必要條件是& 0(l/)o1 2【例題I】設(shè)A= 21(2 20 1【例題2】設(shè)A= 0 0J)問(wèn)題1】設(shè)廠(chǎng)(A) 1AE-AHAE-81,反之不對(duì)。(5) A 3 =廠(chǎng)(人)二廠(chǎng)(B),反之不對(duì)3(6) BAT BrAl - B1 (其中 4,B可逆)。(7) 若 A B ,貝 0/r(A) = /r(B), IAMBI.4、矩陣的對(duì)角化一若一個(gè)矩陣和對(duì)角矩陣相似，則稱(chēng)矩陣可以對(duì)角化，設(shè)A是階矩陣，所謂A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P,使得PlAP = A,其屮A為對(duì)角矩陣。二、特征值與特征向量的性質(zhì)（一）一般矩陣特征值與特征向帚的性質(zhì)1、（重要性質(zhì)）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征

33、向址線(xiàn)性無(wú)關(guān)。2、設(shè)A為n階矩陣，人是矩陣A的特征值，X。是矩陣人的對(duì)應(yīng)于人的待征向?qū)?，則（1）若人可逆，則石是矩陣/T的特征值，X。是矩陣”的對(duì)丿“于石的特征向鼠141I4I（2）若A可逆，則一為矩陣的特征值，X。是矩陣A的對(duì)皿于一的特征向量。A）（3）設(shè) /（x） = anxn + an-iXn + + ax + aQ 為一元n 次多項(xiàng)式,稱(chēng)f（A） = anAn+ a/ + qE為關(guān)于矩陣A的矩陣多項(xiàng)式，則有/（入）為矩陣/（A）的特征值，X。是矩陣/（小的對(duì)臧于/（入）的特征向秋3、矩陣A可對(duì)角化的充分必耍條件是A個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向最。（一）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向地的性質(zhì)1、設(shè)A為實(shí)

34、對(duì)稱(chēng)陣，則A的特征根祁是實(shí)數(shù)。2、設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,則人的不同特征根對(duì)應(yīng)的特征向量正交。3、A可對(duì)角化OA右5個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向昴。4、設(shè)A為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,入，人，人為其特征根,則存在正交陣Q，使得仏 、Q1 AQ =*. o三、矩陣的對(duì)角化（一）非實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（二）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣典型問(wèn)題（一）特征值、特征向最的性質(zhì)【例題I】設(shè)A為四階矩陣，AB,且A的特征值為貝iJlAEI二2 3 4 5【例題2】設(shè)A為可逆矩陣，心為A的一個(gè)特征值，則（Ar）2+2E的一個(gè)特征值為【例題3】設(shè)入，易為A的兩個(gè)不同的特性根,XX,分別為人，希所對(duì)應(yīng)的特征向最,則X,+X2 是特征向杲。（二）特征值、特征向杲的求法思路分析

35、】特征值的求法常見(jiàn)仃二種方法：（I）公式法，即通過(guò)I2E-AM0求A的特征值。（2）定義法（3）關(guān)聯(lián)矩陣法【例題I】設(shè)矩陣4 B的每行元索之和分別為a,b,其中A可逆。（I）求獷的每行元素之和：（2）求AB的每行元索之.和?！纠}2】設(shè)A為n階矩陣，且A2+2A = O.求A的特征值。宓【例題3】設(shè)G二宀丿且（Z0） = 3,令人儼求A的特征值及巫數(shù)?！纠}4】A是工階矩陣，”鳥(niǎo)線(xiàn)性無(wú)關(guān),Aat =a2 +a3,Aa2 =a3 +a,Aa =a +a2,求矩陣 A 的特征值 （三）矩陣對(duì)角化問(wèn)題（思路分析】判斷矩陣對(duì)角化常見(jiàn)思路仃：（1）矩陣的特征值是否為單值。（2）犯陣是否存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向暈。（3）矩陣是否為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，【例題I】設(shè)A = T 且ad-bc 0,證明A可對(duì)角化。 c d-3 I【例題2】設(shè)人=-7 5、一6 6一1、-1 ,證明A不可以對(duì)角化。一21 2 21【例題3】4= 2 I 2求A的特征根、特征向嵐 以及是否可以對(duì)角化?(2 2 I 丿【例題4】設(shè)A為非零矩陣,口存在正榕數(shù)使得證明A不可以對(duì)角化。P 0【例題5】設(shè)人=x 1A（）.V令二個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向就，求兒y滿(mǎn)足