菱形證明專題訓(xùn)練

1、v1.0 可編輯可修改絕密啟用前樂學(xué)教育菱形證明專題訓(xùn)練1. 已知:如圖,在四邊形 abcd 中,abcd,e,f 為對(duì)角線 ac 上兩點(diǎn),且 ae=cf,dfbe,ac 平分 bad.求證:四邊形 abcd 為菱形.【答案】abcd,bae=dcf.dfbe,bef=dfe,aeb=cfd.又ae=cf,aebcfd,ab=cd.abcd,四邊形 abcd 是平行四邊形. ac 平分bad,bae=daf.又bae=dcf,daf=dcf,1第 1 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改ad=cd,四邊形 abcd 是菱形.2. 如圖，矩形 abcd 中，點(diǎn) o 為 ac 的中點(diǎn)，過點(diǎn) o

2、的直線分別與 ab，cd 交于點(diǎn) e，f，連接 bf 交 ac 于點(diǎn) m，連接 de，bo.若cob=60，fo=fc.求證:(1)四邊形 ebfd 是菱形;【答案】連接 od.點(diǎn) o 為矩形 abcd 的對(duì)角線 ac 的中點(diǎn)， b,d, o 三點(diǎn)共線且 bd=do=co=ao.在矩形 abcd 中，abdc，ab=dc，fco=eao. 在cfo 和aeo 中，cfoaeo，fo=eo.又bo=do，四邊形 befd 是平行四邊形.bo=co，cob=60，cob 是等邊三角形.ocb=60.fco=dcb-ocb=30.fo=fc，foc=fco=30.fob=foc+cob=90.efb

3、d.平行四邊形 ebfd 是菱形.(2)mboe=32.2第 2 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改【答案】bo=bc，點(diǎn) b 在線段 oc 的垂直平分線上.fo=fc，點(diǎn) f 在線段 oc 的垂直平分線上. bf 是線段 oc 的垂直平分線.fmo=omb=90.obm=30.of=bf.foc=30，fm=of.bm=bf-mf=2of-of=of.即 fo=eo，bmoe=32.3. 如圖,在abc 中,abc=90,bd 為 ac 邊上的中線,過點(diǎn) c 作 cebd 于點(diǎn) e,過點(diǎn) a 作 bd的平行線,交 ce 的延長線于點(diǎn) f,在 af 的延長線上截取 fg=bd,連接 bg,

4、df.求證:四邊形 bgfd 是菱形.【答案】fgbd,bd=fg,四邊形 bgfd 是平行四邊形.cfbd,agbd,cfag.又abc=90,點(diǎn) d 是 ac 的中點(diǎn),bd=df=ac,3第 3 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改平行四邊形 bgfd 是菱形.4. 如圖,點(diǎn) o 是菱形 abcd 對(duì)角線的交點(diǎn),deac,cebd,連接 oe. 求證:oe=bc.【答案】deac,cebd,四邊形 oced 是平行四邊形.四邊形 abcd 是菱形,acbd,ob=od,boc=cod=90,四邊形 oced 是矩形,ode=90,ob=od,boc=ode=90, bc=,oe=,de=

5、oc.oe=bc.5. 2015蘭州中考,25 (9 分)如圖,四邊形 abcd 中,abcd,abcd,bd=ac.4第 4 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(1)求證:ad=bc;【答案】作 bmac,bm 交 dc 的延長線于點(diǎn) m,則acd=bmd.1 分abcd,bmac,四邊形 abmc 為平行四邊形. ac=bm.bd=ac,bm=bd.bdm=bmd.bdc=acd.在bdc 和acd 中,2 分bdcacd.4 分bc=ad.5 分(2)若 e,f,g,h 分別是 ab,cd,ac,bd 的中點(diǎn).求證:線段 ef 與線段 gh 互相垂直平分.【答案】連接 eg,gf,f

6、h,he.6 分e,h 為 ab,bd 的中點(diǎn),eh=ad.5第 5 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改同理 fg=ad,eg=bc,fh=bc.bc=ad,eg=fg=fh=eh.四邊形 egfh 為菱形,ef 與 gh 互相垂直平分.8 分9 分6. 2015長春中考,18 (7 分)如圖,ce 是abc 外角acd 的平分線,afcd 交 ce 于點(diǎn) f,fgac 交 cd 于點(diǎn) g,求證:四邊形 acgf 是菱形.【答案】因?yàn)?afcd,fgac,所以四邊形 acgf 是平行四邊形,又因?yàn)閍ce=ecg,ecg=afc,所以ace=afc,所以 ac=af,由得四邊形 acgf 是

7、菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形 abcd 中，adbc，abad(如圖所示)，bad 的平分線 ae 交 bc 于點(diǎn) e，連結(jié) de.6第 6 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(1)在圖中，用尺規(guī)作bad 的平分線 ae(保留作圖痕跡，不寫作法)，并證明四邊形 abed 是 菱形；【答案】baedae，daebea，baebea，abbead，adbe，四邊形 abed 的平行四邊形，又 abad，四邊形 abed 為菱形(2)abc60，ec2be，求證：eddc.【答案】過 d 作 dfae，則 dfcf1，c30，而dec60，edc90，eddc.8. 2010沈陽中

8、考，19如圖，菱形 abcd 的對(duì)角線 ac 與 bd 相交于 o，點(diǎn) e，f 分別為邊 ab，ad 的中點(diǎn)，連接 ef，oe，of，求證：四邊形 aeof 是菱形.7第 7 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改【答案】點(diǎn) e，f 分別為 ab，ad 的中點(diǎn) aeab，afad(2 分)又四邊形 abcd 是菱形 abad8第 8 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改aeaf(4 分)又菱形 abcd 的對(duì)角線 ac 與 bd 相交于點(diǎn) o o 為 bd 的中點(diǎn)oe，of 是abd 的中位線(6 分)oead，ofab四邊形 aeof 是平行四邊形(8 分)aeaf四邊形 aeof 是菱形

9、(10 分)9.2010安徽中考，20如圖，adfe，點(diǎn) b,c 在 ad 上，12，bfbc.(1)求證：四邊形 bcef 是菱形；【答案】adfe，feb2.12，feb1. bfefbfbc，bcef.四邊形 bcef 是平行四邊形 bfbc，四邊形 bcef 是菱形(5 分)9第 9 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(2)若 abbccd，求證：acfbde.【答案】efbc，abbccd，adfe，四邊形 abef、四邊形 cdef 均為平行四邊形，afbe，fced.(8 分)又ac2bcbd，(9 分)acfbde.(10 分)10. 2013長沙中考，24如圖，在 abc

10、d 中，m，n 分別是 ad，bc 的中點(diǎn)，and 90，連接 cm 交 dn 于點(diǎn) o.(1)求證：abncdm；【答案】abncdm，abcd， bnbcaddm，abncdm(sas).(2)過點(diǎn) c 作 cemn 于點(diǎn) e，交 dn 于點(diǎn) p，若 pe1，12，求 an 的長. 【答案】m，o 分別為 ad，nd 的中點(diǎn)，anmo 且 an2mo，10第 10 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改modand90，即平行四邊形 cdmn 是菱形，在 rtmod 與 rtnec 中，12，mdnc，rtmodrtnec，mone.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，mndcnd，1cnd，所以mndc

11、nd230，所 以在 rtenp 中 nepetan30，即 an2.11. 如圖,在abc 中,a=90,ahbc 于點(diǎn) h,b 的平分線交 ac 于點(diǎn) d,交 ah 于點(diǎn) e,dfbc 于點(diǎn) f,求證:四邊形 aefd 是菱形.【答案】abd=fbd,bd=bd,bad=dfb=90, abdfbd,ad=df,ab=fb.又abe=fbe,be=be,abefbe.bae=bfe.又bae=90-abc=c,bfe=c,efad.11第 11 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改dfbc,ahbc,aedf.四邊形 aefd 是平行四邊形.又 ad=df,四邊形 aefd 是菱形.12

12、. 2012南寧中考,25如圖,已知矩形紙片 abcd,ad2,ab4,將紙片折疊,使頂點(diǎn) a 與邊 cd 上的點(diǎn) e 重合,折痕 fg 分別與 ab,cd 交于點(diǎn) g,f,ae 與 fg 交于點(diǎn) o.圖 1 圖 2(1)如圖 1,求證：a,g,e,f 四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形； 【答案】證法一：證明：在矩形 abcd 中,cdab 13(1 分)由折疊可知：ageg,12 23efeg(2 分)efag四邊形 agef 是菱形(3 分) 證法二：12第 12 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改證明：連接 af,由折疊可知oaoe,ageg(1 分)在矩形 abcd 中,abcdaefeag

13、aogeofaogeof(asa)(2 分)agef四邊形 agef 是菱形(3 分)(2)如圖 2,當(dāng)aed 的外接圓與 bc 相切于點(diǎn) n 時(shí),求證,點(diǎn) n 是線段 bc 的中點(diǎn)； 【答案】證明：連接 on,o 是 ade 外接圓圓心.o 與 bc 相切于點(diǎn) n onbc(4 分)在矩形 abcd 中,dcbc,abbc cdonab(5 分)13第 13 頁 共 31 頁2 2 22 2 2v1.0 可編輯可修改oaoe cnnb即 n 為 bc 的中點(diǎn)(6 分)(3)如圖 2,在第 2 問的條件下,求折痕 fg 的長. 【答案】解法一：過點(diǎn) o 作 omab 于點(diǎn) m,則四邊形 omb

14、n 是矩形設(shè)o 半徑為 x,則 oaoeonx(7 分) ab4,ad2 am4x由第 2 問得,nbom1在 rtaom 中,oa am omx (4x) 1 x(8 分)am4feooam又foeoma90rtefortaom (9 分)14第 14 頁 共 31 頁22222 2v1.0 可編輯可修改of fg2of(10 分)解法二：延長 no 交 ad 于點(diǎn) m四邊形 abnm 是矩形ambnad1o 為 rtade 外接圓圓心 oaoeon設(shè) on 為 x,則 om4x(7 分)在 rtamo 中,am om oa 即 1 (4x) xx(8 分)15第 15 頁 共 31 頁v1

15、.0 可編輯可修改om4fgae,mndc feomoa amoeof90 eofoma (9 分)of fg2of(10 分)13. 2013葫蘆島中考,20 (本小題滿分 8 分)如圖,四邊形 abcd 中,adbc,baad,bc=dc,becd 于點(diǎn) e.(1)求證:abdebd;【答案】如圖,adbc,1=dbc.bc=dc,2=dbc.1=2.2 分16第 16 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改又bad=bed=90,bd=bd,abdebd.4 分(2)過點(diǎn) e 作 efda,交 bd 于點(diǎn) f,連接 af.求證:四邊形 afed 是菱形. 【答案】由第 1 問得,ad=e

16、d,1=2.efda,1=3,2=3.ef=ed.ef=ad.5 分6 分四邊形 afed 是平行四邊形. 又ad=ed.四邊形 afed 是菱形.14. 2013貴陽中考，208 分已知：如圖，在菱形 abcd 中，f 為 bc 上的任意一點(diǎn)，連接 af 交對(duì)角線 bd 于點(diǎn) e，連接 ec.17第 17 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(1)求證：aeec； 【答案】證明：連接 ac.bd 是菱形 abcd 的對(duì)角線， bd 垂直平分 ac.aeec.18第 18 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(2)當(dāng)abc60，cef60時(shí)，點(diǎn) f 在線段 bc 上的什么位置說明理由.【答

17、案】點(diǎn) f 是線段 bc 的中點(diǎn).理由：菱形 abcd 中，abbc，又abc60.abc 是等邊三角形，bac60.aeec，cef60，eac30.af 是abc 的角平分線.af 交 bc 于點(diǎn) f，af 是abc 的 bc 邊上的中線.點(diǎn) f 是線段 bc 的中點(diǎn).15. 2012上海中考,23已知：如圖,在菱形 abcd 中,點(diǎn) e,f 分別在邊 bc,cd 上,baf dae,ae 與 bd 交于點(diǎn) g.(1)求證：bedf；【答案】四邊形 abcd 為菱形, abadbccd,abdadbcbdcdb,19第 19 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改abeadfbafdae,

18、且bafbaeeaf,daedafeafbaedaf.abeadf(asa).bedf.(2)當(dāng)時(shí),求證：四邊形 befg 是平行四邊形. 【答案】在菱形 abcd 中,adbc,daebea,adbebd.agdegb.又,bedf,gfbe.dgfdbc.dbccdb,20第 20 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改dgfgdf,gfdf,begf.begf,四邊形 befg 是平行四邊形.16. 2013烏魯木齊中考,19如圖,在abc 中,acb90,cdab 于 d,ae 平分bac,分 別與 bc,cd 交于 e,f,ehab 于 h,連接 fh.求證：四邊形 cfhe 是菱形

19、.【答案】ae 平分bac,caeeah,而acb90,cdab,ceacaeafdeah90,又apdcfe, cfecef,cfce.又ae 平分bac,acb90.ehab,ceeh,cfehce,cdab,ehab,cfeh,四邊形 cfhe 是菱形.21第 21 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改17. 如圖所示,在菱形 abcd 中,ceab 于點(diǎn) e,cfad 于點(diǎn) f,求證:ae=af.【答案】證法 1：如圖所示,連接 ac,四邊形 abcd 是菱形,ac 平分bad,即bac=dac.在ace 和acf 中,aec=afc=90,bac=dac,ac=ac,aceacf(

20、aas),ae=af.證法 2：四邊形 abcd 是菱形,bc=dc=ad=ab,b=d.又在bce 和dcf 中,bec=dfc=90,bcedcf(aas),be=df,ae=af.18. 2013南寧中考，23如圖，在菱形 abcd 中，ac 是對(duì)角線，點(diǎn) e，f 分別是邊 bc，ad 的中點(diǎn).22第 22 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改(1)求證：abecdf；【答案】在菱形 abcd 中，abbccdda(或 abcd，bcda). bd.點(diǎn) e，f 分別是邊 bc，ad 的中點(diǎn)，bedf.abecdf.(2)若b60，ab4，求線段 ae 的長.【答案】解法一：abbc，b

21、60，abc 是等邊三角形.點(diǎn) e 是 bc 邊的中點(diǎn).aebc.在 rtabe 中，sinb.aeabsinb4.23第 23 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改解法二：abbc，b60， abc 是等邊三角形.點(diǎn) e 是 bc 邊的中點(diǎn)，aebc. bae30.在 rtabe 中，beab2.ae.19. 2012溫州中考,19(本題 8 分)如圖,abc 中,b90,ab6cm,bc8cm,將abc 沿射線 bc 方向平移 10cm,得到 def,a,b,c 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是 d,e,f,連接 ad.求證：四邊形 acfd 是菱形.【答案】法一：b90,ab6cm,bc8cm. ac1

22、0cm.由平移變換的性質(zhì)得 cfad10cm,dfac,adcfacdf,24第 24 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改四邊形 acfd 是菱形.法二：由平移變換的性質(zhì)得 adcf,adcf10cm,四邊形 acfd 是平行四邊形,b90,ab6cm,bc8cm,ac10cm,accf, acfd 是菱形.20. 2011 蘭州中考，27(本小題滿分 12 分)已知：如圖 17 所示的一張矩形紙片 abcd(adab)，將紙片折疊一次，使點(diǎn) a 與點(diǎn) c 重 合，再展開，折痕 ef 交 ad 邊于點(diǎn) e，交 bc 邊于點(diǎn) f.分別連接 af 和 ce.(1)求證：四邊形 afce 是菱形

23、；【答案】由題意可知 oaoc，efao.25第 25 頁 共 31 頁22, 2 222v1.0 可編輯可修改adbc，aeocfo，eaofco，aoecof，aecf，又 aecf，四邊形 aecf 是平行四邊形(2 分)acef，四邊形 aecf 是菱形.(4 分)(2)若 ae10 cm，abf 的面積為 24 cm ，求abf 的周長；【答案】四邊形 aecf 是菱形，afae10 cm.設(shè) aba，bfb，abf 的面積為 24 cm a b 100，ab48(6 分)(ab) 196，ab14 或 ab14(不合題意，舍去)(7 分)abf 的周長為 ab1024 cm(8 分

24、)(3)在線段 ac 上是否存在一點(diǎn) p，使得 2ae ac ap 若存在，請(qǐng)說明點(diǎn) p 的位置，并予以證 明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】存在，過點(diǎn) e 作 ad 的垂線，交 ac 于點(diǎn) p，點(diǎn) p 就是符合條件的點(diǎn)(9 分)證明：aepaoe90，eaoeap，aoeaep，26第 26 頁 共 31 頁222v1.0 可編輯可修改ae ao ap(11 分)四邊形 aecf 是菱形，aoac，ae ac ap，2ae ac ap.(12 分)21. 2013營口中考,19如圖 ,abc 中,ab=ac,ad 是abc 一個(gè)外角的平分線,且 bac=acd.(1)求證:abccda;【答案】ab=ac,b=acb又fac 是abc 的一個(gè)外角, fac=b+acbfac=2acb2 分又ad 是fac 的角平分線,fac=2cad,acb=cad3 分又ac=ca,bac=dca27第 27 頁 共 31 頁v1.0 可編輯可修改abccda4 分(2)若acb=60,求證:四邊形 abcd 是菱形. 【答案】bac=acdabcd5 分又acb=cad,adbc.四邊形 abcd 是平行四邊形. ab=ac,acb=60,等腰三角形 abc 是