圓錐曲線的綜合問題(一)詳細解析版

1、圓錐曲線的綜合問題 ( 一 ) 詳細 解析版圓錐曲線的綜合問題（一）最新考綱 1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位 置關系的思想方法； 2. 了解圓錐曲線的簡單應 用；3.理解數(shù)形結合的思想 .1.直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線 l 與圓錐曲線 c 的位置關系時，通常將 直線 l 的方程 axbyc0(a，b 不同時為 0) 代入圓錐曲線 c 的方程 f(x，y)0，消去 y(也 可以消去 x)得到一個關于變量 x(或變量 y)的一 元方程，axbyc0， 即f（x，y）0消去 y，得 ax2bxc0.(1)當 a0 時，設一元二次方程 ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線 c 相 交

2、；0直線與圓錐曲線 c 相切；0直線與圓錐曲線 c 相離.(2)當 a0，b0 時，即得到一個一次方程，則 直線 l 與圓錐曲線 c 相交，且只有一個交點，此 時，若 c 為雙曲線，則直線 l 與雙曲線的漸近線 的位置關系是平行；若 c 為拋物線，則直線 l 與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合 . 2.圓錐曲線的弦長設斜率為 k(k0)的直線 l 與圓錐曲線 c 相交于 a，b 兩點，a(x ，y )，b(x ，y )，則1 1 2 2|ab| 1k2|x x |1 2 1k2 （x x ）24x x1 2 1 211k2|y1y | 211 （y y ）2 k2 1 24y y .1 2

3、例題精講（考點分析）考點一直線與圓錐曲線的位置關系【例 1】 在平面直角坐標系 xoy 中，已知橢圓 x2 y2c ： 1(ab0)的左焦點為 f (1，0)， 1 a2 b2 1且點 p(0，1)在 c 上.1(1)求橢圓 c 的方程；1(2)設直線 l 同時與橢圓 c 和拋物線 c ：y21 24x相切，求直線 l 的方程.解 (1)橢圓 c 的左焦點為 f (1，0)，c1，1 1又點 p(0，1)在曲線 c 上，10 1 1，得 b1，則 a2 a2 b2b2c22，x2所以橢圓 c 的方程為 y21.1 2(2)由題意可知，直線 l 的斜率顯然存在且不等 于 0，設直線 l 的方程為

4、 ykxm， x2 y2 1，由2 消去 y，得(12k2 ykxm20.因為直線 l 與橢圓 c 相切，1)x24kmx2m2所以 16k2m214(1 2k2)(2m22)0.整理得 2k2m210. y24x，由 消去 y，得 k2x2 ykxm(2km4)xm20.因為直線 l 與拋物線 c 相切，2所以 (2km4)2 24k2m20，整理得 km1. 2 2k ， k ，綜合，解得 2 或 2m 2 m 2.2 2所以直線 l 的方程為 y x 2或 y x2 2 2.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關系時，一般轉化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組 成的方程組解的個數(shù)，消元后，應注

5、意討論含x2項的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應用 .但對于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù) 形結合的方法求解 .【訓練 1】 在平面直角坐標系 xoy 中，點 m 到 點 f(1，0)的距離比它到 y 軸的距離多 1.記點 m 的軌跡為 c.(1) 求軌跡 c 的方程；(2) 設斜率為 k 的直線 l 過定點 p(2，1)，若 直線 l 與軌跡 c 恰好有一個公共點，求實數(shù) k 的 取值范圍.解 (1)設點 m(x，y)，依題意|mf|x|1， （x1）2y2 |x| 1，化簡得 y2 x)，2(|x|故軌跡 c 的方程為 y24x（x0）， 0（x0）.4(2)在點 m 的軌跡 c

6、中，記 c ：y214x(x0)；c ：y0(x0).2依題意，可設直線 l 的方程為 y1k(x2). y1k（x2），由方程組y24x，可得 ky2 4y4(2k1)0.當 k0 時，此時 y1.把 y1 代入軌跡 c 的 1方程，得 x .4故此時直線 l：y1 與軌跡 c 恰好有一個公共點 1 ，1 . 當 k0 時，方程的16(2k2k1) 16(2k1)(k1)，設直線 l 與 x 軸的交點為(x ，0)，則0由 y1k(x2)，令 y0，得 x 02k1k. k0， 1 ()若 由解得 k1，或 k .x 0， 201所以當 k1 或 k 時，直線 l 與曲線 c 沒有2 1公共

7、點，與曲線 c 有一個公共點，故此時直線 l2與軌跡 c 恰好有一個公共點 .2k2k10， 0，()若 即2k1x00， 0，解集為 .1綜上可知，當 k1 或 k 或 k0 時，直線 l2與軌跡 c 恰好有一個公共點 .考點二弦長問題x2 y2【例 2】 (2016四川卷)已知橢圓 e： a2 b21(ab0) 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角 三角形的三個頂點，直線 l：yx3 與橢圓 e 有且只有一個公共點 t.(1)求橢圓 e 的方程及點 t 的坐標；b2(2)設 o 是坐標原點，直線 l平行于 ot，與橢 圓 e 交于不同的兩點 a，b，且與直線 l 交于點p.證明：存在常數(shù) ，使

8、得|pt| 并求的值.2|pa| pb|，(1)解由已知，a 2b，則橢圓 e 的方程為x22b2y2 1.x2 y2 1，由方程組 2b2 b2 得 3x2 yx3，0.12x(18 2b2)方程的判別式為 24(b23)，由0，得b23，此時方程的解為 x2，所以橢圓 e 的方程為 y2 1.點 t 的坐標為(2，1).3x26(2) 證明1由已知可設直線 l的方程為 y x2 13 31331 1m(m0)，y xm，由方程組 2 可得 yx3，2mx2 ，32my1 .3 2m 2m 8所以 p 點坐標為2 ，1 .|pt|2 m29.設點 a，b 的坐標分別為 a(x ，y )，b(

9、x ，y ).1 1 2 2x2 y2 1，6 3由方程組 可得 3x2y xm， 24mx(4m212)0.方程的判別式為 16(92m2)，由0，解得3 2 3 2mb0)a2 b22的一個頂點為 a(2，0)，離心率為 .2直線 yk(x1)與橢圓 c 交于不同的兩點 m，n. (1)求橢圓 c 的方程；10(2)當amn 的面積為 時，求 k 的值.3a2，c 2解 (1)由題意得 ，a 2a2b2 c2.x2 y2解得 b 2，所以橢圓 c 的方程為 1.4 2(2)由yk（x1）， x2 y2 1，4 2得(12k2)x24k2x2k240.設點 m，n 的坐標分別為(x ，y )

10、，(x ，y )，1 1 2 2則 y k(x 1)，y k(x 1)，1 1 2 24k2 2k24x x ，x x ，1 2 12k2 1 2 12k2所以|mn| （x x ）22 1（y y ）2 2 1 （1k2）（x x ）24x x 1 2 1 22 （1k2）（46k2 ）12k2又因為點 a(2，0)到直線 yk(x1)的距離 d|k|1k2，1 |k| 46k2所以amn 的面積為 s |mn|d ，2 12k2|k| 46k2 10由 ，解得 k1.12k2 3能力提高x2 y211.已知橢圓 1(0b2)的左、右焦點分4 b2別為 f ，f ，過 f 的直線 l 交橢圓

11、于 a，b 兩點， 1 2 1若|bf |af |的最大值為 5，則 b 的值是( ) 2 2a.1 b. 2c.32d. 3解析由橢圓的方程，可知長半軸長為 a2，0 由橢圓的定義，可知 |af |bf |ab| 4a2 28，所以|ab|8(|af |bf |)3.2 2由橢圓的性質，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最 2b2短，即 3，可求得 b23，即 b 3. a答案 d12.(2016四川卷)設 o 為坐標原點，p 是以 f為焦點的拋物線 y22px(p0)上任意一點，m 是線段 pf 上的點，且|pm|2|mf|，則直線 om 的 斜率的最大值是( )a.33b.23c.22d.1解析

12、如圖所示，設 p(x ，y )(y 0) ，0 0 0則 y22px ，0 0y2即 x .0 2p設 m(x，y)，由pm2mf，p 200000x x 2 x， 得 y y 2（0y）， 0解之得 xpx y ，且 y .3 3y y 2p直線 om 的斜率 k x y 2p2p y2p y 002p2又 y 2 2p，當且僅當 y 2p 時取等號. 0 y 002p 2 2k ，則 k 的最大值為 . 2 2p 2 2答案 c13.設拋物線 y28x 的焦點為 f，準線為 l，p 為拋物線上一點， pal，a 為垂足 .如果直線 af 的斜率為 3，那么|pf|_.解析直線 af 的方程

13、為 y 3(x2)，聯(lián)立y 3x2 3， x2，得 y4 3，所以 p(6，4 3).由拋物線的性質可知 |pf|628.答案 814.已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，直線 y4 與 y 軸的交點為 p，與 c 的交點為 q，且 5|qf| |pq|.4(1) 求 c 的方程；(2) 過 f 的直線 l 與 c 相交于 a，b 兩點，若 ab 的垂直平分線 l與 c 相交于 m，n 兩點，且 a， m，b，n 四點在同一圓上，求 l 的方程.解 (1)設 q(x ，4)，代入 y2082px 得 x .0 p8 p p 8所以|pq| ，|qf| x .p 2 0 2 pp 8

14、 5 8由題設得 ，解得 p2(舍去 ) 或 p 2 p 4 p2.所以 c 的方程為 y24x.(2)依題意知 l 與坐標軸不垂直，故可設 l 的方 程為 xmy1(m0).代入 y2 4x 得 y24my4m0.設 a(x ，y )，b(x ，y )，則 y y 4m，y y 1 1 2 2 1 2 1 2 4.故 ab 的中點為 d(2m21，2m)，|ab| m21| y y |4(m2 1 21).1又 l的斜率為m，所以 l的方程為 x ym2m23.將上式代入 y24x，并整理得 y24 y4(2m2 m3)0.4設 m(x ，y )，n(x ，y )，則 y y ， 3 3 4 4 3 4 my y 4(2m2 3 43)