平面的投影及平面上的點

1、 例題 求一點A到水平線BC的距離dd2yyAD例題 過點E 作線段AB、CD 的公垂線EF。ffcb 例題 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB =23。bcABab|yA-yB|bc=BCc 平面的投影平面的投影二、各種位置平面的投影特性二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法一、平面的表示法 三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線 四、直線與平面的相對位置四、直線與平面的相對位置五、平面與平面的相對位置五、平面與平面的相對位置一、平面的表示法一、平面的表示法1.1.幾何元素表示法幾何元素表示法2.2.跡線表示法跡線表示法 一個平面的空間位置可以由下列任一一個平面的

2、空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定組幾何元素來確定: :(1)不在同一直線上的三個點；不在同一直線上的三個點；(2)一直線和直線外的一個點；一直線和直線外的一個點；(3)相交兩直線；相交兩直線；(4)平行兩直線；平行兩直線；(5)任意平面圖形。任意平面圖形。1.1.幾何元素表示法幾何元素表示法 平面的投影可以由其中一組幾何元素的投影平面的投影可以由其中一組幾何元素的投影來表示。來表示。 aabbccx一一直直線線和和直直線線外外的的一一個個點點x aabbcc相相交交兩兩直直線線 aabbccx平平行行兩兩直直線線c aabbcx任任意意平平面面圖圖形形 用各組幾何元用各組幾何元素所表示的

3、同一素所表示的同一平面的投影圖。平面的投影圖。x aabbcc不不在在同同一一直直線線上上的的三三點點 ABCABCP P面面投影積聚為一直線投影積聚為一直線 abcabc ABCABCP P面面投影反映實形投影反映實形 abcabcABCABC ABCABC傾斜于傾斜于P P面面投影為小于原平面的投影為小于原平面的類似形類似形 abcabcABCABC平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcadabccabbaABC一般位置面 與三個投影面都處于傾斜位置的平面。與三個投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面一般位

4、置平面三個投影都是小于原平面的類似形。三個投影都是小于原平面的類似形。abb”XZYHOass”a”bsYw一一般般位位置置平平面面 鉛垂面鉛垂面-僅僅HH面的平面面的平面正垂面正垂面-僅僅VV面的平面面的平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑?僅僅WW面的平面面的平面1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于垂直于一個投影面而對另外兩個投影一個投影面而對另外兩個投影面面傾斜傾斜的平面。的平面。各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性鉛垂面鉛垂面-僅僅HH面的平面面的平面A.A. 水平投影水平投影p p積聚為一傾斜線段，并反映積聚為一傾斜線段，并反映 、 角。角。B.B. 正面投影正面投影pp和側(cè)面投影和側(cè)面

5、投影p”p”都是小于原平面的類似都是小于原平面的類似形。形。ppp”XZYWYHO鉛垂面鉛垂面-僅僅HH面的平面面的平面正垂面正垂面-僅僅VV面的平面面的平面A.A. 正面投影正面投影pp積聚為一傾斜線段，并反映積聚為一傾斜線段，并反映 、 角。角。B.B. 水平投影水平投影p p和側(cè)面投影和側(cè)面投影p”p”都是小于原平面的類似形。都是小于原平面的類似形。 pqp”XZYWYHOqq”qQqq側(cè)垂面?zhèn)却姑?僅僅WW面的平面面的平面A.A.側(cè)面投影側(cè)面投影rr 積聚為一傾斜線段，并反映積聚為一傾斜線段，并反映 、 角。角。B.B.水平投影水平投影r r 和正面投影和正面投影rr 都是小于原平面的

6、類似形。都是小于原平面的類似形。 pr”XZYWYHOrr rRrrYHYWYHYWH投影面垂直面的投影特性 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：（1 1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，它與投影軸的夾角反映平面對另外兩個投影面的它與投影軸的夾角反映平面對另外兩個投影面的傾角。傾角。（2 2）在另外兩個投影面上的投影是小于原平面）在另外兩個投影面上的投影是小于原平面的類似形。的類似形。Xabcba分析：分析：鉛垂面的水平投影為鉛垂面的水平投影為斜交于斜交于X X軸的直線，有積聚軸的直線，有積聚性。性。 本題鉛垂面用三角形表示。本題鉛垂面用三

7、角形表示。c例例1 1 含直線含直線AB (ab, ab) AB (ab, ab) 作鉛垂作鉛垂面面 ( (用平面圖形表示用平面圖形表示) )。2. 2. 投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面的平面。平行于某一投影面的平面。 / H / H面的平面面的平面-水平面水平面 / V/ V面的平面面的平面-正平面正平面/ W/ W面的平面面的平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫嫠矫嫠矫?/ H/ H面的平面面的平面Zppp”XYHOYWA.A. 水平投影水平投影p p反映平面反映平面P P的實形；的實形；B.B. 正面投影正面投影pp和側(cè)面投影和側(cè)面投影p”p”都積聚為直都積聚為直線，分別線，分別OXOX軸

8、和軸和OYOYWW軸。軸。正平面正平面-/ V-/ V面的平面面的平面YWqqq”XZYHOA.A. 正面投影正面投影qq反映平面反映平面P P的實形；的實形；B.B. 水平投影水平投影q q和側(cè)面投影和側(cè)面投影q”q”都積聚為直線，都積聚為直線，分別分別OXOX軸和軸和OZOZ軸。軸。qQqq側(cè)平面?zhèn)绕矫?/ W/ W面的平面面的平面RrrHVWZrrr”XYHOYWA.A. 側(cè)面投影側(cè)面投影rr反映平面反映平面R R的實形；的實形；B.B. 水平面投影水平面投影r r和正面投影和正面投影rr 都積聚為直都積聚為直線，分別線，分別OYOYHH軸和軸和OZOZ軸。軸。r投影面平行面的投影特性

9、投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：（1 1）在所平行的投影面上的投影反映實形。）在所平行的投影面上的投影反映實形。（2 2）在另外兩個投影面上的投影都積聚為直線，）在另外兩個投影面上的投影都積聚為直線，平行于相應(yīng)的投影軸。平行于相應(yīng)的投影軸。aXabccb例例3 3 含點含點A A作作ABC/ VABC/ V面。面。 分分 析析: : 正平面的水平投影正平面的水平投影積聚為直線并積聚為直線并OXOX軸，正軸，正面投影反映實形。面投影反映實形。 作法：作法：作作abc / OXabc / OX軸。軸。 作作abcabcABCABC。OOOOX X圓平面為水平面圓平面為水平面（1 1

10、）當圓）當圓投影面時，圓在該投影面時，圓在該投影面上的投影反映實形投影面上的投影反映實形-圓圓, ,另外兩投影積聚為另外兩投影積聚為直線直線, ,長度等長度等于圓的直徑。于圓的直徑。4. 4. 圓的投影特性圓的投影特性（2 2）當圓當圓投影面時，它在該投影面時，它在該面的投影積聚為面的投影積聚為傾斜于傾斜于投影軸的投影軸的直線直線，長度等于圓的直徑。另外，長度等于圓的直徑。另外兩個投影為兩個投影為橢圓橢圓。O OOOX X圓平面為正垂面圓平面為正垂面（3 3）當圓）當圓傾斜于傾斜于投影面時，它的投影為圓的類似投影面時，它的投影為圓的類似形形- - 橢圓橢圓。圓的投影的作圖方法圓的投影的作圖方法

11、1 1）當圓）當圓投影面時投影面時OOOOX X圓平面為正平面圓平面為正平面反映圓的實形反映圓的實形長度長度= =圓的直徑圓的直徑 投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對 相互垂直的直徑相互垂直的直徑的投影。的投影。（1 1）正垂圓的投影）正垂圓的投影橢圓橢圓 長軸長軸: : 正垂直徑正垂直徑ABAB的投影的投影 abab=AB=AB 短軸短軸: : 正平直徑正平直徑DEDE的投影的投影de=DEcosde=DEcos 2 2）當圓）當圓投影面時投影面時長軸和短軸長軸和短軸正垂直徑正垂直徑ABAB正平直徑正平直徑DEDEO OO”O(jiān)”正垂圓的投影作圖正垂圓的投影作圖OOX X

12、a(b)a(b)d de eeedd a”a”b”b”DDd”d”e”e”b ba aDD長軸長軸: : 正垂直徑正垂直徑ABAB的投影的投影 abab=a”b”=AB=a”b”=AB短軸短軸: : 正平直徑正平直徑DEDE的投影的投影 de=DEcos de=DEcos d”e”=DEcosd”e”=DEcos D D鉛垂面上圓的投影鉛垂面上圓的投影(b)(b)(a)(a)長軸：長軸：鉛垂直徑鉛垂直徑CDCD的投影的投影 cd=D cd=D 短軸：短軸：水平直徑水平直徑ABAB的投影的投影ab=Dcosab=Dcos（2 2）鉛垂圓的投影）鉛垂圓的投影鉛垂直徑鉛垂直徑CDCD水平直徑水平直徑

13、ABAB短軸：水平直徑短軸：水平直徑ABAB的投影的投影ab=Dcosa”b”=Dcab=Dcosa”b”=Dcosos長軸：鉛垂直徑長軸：鉛垂直徑CDCD的投影的投影 cd=c”d”=Dcd=c”d”=DO OX XOOc(d)c(d) bbaaa ab bccddD DDD鉛垂圓的投影作圖鉛垂圓的投影作圖O”O(jiān)”c”c”d”d”D D b”b”a”a” 垂直面上圓的投影特性：垂直面上圓的投影特性：（1 1）在與圓平面垂直的投影面上，圓的投影是直線）在與圓平面垂直的投影面上，圓的投影是直線段，長度等于圓的直徑。段，長度等于圓的直徑。（2 2）在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓，長）在與圓平

14、面傾斜的投影面上的投影是橢圓，長軸是圓平面上平行于這個投影面的直徑的投影，短軸是圓平面上平行于這個投影面的直徑的投影，短軸是圓平面上與上述直徑相垂直的直徑的投影。軸是圓平面上與上述直徑相垂直的直徑的投影。4-7 4-7 平面上的點和直線平面上的點和直線1.1.平面上取直線平面上取直線2.2.平面上取點平面上取點3.3.投影面垂直面上的點和直線投影面垂直面上的點和直線一、平面上的直線1. 平面上的直線2. 在平面上作正平線和水平線直線在平面上的幾何條件：直線在平面上的幾何條件：(1) (1) 通過平面上的兩已知點。通過平面上的兩已知點。BACPMN直線直線MNMN在平面上在平面上1.1.平面上取

15、直線平面上取直線EFDPNM 結(jié)論結(jié)論 - - 要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已知要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已知直線上取點，再過點作直線。直線上取點，再過點作直線。直線直線MNMN在平面在平面P P上上(2) (2) 通過平面上的一點并平行于平面上的另一通過平面上的一點并平行于平面上的另一直線。直線。bacbXca1122 作法作法1:1: 在平面內(nèi)的兩在平面內(nèi)的兩已知邊上各取一點連成已知邊上各取一點連成直線。直線。例例5 5 在在ABCABC給定的平面上作一任意直線。給定的平面上作一任意直線。直線直線即為所求。即為所求。 作法作法2:2: 在平面內(nèi)的一在平面內(nèi)的一已知邊上取一點，再過

16、已知邊上取一點，再過點作平面內(nèi)另一直線的點作平面內(nèi)另一直線的平行線。平行線。在平面上作正平線和水平線ddeeBACPL L點在平面上的幾何條件點在平面上的幾何條件: : 點在該平面的一已知直線上。點在該平面的一已知直線上。M 在平面上取點的一般方法：在平面上取點的一般方法：含該點在平面上作含該點在平面上作輔助直線，然后在所作直線上取點。輔助直線，然后在所作直線上取點。2.2.平面上取點平面上取點直線直線L L在在P P面上，面上，MM點在平面點在平面P P上。上。abccab11dd例例6 6 已知點已知點DD在在ABCABC所決定的平面上，求作所決定的平面上，求作 其正面投影其正面投影dd。作法作法1CABD空間分析空間分析DD點一定在該平面的一條直線上。點一定在該平面的一條直線上。abccab22dd例例7 7 已知點已知點DD在在ABCABC所決定的平面內(nèi)，求所決定的平面內(nèi)，求作其正面投影作其正面投影dd。作法作法2CABD空間分析空間分析bbXcaaddc例例8 8 試完成平面四邊形試完成平面四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。分析分析: : 平面平面ABCDABCD的的對角線一定相交。對角線一定相交。 kkC C點一定在該平面的一條直線上。點一定在該平面的一條直線上。bc”zywyHXOca”(b”)a