《電動力學(xué)》知識點歸納及典型試題分析

1、電動力學(xué)知識點歸納及典型試題分析一、試題結(jié)構(gòu)總共四個大題：1 .單選題（10 2）:主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及對它們的理解。2 .填空題（10 2）:主要考察基本概念和基本公式。3.簡答題（5 3）：主要考察對基本理論的掌握和基本公式物理意 義的理解。4.證明題 （8 7）和計算題（9 8 6 7）：考察能進行簡單 的計算和對基本常用的方程和原理進行證明。例如：證明泊松方程、 電磁場的邊界條件、亥姆霍茲方程、長度收縮公式等等；計算磁感強 度、電場強度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波導(dǎo)的截止頻 率、空間一點的電勢、矢勢、以及相對論方面的內(nèi)容等等。二、知識點歸納t知識點1:

2、一般情況下，電磁場的基本方程為：H -D J;（此為麥克斯?D ；?B 0.韋方程組）；在沒有電荷和電流分布（0, J 0的情形）的自由空間（或均勻介質(zhì)）的電磁場方程為：EBtH十；（齊次的麥克斯韋方程組）?D 0;?B 0.J0.電荷密度與電場散度有關(guān)系式tE 一 .兩式合起來0p和磁化強度矢量M各的知識點2:位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別 答：我們知道恒定電流是閉合的：在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說來，在 非恒定情況下，由電荷守恒定律有現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場的規(guī)律： B 0J. 取兩邊散度，由于B 0，因此上式只有當(dāng)J 0時才能成立。在非恒定情形下，一般有J

3、 0,因而式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普 遍規(guī)律，故應(yīng)修改 式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。把式推廣的一個方案是假設(shè)存在一個稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來構(gòu)成閉合的量j JD 0, *并假設(shè)位移電流JD與電流J 一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把 修改為 B 0 J JD。此式兩邊的散度都等于零，因 而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律得：J0卡 0.與*式比較可得JD的一個可能表示式位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別：位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動，而是電場的變化。它說明，與磁場的變 化會感應(yīng)產(chǎn)生電場一樣，電場的變化也必會感應(yīng)產(chǎn)生磁場。 而傳導(dǎo)電流實際上是 電荷的流動而產(chǎn)生的。

4、知識點3:電荷守恒定律的積分式和微分式，及恒定電流的連續(xù)性方程。:J答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為:恒定電流的連續(xù)性方程為：？J 0知識點4:在有介質(zhì)存在的電磁場中，極化強度矢量 定義方法；P與p ； M與j ； E、D與p以及B、H與M的關(guān)系答：極化強度矢量p：由于存在兩類電介質(zhì)：一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù) 電中心不重和，沒有電偶極矩。另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和， 有分子電 偶極矩，但是由于分子熱運動的無規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零， 因而也沒有宏觀電偶極矩分布。在外場的作用下，前一類分子的正負(fù)電中心被拉 開，后一類介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性， 因此都出現(xiàn)宏觀

5、電偶極矩分 布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強度矢量 P描述，它等于物理小體積 V內(nèi)的總電偶極矩與 V之比，P巴.Pi為第i個分子的電偶極矩，求和符號表示V對V內(nèi)所有分子求和。磁化強度矢量M :介質(zhì)分子內(nèi)的電子運動構(gòu)成微觀分子電流， 由于分子電流取向的無規(guī)性，沒有外 場時一般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外場作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取向，形成 宏觀磁化電流密度JM。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為：介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強度M表示，它定義為物理小體積V內(nèi)的總磁偶極矩與 V之比，知識點5:導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)

6、體表面的邊界條件為：n E , n?D 。它們可以形象地n H . n?B 0.表述為：在導(dǎo)體表面上，電場線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識點6:在球坐標(biāo)系中，若電勢 不依賴于方位角，這種情形下拉氏方程的通解。答:拉氏方程在球坐標(biāo)中的一般 解為：anmRnCOScosmC Rnnmcos sinmR,n,mbnm Rn 1-Pnn,mdnm Rn 1Pnm式中anm,bnm,Cnm和d nm為任意的常數(shù)，在具體的問題中由邊界條件定出。Pn COS為締合勒讓德函數(shù)。若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢不依賴于 方位角，這球形下通解為：=anRn 獸Pn cos , Pn cos為勒讓德

7、函數(shù)，an和bn是任意常數(shù)，由nRn 1邊界條件確定。知識點7:研究磁場時引入矢勢 A的根據(jù)；矢勢A的意義。答：引入矢勢A的根據(jù)是：磁場的無源性。矢勢 A的意義為：它沿任一閉 合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有 A的環(huán)量才有 物理意義，而每點上的A (x)值沒有直接的物理意義。知識點8:平面時諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。 答：平面時諧電磁波是交變電磁場存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面， 也就是說在垂直于波的傳 播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時諧電磁波的性質(zhì)：(1)電磁波為橫波，E和B都與傳播

8、方向垂直；x,t答：推遲勢為：tv4 orJ x ,tA x,trdv達(dá)朗貝爾方程為:2A12A1 2 ?2C t1 2?A 2 - c toJ（2）E和B同相，振幅比為v;（3 E和B互相垂直，EX B沿波矢k方向。知識點9:電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透 射深度依賴的因素。答：區(qū)別：（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒有能量的損耗，電磁波可以無 衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo) 體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場作用下，自由電子運動形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn) 生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在 導(dǎo)

9、體中）。在傳播的過程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。 電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴于：電導(dǎo)率和頻率。知識點10：電磁場用矢勢和標(biāo)勢表示的關(guān)系式。B A答：電磁場用矢勢和標(biāo)勢表示的關(guān)系式為：EAt知識點11:推遲勢及達(dá)朗貝爾方程。知識點12：愛因斯坦建立狹義相對論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對性原理：所有的慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣 性參考系都可以表為相同的形式。 也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或 其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運動”。相對性原理是被大量 實驗事實所精確檢驗過的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變原理：真空中的光速相 對于任何慣性系沿任一

10、方向恒為 c,并與光源運動無關(guān)。知識點13：相對論時空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式。Uzx vtxvtx - x -dI1y1y2 v2 c1y y2 v 孑:坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）：Zz洛倫茲反變換式：z zv1vt2 xt2 Xctc1 t廠L2 v2 v2 c12 cUZ 1 I1 VUxI 2 c知識點14:導(dǎo)出洛侖茲變換時，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同 伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性?；炯僭O(shè)為：光速不變原理（狹義相對論把一切慣性系中的光速都是 c作為 基本假設(shè)，這就是光速不變原理）、空間是均勻的并各向同性，時間是均

11、勻的、 運動的相對性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系： 伽利略變換是存在于經(jīng)典 力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對 論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系S（即物體）運動的速度V c時，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換， 也就是說，若兩個慣性 系間的相對速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換為近似。知識點15:四維力學(xué)矢量及其形式。答：四維力學(xué)矢量為：（1） 能量一動量四維矢量（或簡稱四維動量）:pp,-W ( 2)c速度矢量：Udxdx、- 口（3）動量矢量：pddtmU(4)四維電流密度矢量：JoU ,JJ, ic （5）四維空間矢量：xx,

12、ict(6)四維勢矢量：AA丄（7）A反對稱電磁場四維張量：FA(8)cx x速度變換公式:c1 2導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上； 導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面。整個導(dǎo)體輔助條件為?A 0.2A例如：對于方程組:丄2 cAt12c0 J(適用于若采用庫侖規(guī)范，可得:2AAt30J00)四維波矢量：k k,iwc知識點16:事件的間隔：答：以第一事件P為空時原點(0, 0, 0, 0);第二事件Q的空時坐標(biāo)為: (x,y,z,t),這兩事件的間隔為：兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：(1)若兩事件可以用光波聯(lián)系，有r = ct,因而

13、s2 0 (類光間隔)；(2)若兩事件可用低于光速的作用來聯(lián)系，有 r ct，因而有s2 0 (類時間 隔)；(a)絕對未來；(b)絕對過去。(3) 若兩事件的空間距離超過光波在時間t所能傳播的距離，有r ct，因而 有s20 (類空間隔)。知識點17:導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時導(dǎo)體表面的邊界條件。答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：(1)(2)(3)的電勢相等。導(dǎo)體靜電平衡時導(dǎo)體表面的邊界條件: 知識點18:勢方程的簡化。答：米用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：(1)庫侖規(guī)范：(2)洛倫茲規(guī)范:輔助條件為:般規(guī)范的方程組)。s系中同一地點X2X!，先后（t2 ti ）發(fā)生的兩事件的時間間隔t2ti在S系

14、的觀測:置同時測定X2Xi2A 1 2AJc2 t20J若米用洛倫茲規(guī)范，可得：2i2 2（此為達(dá)朗貝爾方程）。c t0?A 10c2 t知識點19:引入磁標(biāo)勢的條件。答：條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說，該區(qū)域是沒有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：j 0:H ?dL 0L知識點20：動鐘變慢：S系中同地異時的兩事件的時間間隔，即稱為固有時，它是最短的時間間隔，t .知識點21：長度收縮（動尺縮短）尺相對于S系靜止，在S系中觀測I， X2 Xi在S系中觀測t2 ti即兩端位2VI loi：1(X2 Xi Io,X2 Xi I)V cIo稱為固有長度，固有長度最長，即

15、Io I知識點22：電磁場邊值關(guān)系（也稱邊界上的場方程）知識點23： A B效應(yīng)i959年Aharonov和Bohm提出一種后來被試驗所證實的新效應(yīng)（這簡稱A B效應(yīng)），同時A B效應(yīng)的存在說明磁場的物理效應(yīng)不能完全用 B描述知識點24：電磁波的能量和能流1平面電磁波的能量為：w E2-B2平面電磁波的能流密度為： S E H 一E （n E） J-E2 n.能量密度和能流密度的平均值為：知識點25：波導(dǎo)中傳播的波的特點： 電場E和磁場H不同時為橫波。通常選一種波模為Ez o的波，稱為橫電波（TE）;X2Xi另一種波模為Hz 0的波，稱為橫磁波（TM ）。定義:能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率W

16、c稱為該波模的截止頻率。計算公式：（m,n）型的截止頻率為：Wc,mn2 2m nb；若 ab,則TEg1波有最低截止頻率廠叫01.若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為 C2a，2a相應(yīng)的截止波長為：c,102a.（在波導(dǎo)中能夠通過的最大波長為 2a）知識點28：靜電場是有源無旋場:?E穩(wěn)恒磁場是無源有旋場:0；0 j .（此為微分表達(dá)式）Uy知識點29：相對論速度變換式:dy_dtIdxdtUzdzdtu j1 V22Uy 1 c21 vux c2 Ux V 巨2cI2-U土1 VUx c2 .其反變換式根據(jù)此式知識點26:截止頻率知識點27：相對論的實驗基礎(chǔ)： 橫向多普勒（Doppler）效應(yīng)實

17、驗（證實相對論的運動時鐘延緩效應(yīng)）； 高速運動粒子壽命的測定（證實時鐘延緩效應(yīng)）； 攜帶原子鐘的環(huán)球飛行實驗（證實狹義相對論和廣義相對論的時鐘延緩總效 應(yīng)）； 相對論質(zhì)能關(guān)系和運動學(xué)的實驗檢驗（對狹義相對論的實驗驗證）旦；q0 ；（此為微分表達(dá)式）0.Ux 求Uy。Uz知識點30：麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗定律。dV?B依據(jù)的試驗定律為：靜電場的高斯定理、 的安培環(huán)路定理、磁場的高斯定理。三、典型試題分析00靜電場與渦旋電場的環(huán)路定理、磁場中E?dlLoB?dl答：麥克斯韋方程組積分式為：L注？dsSB ?dsS麥克斯韋方程組微分式為:?E1、證明題：1、試由畢奧一

18、沙伐爾定律證明 ？B 0證明：由式：B0 J4x3 r-dv0IJ x4Svr又知：B01J x . dvA式中J x丄1J x ，因此4r由rr0J x dvA4r?B?A 0所以原式得證。2、試由電磁場方程證明一般情況下電場的表示式E證：在一般的變化情況中，電場 E的特性與靜電場不同。電場 E 方面受到電 荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場是有旋的。因此 在一般情況下，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標(biāo)勢來描述。 在變 化情況下電場與磁場發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場的表示式必然包含矢勢 A在內(nèi)。事件）與前端經(jīng)過P：點（第二事件）相對于同時，則PiP：定義為上測得的物

19、體長度。物體兩端在上的坐標(biāo)設(shè)為Xi和X：。在上Pi點的坐標(biāo)為Xi，P：點的坐標(biāo)為X：，兩端分別經(jīng)過P1和P：的時刻為t1t:。對這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式,X：X：vt：，兩式相減，計及tit：，有仁V：c：X：XiX： Xi *2 V.式中X： Xi為 上測得的物體長度I （因為坐標(biāo)Xi和X：是在BA式代入EB得： tEAA0，該式表示矢量E疋無旋tt場，因此它可以用標(biāo)勢描述，EA t。因此，在般情況下電場的表示式為：E一.t。即得證。3、試由洛侖茲變換公式證明長度收縮公式I 1。、1 v：。 c答：用洛倫茲變換式求運動物體長度與該物體靜止長度的關(guān)系。 如圖所示，設(shè)物 體沿x軸方向運動，以

20、固定于物體上的參考系為 。若物體后端經(jīng)過R點（第上同時測得的），X： X1為上測得的物體靜止長度I。由于物體對靜止,所以對測量時刻ti和t：沒有任何限制。由*式得I lo：i V： c4、試由麥克斯韋方程組證明靜電場與電勢的關(guān)系E -答：由于靜電場的無旋性，得：E?dl 0設(shè)Ci和C：為由R點到P：點的兩條不同路徑。Ci與- C：合成閉合回路，因此E?dl E?dl 0CiC：即E?dl E?dl因 此， 電 荷 由CiC：R點移至P：點時電場對它所作的功 與路徑無關(guān)，而只和兩端點有關(guān)。把單位正電得： cA（2）代入（1）得矢勢A的微分方程A J.由矢量分析公式A ?A2A.若取A滿足規(guī)范條件

21、 ？A 0，得矢勢A的微分方2A J.?A 0答：已知靜電場方程為：?需）并知道E.（3）在均勻各向同性線性介質(zhì)中，D E，將（3）式代入（2）得 2-， 為自由電荷密度P2荷由R點移至P2,電場E對它所作的功為：E?dl,這功定義為R點和P2點的電勢差。若電場對電荷作了正功，則電勢 下降。由此，P2P E?dl由Pi這定義，只有兩點的電勢差才有物理意義，一點上的電勢的絕對數(shù)值是沒有物理 意義的。6試由電場的邊值關(guān)系證明勢的邊值關(guān)系證：電場的邊值關(guān)系為：n E2 El 0, $，*式可寫為D2n Dinn ? D2 D1.*式中n為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用DE及E，可用標(biāo)勢將 表為：勢的

22、邊值關(guān)系即得證。7、試由靜電場方程證明泊松方程2- o相距為 dl的兩點的電勢差為dE?dl. 由于d-一 dx dydz?dl，因此，電場強度E等于電勢的負(fù)梯度xyzE5、試由恒定磁場方程證明矢勢A的微分方程2 Aj 0答： 已知恒定磁場方程B0J (1)(在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把B于是得到靜電勢滿足的基本微分方程，即泊松方程。答：麥克斯韋方程組?E(x)(x)E(x)?B x0B xt0表明，變化的磁場可以激發(fā)電場，而變化的電場又可以激發(fā)磁場，因此， 形成電磁波。這個推論可以直接從麥克斯韋方程得到, 密度和電流密度均為零，并利用第一個方程，得到2E(x) -吝匚，再把第四個方程對時間求導(dǎo)，得

23、到0詩二，從上面兩個方程消去嚴(yán)，得到2E x2E x丁這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動方程。對應(yīng)的波的速度是C.9、方程組證明電磁場的邊界條件E2EI0;n? D2Di ; n ? B 2Bi0.解:D ? dsS即：dVSnD2DinVD2DiS.D2n對于磁場B，把B ds 0應(yīng)用到邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以Sdl 0，作沿狹長矩形的E的路徑積分。由于l比I小得多，當(dāng)l0時，E沿I積分為二級小量，忽略沿丨的路徑積分，沿界面切線方向積分為E2t I Eit I8、試由麥克斯韋方程證明電磁場波動方程。E x0 T自然可以推論電磁場可以互相激發(fā)， 在真空的無源區(qū)域，電荷 在這樣的情形下，對麥克斯韋方

24、程的第二個方程取旋度上推導(dǎo)可得：B2n Bin即：n B2 Bi 0作跨過介質(zhì)分界面的無限小狹長的矩形積分回路，矩形回路所在平面與界面 垂直，矩形長邊邊長為I，短邊邊長為丨。因為EE2t Eit 0, *。*可以用矢量形式表示為：E2 Ei t 0D E,B H，把時諧電磁波的電場和磁場方程:E x,tB x,tx e xeiwtiwt代入麥?zhǔn)戏匠探MEHDBBJtDi ty,消去共同因子e iwt后得0,0.E iw H ,iw E,0,H 0.在此注意一點取第一式旋度并用第二式得E w2 E 由EE 2E2E，上式變?yōu)?Ekk2Ew0,此為亥姆霍茲方而：n ?(D2 D1)式中t為沿著矩形長

25、邊的界面切線方向單位矢量。II令矩形面法線方向單位矢量為t，它與界面相切，顯然有 t n t #將#式代入式，貝UE2 Ei nt 0, $ ，利用混合積公式ABC CAB，改寫#式為：t E2 E1 n 0此式對任意t都成立,因此E2 Ei n 0,此式表示電場在分界面切線方向分量是連續(xù)的10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程2E k2E 0答：從時諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有在w 0的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于E 0，因而 H 0，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨立的，其他兩式可由以

26、上兩式導(dǎo)出程。11、試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電的情況下，導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面； 在恒定電流的情況下，導(dǎo)體內(nèi)的電場 線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：(1)導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi)E10，而:n (E2 E1)0, n E20,故E0垂直于導(dǎo)體表面。(2)導(dǎo)體中通過恒定的電流時，導(dǎo)體表面f 0.導(dǎo)體外E2 0,即：D2 00,即：n ?D“ n? 0巳 0， n ? E“ 0。導(dǎo)體內(nèi)電場茲矢量），若令?Z,證明A1 Zc2 t用。由對稱性，Q應(yīng)在0Q連線上。關(guān)鍵是能否選擇Q的大小和位置使得球面上考慮到球面上任一點P。邊界條件要求-rQIr0.式中r

27、為Q到P的距離,r為Q到P的距離。因此對球面上任一點，應(yīng)有Q常數(shù)。（1）由圖可看（2） 設(shè)Q距球心為b角形相似的條件為bR0Ro,或 baR2-.3由（1）和（2）式求出aRoQ.(4) (3)和(4)式確a方向和法線垂直，即平行于導(dǎo)體表面。12、設(shè)A和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢，現(xiàn)引入一矢量函數(shù)Z x,t （赫證明：A和滿足洛倫茲規(guī)范，故有2、計算題:1、真空中有一半徑為Ro接地導(dǎo)體球，距球心為a a Ro處有一點電荷Q，求 空間各點的電勢。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個假想點電荷 Q來代替球面上感應(yīng)電荷對空間電場的作=0的條件使得滿足?出，只要選Q的位置使 OQP OPQ,則定假想電荷Q的位置和

28、大小。由Q和鏡象電荷Q激發(fā)的總電場能夠滿足在導(dǎo)體面上=0的邊界條件，因此是空間中電場的正確解答。球外任一點p的電勢是：R Q/=丄Q更 Q =；0 a式中r4 o r ar 4 0R2 a2 2RacosR2 b2 2Rbcos為由Q到P點的距離，r為由Q到P點的距離，R為由球心O到P點的距離,0_1_4 ocR14 oC1 2R| P ekR sin e ,（取球坐標(biāo)原點在PekRsin e .電荷分布區(qū)內(nèi),茲并以P方向為極軸，則可知B沿緯線上振蕩, 子輻射平均能流2E沿徑線上振蕩。）。 密度為：1 Re2*cE HRe B2 o23_2 sinn.oC R因子sin2表示赫茲振子輻射的角分

29、布,即輻射的方向性。在900的平面上輻為OP與OQ的夾角2、兩金屬小球分別帶電荷 和一，它們之間的距離為I，求小球的電荷（數(shù)值 和符號）同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，并討 論其特點。B解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場：E射最強，而沿電偶極矩軸線方向O和 沒有輻射。3、已知海水的 r 1, 1s m 3 4 5試計算頻率v為5O、1O6和1O7Hz的三種電 磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度3v 109 Hz時：4、電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點的電場強度，并由此直接計算電場的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對

30、稱性，在球面上各點的電場強度:E ds 4 r E10有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)r a時，球面所圍的總電荷為 Q，由高斯定理得210 7122-250 410 7 8 1i2X2106410 7 112X2109410 7 172m0.5m16mm3,寫成矢量式得Qr3 . r or若r a,則球面所圍電荷為:Qr3a3應(yīng)用高斯定理得：v Edsr2EQr3oa3由此得E 丨.r4oa現(xiàn)在計算電場的散度。當(dāng)r a時E應(yīng)取式，在這區(qū)域r0，由直接計算可0, r當(dāng)r a時E應(yīng)取*式，由直接計算得QE34 oa3Q r a34 0a 0求電場因而5、一半徑為R的均勻帶電球體，電荷體密度為 ，球內(nèi)有

31、一不帶電的球形空腔，其半徑為R，偏心距離為a，（ a R1 R）求腔內(nèi)的電場。解：這個帶電系統(tǒng)可視為帶正電的R球與帶負(fù)電的 的R1球的迭加而成。因此利用場的迭加原理得球形空腔的一點M之電場強度為：IE rr3 o 3 oIr r3 o6無窮大的平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密度為 和束縛電荷分布。nE2E10,解：由對稱性可知電場沿垂直于平板的方向，把n H 2H1,*應(yīng)用于下nD2D1Jn B2B10.板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場強為零，故得D1f.同樣把*式應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得D2f.由這兩式得E1,E2 -1f2束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處，f 0 ,由0 E2

32、n Ein f p得0 E2E100f .21在介質(zhì) 1與下板 分界處，由 0 E2n Emfp得1pf0E1f 1丄，1在介質(zhì)2與上板分界處， 容易驗證，p p P 0,介質(zhì)整體是電中性的。7、截面為S ,長為I的細(xì)介質(zhì)棍，沿X軸放置，近端到原點的距離為 b，若極 化強度為kx，沿X軸P kxi 。求：（1）求每端的束縛電荷面密度；（2）求棒內(nèi)的束縛電荷體密度。（3）總束縛電荷。解：（1）求在棍端P2nP1nP2P2n0，P1n1，Pkx1P，Pkxi（2）求由，dp kdx(3)求q qBA SSlk bl kb Sksl08、兩塊接地的導(dǎo)體板間的夾角為，當(dāng)板間放一點 :電荷q時， 試用鏡

33、像法就=90、600的情形分別求其電勢。解：設(shè)點電荷q處于兩導(dǎo)體面間R,0 點，兩導(dǎo)體面間夾角為，各象電荷處 在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉(zhuǎn)矢量 R表示，設(shè)q及其各個象電荷的位置矢為R。、Ri、，則有R R5,象電荷只有5個各象電荷所在處的直角坐標(biāo)為:9、在一平行板電容器的兩板上加UVoCOSWt的電壓，若平板為圓形，半徑為(1)、兩板間的位移電流jD ；(2)、(3)、jD解: ( 1)jDjDezE .E7,jD7Ud t業(yè)SinwtdRo Rei ,，R12Re，R2Re ，1)R3Re i，R4Rei，2i，eie，Rt R3,象電荷只有3個，各象電荷所處在的直角坐標(biāo)為:q

34、11114。r * a D式中 r . x Rcos 2 y Rsin 2 z2，1 V xRcos 2yRsi n2 2 z，空間任意一點的電勢 rr：2. x2RcosyRsi n2 2z，r：3: xRcos 2yRsi n2 2 z .i丄Re 3，R2Re i .=，Ri3i Ji LR3Re 3，R4Re 34i2 i 2) R5Re 3，R6Re 32424i 3i 32，ee33各個r由相應(yīng)的象電荷坐標(biāo)確定。a,板間距離為d，試求電容器內(nèi)離軸r處的磁場強度; 電容器內(nèi)的能流密度。HHrv0w26rSi nwt泌 rSinwte2da時,(3) Es側(cè)ds2 ad U dHa2

35、auH2 2a VoW-Sin wtCoswt du ui追趕車小球從后壁到前壁所需u v氣2，u- v v 1 vu- 2 cvuI2/ cu-1 嘆21 vu- 2/ ct I-1 % _ 或 t2u- 1 v2 c21 l- _rlv2 u- c2 0t1t2t111 v2 c2t2t1X2X1 I-vu-c11、求無限長理想的螺線管的矢勢A(設(shè)螺線管的半徑為a，線圈匝數(shù)為n,通；H dl I2 rH jD r2空aSinwte2d10、靜止長度為l-的車廂，以速度v相對于地面S運行，車廂的后壁以速度為U- 向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：S系的觀察者看

36、到長度為I-.1 2的車廂以vv vi運動，又看到小球以電電流為I)解：分析：A JdV，J x dV Idl。4 V r-nl(1)當(dāng)ra時， 可得：2 rAr2B B -nI 2 rA r2 -nlA2r e2 2-nla 21(2)當(dāng)ra時, 同理可得：2rAa B2 rAa niA2ey r1 c2u-I-(1)求 koo （ 2）寫出E的瞬時值表達(dá)式解：1 k0107472410 cos 10 tk0z43 10830 E i244710 cos 10 tk0z413、內(nèi)外半徑分別為a和b的球形電容器,加上 v v0coswt的電壓，且 不大,JD j4 Ri 24 R2v0w12、

37、在大氣中沿+ Z軸方向傳播的線偏振平面波，其磁場強度的瞬時值表達(dá)式故電場分布和靜態(tài)情形相同，計算介質(zhì)中位移電流密度jD及穿過半徑R a R b的球面的總位移電流解：位移電流密度為:9 sin wt R 口2穿過半徑 R面的總位移電流JD為：14、證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度的證:即證明了均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體自由電荷密度。15、一根長為l的細(xì)金屬棒，鉛直地豎立在桌上，設(shè)所在地點地磁場強度為H，方向為南北，若金屬棒自靜止?fàn)顟B(tài)向東自由倒下，試求兩端同時接觸桌面的瞬間 棒內(nèi)的感生電動勢，此時棒兩端的電勢哪端高？解：金屬棒倒下接觸桌面時的角速度 w由下式給

38、出X 2 lIw mg -2 2式中為棒的質(zhì)量,1 2I為棒繞端點的轉(zhuǎn)動慣量（-ml ）, g為重3力加速度，代入得122ml w mgl33g棒接觸桌面時的感生電動勢為:0 xdx0H Jgl3 0H222x ayzS測得s的尺子長度是運動尺的收縮，只與相對運動的速度的絕對值有關(guān)，l22S測得s的尺子長度也是l0： v 。c v（2）相對于一束電子靜止的系統(tǒng)中，相對速度2v代入V0.9c 得:(2)求 E Ex(3)求17、設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度為lo，它們以相同速率v相對于某一參考系運動，但運動方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上 測量另一根尺的長度。解：S系觀察到S”的速度18、兩束電子作迎面相對運動，每束電子相對于實驗室的速度v 0.9c，試求:（1）實驗室中觀察者觀察到的兩束電子之間的相對速度；（2） 相對于一