實數(shù)基本理論的研究論文

1、湖 南 科 技 大 學畢 業(yè) 設 計（ 論 文 ）題目實數(shù)基本理論的研究作者朱文頂學院數(shù)學與計算科學學院專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學學號0707010219指導教師劉麗娟二一一年五月二十日湖 南 科 技 大 學畢業(yè)設計（論文）任務書 數(shù)學與計算科學學院 院 數(shù)學與應用數(shù)學 系（教研室）系（教研室）主任: （簽名） 年 月 日學生姓名: 朱文頂 學號: 0707010219 專業(yè): 數(shù)學與應用數(shù)學 1 設計（論文）題目及專題： 實數(shù)基本理論的研究 2 學生設計（論文）時間：自 2011 年 2 月 22 日開始至 2011 年 5 月 20 日止3 設計（論文）所用資源和參考資料：1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)

2、學分析第三版（上）.高等教育出版社.2001.2田國華.數(shù)學分析輔導及習題全解.人民日報出版社.2004.3李成章 黃玉民.數(shù)學分析第二版（上）.科學出版社.2007.4 設計（論文）應完成的主要內(nèi)容：（1）給出實數(shù)完備性定理的內(nèi)容；（2）給出實數(shù)完備性定理的證明；（3）給出實數(shù)完備性定理的等價證明；（4）給出實數(shù)完備性定理的簡單應用。5 提交設計（論文）形式（設計說明與圖紙或論文等）及要求： 提交一份8000字以上的紙質(zhì)文檔和電子文檔，要求打印格式按湖南科技大學關(guān)于本科生畢業(yè)論文的要求，論文內(nèi)容要求格式正確，論證充分，而且具有一定的創(chuàng)新。6 發(fā)題時間： 2010 年 12 月 30 日指導教

3、師： （簽名）學 生： （簽名）湖 南 科 技 大 學畢業(yè)設計（論文）指導人評語主要對學生畢業(yè)設計（論文）的工作態(tài)度，研究內(nèi)容與方法，工作量，文獻應用，創(chuàng)新性，實用性，科學性，文本（圖紙）規(guī)范程度，存在的不足等進行綜合評價指導人： （簽名）年 月 日 指導人評定成績： 湖 南 科 技 大 學畢業(yè)設計（論文）評閱人評語主要對學生畢業(yè)設計（論文）的文本格式、圖紙規(guī)范程度，工作量，研究內(nèi)容與方法，實用性與科學性，結(jié)論和存在的不足等進行綜合評價評閱人： （簽名）年 月 日 評閱人評定成績： 湖 南 科 技 大 學畢業(yè)設計（論文）答辯記錄日期： 學生： 學號： 班級： 題目： 提交畢業(yè)設計（論文）答辯委

4、員會下列材料：1 設計（論文）說明書共頁2 設計（論文）圖 紙共頁3 指導人、評閱人評語共頁畢業(yè)設計（論文）答辯委員會評語：主要對學生畢業(yè)設計（論文）的研究思路，設計（論文）質(zhì)量，文本圖紙規(guī)范程度和對設計（論文）的介紹，回答問題情況等進行綜合評價答辯委員會主任： （簽名）委員： （簽名）（簽名）（簽名）（簽名） 答辯成績： 總評成績： 實數(shù)基本理論的研究摘要實數(shù)是數(shù)學中重要的一部分，也是整個數(shù)學分析研究的基礎，因此，實數(shù)基本理論在整個數(shù)學分析中占有十分重要的地位。在實數(shù)基本理論中，實數(shù)的幾個基本定理體現(xiàn)了實數(shù)的一種特性實數(shù)的完備性（或者說實數(shù)的連續(xù)性）。本文主要介紹了實數(shù)基本理論中的實數(shù)完備性

5、及實數(shù)完備性定理的證明和等價證明，并給出了實數(shù)完備性定理的簡單應用。關(guān)鍵詞：實數(shù)；實數(shù)完備性；等價證明。abstract real number was an important part of mathematics , but also the foundation of mathemat-ical analysis, therefore, fundamental theories of real numbers play very important position in the mathematical analysis . in the fundamental theories o

6、f real numbers, several fundamental theorems embodie a kind characteristic of real numbers - completeness of real numbers (or continuity of real numbers). this papers mainly introduce the completeness of real numbers in fundamental theories of real numbers and completeness theorems proof and equival

7、ent proof, and give simple application of the real completeness theorem.keywords:real numbers; completeness of real numbers; equivalent proof.目錄第一章 引言- 1 -第二章 預備知識- 2 -定義2.1：上界（下界）- 2 -定義2.2：上確界- 2 -定義2.3：下確界- 2 -定義2.4：單調(diào)數(shù)列- 2 -定義2.5：（數(shù)列）極限及其性質(zhì)- 2 -定義2.6：閉區(qū)間套- 3 -定義2.7： 聚點- 3 -定義2.8：無限開覆蓋（有限開覆蓋）- 3

8、-定義2.9：一致連續(xù)性- 4 -定義2.10：連續(xù)函數(shù)的局部有界性- 4 -定義2.11：連續(xù)函數(shù)的局部保號性- 4 -第三章 實數(shù)基本性質(zhì)- 5 -第四章 實數(shù)完備性- 6 -4.1 確界原理- 6 -4.2 單調(diào)有界定理- 6 -4.3 區(qū)間套定理- 6 -4.4 有限覆蓋定理- 6 -4.5 聚點定理- 6 -4.6 柯西收斂準則- 6 -第五章 實數(shù)完備性定理的證明- 7 -5.1 確界原理證明- 7 -5.2 單調(diào)有界定理證明- 8 -5.3 區(qū)間套定理證明- 8 -5.4 有限覆蓋定理證明- 9 -5.5 聚點定理證明- 10 -5.6 柯西收斂準則證明- 10 -第六章 實數(shù)完

9、備性定理的相互證明- 13 -6.1 確界原理單調(diào)有界定理（同單調(diào)有界定理的證明）- 13 -6.2 單調(diào)有界定理區(qū)間套定理（同區(qū)間套定理的證明）- 13 -6.3 區(qū)間套定理有限覆蓋定理（同有限覆蓋定理的證明）- 14 -6.4 有限覆蓋定理聚點定理- 15 -6.5 聚點定理柯西收斂準則- 15 -6.6 柯西收斂準則確界原理- 16 -第七章 應用- 18 -7.1 有界性定理（應用有限覆蓋定理）- 18 -7.2 最大、最小值定理（應用確界原理）- 19 -7.3 介值定理（應用確界原理）- 19 -7.4 一致連續(xù)性定理（應用有限覆蓋定理）- 20 -第八章 結(jié)論- 21 -參考文獻

10、- 22 -致謝- 23 -第1章 引言實數(shù)是數(shù)學中重要的一部分，也是整個數(shù)學分析研究的基礎，因此，實數(shù)基本理論在整個數(shù)學分析中占有十分重要的地位。在實數(shù)基本理論中，實數(shù)的幾個基本定理體現(xiàn)了實數(shù)的一種特性實數(shù)的完備性（或者說實數(shù)的連續(xù)性）。本文將介紹實數(shù)的完備性的六個定理及其等價證明，以及實數(shù)完備性定理的簡單應用。.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。有理數(shù)可用分數(shù)形式表示，也可用有限十進小數(shù)或無限十進循環(huán)小數(shù)來表示；無理數(shù)為無限十進不循環(huán)小數(shù)。在研究中，我們可作如下規(guī)定：對于有限小數(shù)（包括正整數(shù)），當時，其中，記，而當為正整數(shù)時，則記，例如2.001記為2.00099999.;對于負有限小數(shù)（包括負整

11、數(shù)），則先將表示為無限小數(shù)，再在所得無限小數(shù)之前加負號，例如-8記為 -7.9999.;又規(guī)定數(shù)0表示為0.000.。這樣，任何一個實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示。第2章 預備知識定義2.1：上界（下界）設為中一個數(shù)集。若存在數(shù)，使得對一切，都有，則稱為有上界（下界)的數(shù)集，數(shù)稱為的一個上界（下界）。定義2.2：上確界設是中一個數(shù)集。若數(shù)滿足：（i）對一切，有，即是的上界；（ii）對任何，則稱數(shù)為數(shù)集的上確界，記作。定義2.3：下確界設是中一個數(shù)集。若數(shù)滿足：（i）對一切，有，則是的下界；（ii）對任何，則稱數(shù)為數(shù)集的下確界，記作。定義2.4：單調(diào)數(shù)列若數(shù)列的各項滿足關(guān)系式，則稱數(shù)列為遞增

12、（遞減）數(shù)列。遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。定義2.5：（數(shù)列）極限及其性質(zhì)設為數(shù)列，為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，讀作“當趨于無窮大時，的極限等于或趨于”。唯一性 若數(shù)列收斂，則它只有一個極限。有界性 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)有。保號性 若，則對任何，存在正整數(shù)，使得當時有。保不等式性 設與均為收斂數(shù)列。若存在正數(shù)，使得當時有，則。迫斂性 設收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當時有，則數(shù)列收斂，且。定義2.6：閉區(qū)間套設閉區(qū)間列 ，具有如下性質(zhì)：（1）；(2.6.1)（2），(2.6.2

13、)則稱為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套。定義2.7： 聚點設為數(shù)軸上的點集，為定點（它可以屬于，也可以不屬于），若的任何鄰域內(nèi)都含有中無窮多個點，則稱為點集的一個聚點。定義2.8：無限開覆蓋（有限開覆蓋）設為數(shù)軸上的點集，為開區(qū)間的集合（即的每一個元素都是形如的開區(qū)間）。若中任何一點都含在中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱為的一個開覆蓋，或稱覆蓋。若中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的，則稱為的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）。定義2.9：一致連續(xù)性設為定義在區(qū)間上的函數(shù)。若對任給的，存在，使得對任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。定義2.10：連續(xù)函數(shù)的局部有界性 若函數(shù)在點連續(xù)，則在某內(nèi)有界。定義2.11：連

14、續(xù)函數(shù)的局部保號性 若函數(shù)在點連續(xù)，且，則對任何正數(shù)，存在某，使得對一切有。第3章 實數(shù)基本性質(zhì)實數(shù)作為數(shù)學分析中重要的一部分，它具有如下一些主要性質(zhì)： 3.1 實數(shù)集對加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四則運算是封閉的，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍然是實數(shù)。 3.2 實數(shù)集是有序的，即任意兩實數(shù)必滿足下述三個關(guān)系之一：。 3.3 實數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性，即。 3.4 實數(shù)具有阿基米德（archimedes）性，即對任何，若,則存在正整數(shù),使得。 3.5 實數(shù)集具有稠密性，即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，且即有有理數(shù)，也有無理數(shù)。 3.6 如果在一直線（通常畫成水平直線

15、）上確定一點o作為原點，指定一個方向為正向（通常把指向右方的方向規(guī)定為正向），并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點；反之，數(shù)軸上的每一點也都唯一地代表一個實數(shù)。于是，實數(shù)集與數(shù)軸上的點有著一一對應關(guān)系。第4章 實數(shù)完備性實數(shù)基本定理以不同的方式反映了實數(shù)的一種特性，即實數(shù)的完備性（或?qū)崝?shù)的連續(xù)性）。下面介紹實數(shù)完備性定理的基本內(nèi)容：4.1 確界原理 設為非空數(shù)集。若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界。4.2 單調(diào)有界定理 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。4.3 區(qū)間套定理 若是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的一點，使得，即。 4.3區(qū)間套定理的推

16、論 若是區(qū)間套所確定的點，則對任給的，存在，使得當時有。4.4 有限覆蓋定理 設為閉區(qū)間的一個（無限）開覆蓋，則從中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋。4.5 聚點定理 實軸上的任一有界無限點集至少有一個聚點。 4.5致密性定理（聚點定理的推論） 有界數(shù)列必含有收斂子列。4.6 柯西收斂準則 數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的，存在正整數(shù)，使得當時有 第5章 實數(shù)完備性定理的證明5.1 確界原理證明證： 我們只證明關(guān)于上確界的結(jié)論，下確界的結(jié)論可類似的證明。為敘述的方便起見，不妨設含有非負數(shù)。由于有上界，故可找到非負整數(shù)，使得1） 對于任何有；2） 存在，使。對半開區(qū)間作10等分，分點為，則存在0,1,2,

17、.,9中的一個數(shù)，使得1) 對于任何有；2) 存在，使。再對半開區(qū)間作10等分，則存在0,1,2,.,9中的一個數(shù)，使得1） 對于任何有；2） 存在，使。繼續(xù)不斷地10等分在前一步驟得到的半開區(qū)間，可知對任何，存在0,1,2,.,9中的一個數(shù)，使得1） 對于任何有；(5.1.1)2） 存在，使。將上述步驟無限的進行下去，得到實數(shù)。以下證明。為此只需證明：(i)對一切有；(ii)對任何，存在。倘若結(jié)論(i)不成立，即存在使，則可找到的位不足近似值，使，從而得，但這與不等式（5.1.1）相矛盾。于是(i)得證?，F(xiàn)設，則存在使的位不足近似，即。根據(jù)數(shù)的構(gòu)造，存在使，從而有，即得到。這證明了（ii）成

18、立。5.2 單調(diào)有界定理證明證：不妨設為有上界的遞增數(shù)列。由確界原理，數(shù)列有上界，記。下面證明就是的極限。事實上，任給，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項，使得。又由的遞增性，當時有。另一方面，由于是的一個上界，故對一切都有。所以當時有，這就證得。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界。5.3 區(qū)間套定理證明證：由，為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理，有極限，且有，(5.3.1)同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件有，(5.3.2)且，(5.3.3)由（5.1.1）式和（5.3.3）式得。(5.3.4)最后證明滿足（5.3.4）的是唯一的。設數(shù)也滿足，(5.3.5)則由（5

19、.3.4）式有，(5.3.6)由區(qū)間套的條件2（2.6.2）得，(5.3.7)故有。5.4 有限覆蓋定理證明證：用反證法 假設定理的結(jié)論不成立，即不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為，則且。再將等分為兩個子區(qū)間，同樣其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個子區(qū)間為，則且。重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個區(qū)間列，它滿足，即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。由區(qū)間套定理，存在唯一的一點。由于是的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間，使。于是，由區(qū)間套定理的推論(4.3)，當充分大時有。這表

20、明只須用中一個開區(qū)間就能覆蓋，與挑選時的假設“不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾。從而證得必存在屬于的有限個開區(qū)間能覆蓋。5.5 聚點定理證明證：因為有界點集，故存在，使得，記?，F(xiàn)將等分為兩個子區(qū)間。因為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個含有中無窮多個點，記此子區(qū)間為，則，且。再將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間含有中無窮多個點，取出這樣的一個子區(qū)間，記為，則，且。將此等分區(qū)間的步驟無限的進行下去，得到一個區(qū)間列，它滿足，即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都含有中無窮多個點。由區(qū)間套定理，存在唯一的一點，于是由區(qū)間套定理的推論（4.3），對任給的從而內(nèi)含有中無窮多個點，按定義(2.7聚點定

21、理)，為的聚點。5.6 柯西收斂準則證明證：必要性 設。由數(shù)列極限的定義，對任給的，存在，當時有，因而。充分性 按假設，對任給的，存在，使得對一切有，即在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎所有的項（這里及以下，為敘述簡單起見，我們用“中幾乎所有的項”表示“中除有限項外的所有項”）。據(jù)此，令，則存在，在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎所有的項。記這個區(qū)間為。再令，則存在，在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎所有的項。記，它也含有中幾乎所有的項，且滿足。繼續(xù)依次令，照以上方法得一閉區(qū)間列，其中每一個區(qū)間都含有中幾乎所有的項，且滿足，即是區(qū)間套。由區(qū)間套定理，存在唯一的一個數(shù)?，F(xiàn)在證明數(shù)就是數(shù)列的極限。事實上，由區(qū)間套定理的推論（4.3），對任給的存

22、在，使得當時有。因此在內(nèi)含有中除有限項外的所有項，這就證得。第6章 實數(shù)完備性定理的相互證明前面我們給出了實數(shù)完備性的六個定理，及各個定理的證明。事實上，在實數(shù)系中這六個定理是相互等價的，即其中任何一個命題都可推出其他命題。下面我們將給出這六個定理的等價證明。為了簡化證明過程，我們可采用下面的證明方法：確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理聚點定理柯西收斂準則確界原理。這樣便可證得六個定理的等價性。我們也可以做出六個定理之間的相互證明，這里不作詳述。6.1 確界原理單調(diào)有界定理（同單調(diào)有界定理的證明）證：不妨設為有上界的遞增數(shù)列。由確界原理，數(shù)列有上界，記。下面證明就是的極限。事實上，任給

23、，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項，使得。又由的遞增性，當時有。另一方面，由于是的一個上界，故對一切都有。所以當時有，這就證得。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界。6.2 單調(diào)有界定理區(qū)間套定理（同區(qū)間套定理的證明）證：由，為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理，有極限，且有，(6.3.1)同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件有，(6.3.2)且，(6.3.3)由（5.1.1）式和（5.3.3）式得。(6.3.4)最后證明滿足（5.3.4）的是唯一的。設數(shù)也滿足，(6.3.5)則由（5.3.4）式有，(6.3.6)由區(qū)間套的條件2（2.6.2）得，(6.3.7)故有。6.

24、3 區(qū)間套定理有限覆蓋定理（同有限覆蓋定理的證明）證：用反證法 假設定理的結(jié)論不成立，即不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。將等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。記這個子區(qū)間為，則且。再將等分為兩個子區(qū)間，同樣其中至少有一個子區(qū)間不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋，記這個子區(qū)間為，則且。重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個區(qū)間列，它滿足，即是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都不能用中有限個開區(qū)間來覆蓋。由區(qū)間套定理，存在唯一的一點。由于是的一個開覆蓋，故存在開區(qū)間，使。于是，由區(qū)間套定理的推論(4.3)，當充分大時有。這表明只須用中一個開區(qū)間就能覆蓋，與挑選時的假設“不能用中有限

25、個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾。從而證得必存在屬于的有限個開區(qū)間能覆蓋。6.4 有限覆蓋定理聚點定理證：設有界無窮點集，顯然若含有聚點，必含于內(nèi)，現(xiàn)假設內(nèi)的每一點均不是的聚點，則任意，存在，使得為有限點集。記,則為的一個開覆蓋。由有限開覆蓋定理，存在中有限個開區(qū)間，使得，由于為有限點集，故由上式將導出為有限點集，與假設矛盾，所以在內(nèi)至少含有的一個聚點。6.5 聚點定理柯西收斂準則證：充分性：若收斂，設收斂點為，則由極限定義，任給，存在正整數(shù)，當時，于是，當時，柯西條件成立。必要性：設數(shù)列滿足：任給，存在正整數(shù)，任意有，要證收斂。取，存在正整數(shù)，任意有，由此易知有界（前面的有限項顯然有界），由聚點定理的

26、直接推論致密性定理，存在收斂子列，設其極限為，任意，存在正整數(shù)，任意有，即。在上式中令，由極限的保不等式性有。這就證明了數(shù)列收斂。6.6 柯西收斂準則確界原理證： 設為非空有上界數(shù)集。由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)，存在正整數(shù)，使得為的上界，而不是的上界，即存在，使得。分別取則對每一個正整數(shù)，存在相應的，使得為的上界，而不是的上界，故存在，使得。（6.6.1）又對正整數(shù)，是的上界，故有。結(jié)合（6）式得；同理有。從而得。（6.6.2）于是，對任給的，存在，使得當時有。（6.6.3）由柯西收斂準則，數(shù)列收斂。記。（6.6.4）現(xiàn)在證明就是的上確界。首先，對任何和正整數(shù)有，由（6.6.4）式得，即是

27、的一個上界。其次，對任何，由及（6.6.4）式，對充分大的n同時有。又因不是的上界，故存在，使得。結(jié)合上式得。這說明是的一個上確界。同理可證：若為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界。第7章 應用上面我們介紹了實數(shù)完備性的六個定理及定理間的等價證明。下面我們用實數(shù)的完備性定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。首先介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。有界性定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。最大、最小值定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。介值性定理 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。若為介于與之間的任何實數(shù)，則至少存在一點，使得。一致連續(xù)性定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。下面我們將用

28、不同的方法分別證明上述定理。7.1 有界性定理（應用有限覆蓋定理）證：由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對每一點，都存在領域及正數(shù)，使得?？紤]開區(qū)間集，顯然是的一個無限開覆蓋。由有限覆蓋定理，存在的一個有限子集覆蓋了，且存在正整數(shù)，使得對一切有。令，則對任何，x必屬于某。這就證得在上有界。7.2 最大、最小值定理（應用確界原理）證：由7.1證得在上有界，故由確界原理，的值域有上確界，記為。以下我們證明：存在，使。倘若不然，對一切都有。令，易見函數(shù)在上連續(xù)，故在上有界。設是的一個上界，則。從而推得。但這與為的上確界（最小上界）相矛盾。所以必存在，使，即在上有最大值。同理可證在上有最小值。7.3 介值定理（應用確界原理）證：不妨設。令，則也是上的連續(xù)函數(shù)，且。于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在，使得。這個簡化的情形稱為根的存在性定理。記。顯然為非空有界數(shù)集（），故由確界原理，有下確界，記。因，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在，使得在內(nèi)，在內(nèi)。由此易見，即。下證。倘若，不妨設，則又由局部保號性，存在，使在其內(nèi)，特別有。但這與相矛盾，故必有。7.4 一致連續(xù)性定理（應用有限覆蓋定理）證：由在上的連續(xù)性，任給對每一點，都存在，使得當時有。（7.4.1）考