第四章MATLAB的數(shù)值計算功能

1、第四章 MATLAB 的數(shù)值計算功能Chapter 4: Numerical computation of MATLAB 數(shù)值計算是MATLAB最基本、最重要的功能，是MATLAB最具代表性的特點。MATLAB在數(shù)值計算過程中以數(shù)組和矩陣為基礎(chǔ)。數(shù)組是MATLAB運算中的重要數(shù)據(jù)組織形式。前面章節(jié)對數(shù)組、矩陣的特征及其創(chuàng)建與基本運算規(guī)則等相關(guān)知識已作了較詳盡的介紹，本章重點介紹常用的數(shù)值計算方法。 一、多項式(Polynomial)多項式在眾多學(xué)科的計算中具有重要的作用，許多方程和定理都是多項式的形式。MATLAB提供了標(biāo)準(zhǔn)多項式運算的函數(shù)，如多項式的求根、求值和微分，還提供了一些用于更高級運

2、算的函數(shù)，如曲線擬合和多項式展開等。1多項式的表達與創(chuàng)建(Expression and Creating of polynomial)(1) 多項式的表達（expression of polynomial）_ Matlab用行矢量表達多項式系數(shù)(Coefficient)和根，系數(shù)矢量中各元素按變量的降冪順序排列，如多項式為：P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2an-1x+an則其系數(shù)矢量(Vector of coefficient)為：P=a0 a1 an-1 an如將根矢量(Vector of root)表示為：ar= ar1 ar2 arn則根矢量與系數(shù)矢量之間關(guān)系為：（x-ar

3、1）(x- ar2) (x- arn)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2an-1x+an(2)多項式的創(chuàng)建（polynomial creating）a,系數(shù)矢量的直接輸入法利用poly2sym函數(shù)直接輸入多項式的系數(shù)矢量，就可方便的建立符號形式的多項式。 例1：創(chuàng)建給定的多項式x3-4x2+3x+2poly2sym(1 -4 3 2)ans =x3-4*x2+3*x+2也可以用poly2str.求一個方陣對應(yīng)的符號形式的多項式。例 2：a=3 4 6;5 7 1;8 3 9p=poly(a); %求方陣的特征多項式系數(shù)矢量poly2str(p,x) %建立符號形式的多項式ans = x3

4、 - 19 x2 + 40 x + 214POLY Convert roots to polynomial.POLY(A), when A is an N by N matrix, is a row vector with N+1 elements which are the coefficients of the characteristic polynomial, DET(lambda*EYE(SIZE(A) - A) . POLY(V), when V is a vector, is a vector whose elements are the coefficients of the

5、polynomial whose roots are the elements of V . For vectors, ROOTS and POLY are inverse functions of each other, up to ordering, scaling, and roundoff error. POLY2SYM Polynomial coefficient vector to symbolic polynomial.POLY2SYM(C) is a symbolic polynomial in x with coefficients from the vector C.POL

6、Y2SYM(C,V) and POLY2SYM(C,SYM(V) both use the symbolic variable specified by the second argument.POLY2STR Return polynomial as string.S = POLY2STR(P,s) or S=POLY2STR(P,z) POLY2SYM Polynomial coefficient vector to symbolic polynomial. POLY2SYM(C,V) and POLY2SYM(C,SYM(V) both use the symbolic variable

7、 specified by the second argument.b) 由根矢量創(chuàng)建多項式多項式行向量可以由命令poly創(chuàng)建，如A為矩陣，則poly（A）將創(chuàng)建A矩陣的特征多項式，如果A為向量 ar1 ar2 arn-1 arn，則創(chuàng)建（x-ar1）(x- ar2) (x-arn-1) (x- arn)生成的多項式的系數(shù)矢量。若已知根矢量ar, 通過調(diào)用函數(shù) p=poly(ar) 可以產(chǎn)生多項式的系數(shù)矢量, 再利用poly2sym函數(shù)就可方便的建立符號形式的多項式。例1：由根矢量創(chuàng)建多項式。將多項式(x-6)(x-3)(x-8)表示為系數(shù)形式的多項式。 a=6 3 8 %根矢量pa=poly

8、(a) %求系數(shù)矢量ppa=poly2sym(pa) %以符號形式表示原多項式ezplot(ppa,-50,50) %繪圖pa = 1 -17 90 -144ppa =x3-17*x2+90*x-144說明：（1）根矢量元素為n ，則多項式系數(shù)矢量元素為n+1； （2）函數(shù)poly2sym(pa) 把多項式系數(shù)矢量表達成符號形式的多項式，缺省情況下自變量符號為x，可以指定自變量。（3）使用簡單繪圖函數(shù)ezplot可以直接繪制符號形式多項式的曲線。例 2： 由給定復(fù)數(shù)根矢量求多項式系數(shù)矢量。r=-0.5 -0.3+0.4i -0.3-0.4i;p=poly(r) %求系數(shù)矢量pr=real(p)

9、 %提取系數(shù)矢量實部 ppr=poly2sym(pr) %以符號形式表示原多項式p = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250pr = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250ppr =x3+11/10*x2+11/20*x+1/8說明：含復(fù)數(shù)根的根矢量所創(chuàng)建的多項式要注意： （1）要形成實系數(shù)多項式，根矢量中的復(fù)數(shù)根必須共軛成對； （2）含復(fù)數(shù)根的根矢量所創(chuàng)建的多項式系數(shù)矢量中，可能帶有很小的虛部，此時可采用取實部的命令real把虛部濾掉。c) 多項式的求根如果需要進行系數(shù)表示形式的多項式的求根運算，有兩種方法可以實現(xiàn)，一是直接調(diào)用求根函數(shù)roots，poly和

10、 roots 互為逆函數(shù)。另一種是先把多項式轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣，然后再求其特征值，該特征值即是多項式的根。d) 特征多項式輸入法用poly函數(shù)可實現(xiàn)由矩陣的特征多項式系數(shù)創(chuàng)建多項式。條件：特征多項式系數(shù)矢量的第一個元素必須為1。例 1： 求三階方陣A的特征多項式系數(shù)，并轉(zhuǎn)換為多項式形式。a=6 3 8;7 5 6; 1 3 5Pa=poly(a) %求矩陣的特征多項式系數(shù)矢量Ppa=poly2sym(pa) %建立特征多項式Pa = 1.0000 -16.0000 38.0000 -83.0000Ppa =x3-17*x2+90*x-144注：n 階方陣的特征多項式系數(shù)矢量一定是n +1階的。例

11、2： 將多項式的系數(shù)表示形式轉(zhuǎn)換為根表現(xiàn)形式（求根）。求 x3-6x2-72x-27的根a=1 -6 -72 -27r=roots(a)r = 12.1229 -5.7345 -0.3884MATLAB約定，多項式系數(shù)矢量用行矢量表示，根矢量用列矢量表示。2. 多項式的運算(Computation of polynomial)a, 多項式的加減法運算(addition and subtraction of polynomial)MATLAB沒有提供多項式直接的加減法函數(shù)，若兩個多項式向量大小相同，標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)組加法有效，當(dāng)兩個多項式階次不同時，低階多項式必須用首零填補使其與高階多項式有相同的階次。

12、例1：a=3 2 5 8;b=3 5 1 9; c=a+b %同價求和 d=2 4 1 -4 5; e=0 c+d %不同價求和c = 6 7 6 17e = 2 10 8 2 22減法的操作與加法類似，相當(dāng)于將后項變量取反。b,多項式的乘除運算(Multiplication and division of polynomial)多項式的乘除法對應(yīng)著向量的卷積與解卷積，多項式乘法（卷積）用函數(shù)conv(a,b)實現(xiàn)， 除法（解卷積）用函數(shù)deconv(a,b)實現(xiàn)。長度為m的向量a和長度為n的向量b的卷積定義為：C(k)=j=1kajb(k+1-j)C向量的長度為：m+n-1解卷積是卷積的逆運

13、算，向量a對向量c進行解卷積將得到商向量 q和余量r，并且滿足：ck-rk=j=1kajq(k+1-j)例1：a(s)=s2+2s+3, b(s)=4s2+5s+6,計算 a(s)與 b(s)的乘積。a=1 2 3; b=4 5 6; %建立系數(shù)矢量 c=conv(a,b) %乘法運算cs=poly2sym(c,s) %建立指定變量為s的符號形式多項式c = 4 13 28 27 18cs =4*s4+13*s3+28*s2+27*s+18例2： 展開(s2+2s+2)(s+4)(s+1) （多個多項式相乘）c=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1)cs=poly2sym(c,s)

14、%（指定變量為s）c = 1 7 16 18 8cs =s4+7*s3+16*s2+18*s+8例3：求多項式s4+7*s3+16*s2+18*s+8分別被(s+4),(s+3)除后的結(jié)果。c=1 7 16 18 8;q1,r1=deconv(c,1,4) %q商矢量， r余數(shù)矢量q2,r2=deconv(c,1,3)cc=conv(q2,1,3) %對除(s+3)結(jié)果檢驗test=(c-r2)=cc)q1 = 1 3 4 2r1 = 0 0 0 0 0q2 = 1 4 4 6r2 = 0 0 0 0 -10cc = 1 7 16 18 18test = 1 1 1 1 13. 其他常用的多項

15、式運算命令(Other computation command of polynomial)pa=polyval(p,s) 按數(shù)組運算規(guī)則計算給定s時多項式p的值。pm=polyvalm(p,s) 按矩陣運算規(guī)則計算給定s時多項式p的值。r,p,k=residue(b,a) 部分分式展開，b,a分別是分子（numerator）分母（denominator）多項式系數(shù)矢量，r,p,k分別是留數(shù)、極點和直項矢量p=polyfit(x,y,n) 用n階多項式擬合x，y矢量給定的數(shù)據(jù)。polyder(p) 多項式微分。注： 對于多項式b(s)與不重根的n階多項式a(s)之比，其部分分式展開為： 式中：

16、p1,p2,pn稱為極點(poles)，r1,r2,rn 稱為留數(shù)(residues)，k(s)稱為直項(direct terms)，假如a(s)含有m重根pj，則相應(yīng)部分應(yīng)寫成：RESIDUE Partial-fraction expansion (residues). R,P,K = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B(s)/A(s). If there are no multiple

17、roots,B(s) R(1) R(2) R(n) - = - + - + . + - + K(s) A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)Vectors B and A specify the coefficients of the numerator and denominator polynomials in descending powers of s. The residuesare returned in the column vector R, the pole locations in column vector P, and the direct te

18、rms in row vector K. The number of poles is n = length(A)-1 = length(R) = length(P). The direct term coefficient vector is empty if length(B) n 可求出最小二乘解*欠定系統(tǒng)：(Underdetermind system) m n, then only the first n columns of Q are computed.4. 特征值與特征矢量(Eigenvalues and eigenvectors).MATLAB中使用函數(shù)eig計算特征值和 特征

19、矢量，有兩種調(diào)用方法：*e=eig(a), 其中e是包含特征值的矢量；*v,d=eig(a), 其中v是一個與a相同的nn階矩陣，它的每一列是矩陣a的一個特征值所對應(yīng)的特征矢量，d為對角陣，其對角元素即為矩陣a的特征值。例1：計算特征值和特征矢量。a=34 25 15; 18 35 9; 41 21 9e=eig(a)v,d=eig(a)a = 34 25 15 18 35 9 41 21 9e = 68.5066 15.5122 -6.0187v = -0.6227 -0.4409 -0.3105 -0.4969 0.6786 -0.0717 -0.6044 -0.5875 0.9479d

20、= 68.5066 0 0 0 15.5122 0 0 0 -6.0187EIG Eigenvalues and eigenvectors.E = EIG(X) is a vector containing the eigenvalues of a square matrix X.V,D = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D.V,D = EIG(X,nob

21、alance) performs the computation with balancing disabled, which sometimes gives more accurate results for certain problems with unusual scaling. If X is symmetric, EIG(X,nobalance) is ignored since X is already balanced.5. 奇異值分解.( Singular value decomposition).如存在兩個矢量u,v及一常數(shù)c,使得矩陣A滿足：Av=cu, Au=cv稱c為

22、奇異值，稱u,v為奇異矢量。 將奇異值寫成對角方陣，而相對應(yīng)的奇異矢量作為列矢量則可寫成兩個正交矩陣U，V， 使得： AV=U， AU=V 因為U，V正交，所以可得奇異值表達式： A=UV。一個m行n列的矩陣A經(jīng)奇異值分解，可求得m行m列的U, m行n列的矩陣和n行n列的矩陣V.。奇異值分解用svd函數(shù)實現(xiàn)，調(diào)用格式為；u,s,v=svd(x) SVD Singular value decomposition.U,S,V = SVD(X) produces a diagonal matrix S, of the same dimension as X and with nonnegative

23、diagonal elements in decreasing order, and unitary matrices U and V so that X = U*S*V.S = SVD(X) returns a vector containing the singular values.U,S,V = SVD(X,0) produces the economy size decomposition. If X is m-by-n with m n, then only the first n columns of U are computed and S is n-by-n.例1： 奇異值分解。a=8 5; 7 3;4 6;u,s,v=svd(a) % s為奇異值對角方陣u = -0.6841 -0.1826 -0.7061 -0.5407 -0.5228