中心極限定理探討及應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、目 錄摘 要I1 緒論111課題的研究意義112國內(nèi)外研究現(xiàn)狀113研究目標(biāo)22 關(guān)于獨(dú)立分布的中心極限定理的探討321中心極限定理的提法322獨(dú)立同分布情形的兩個(gè)定理3221 林德伯格-勒維中心極限定理4222隸莫弗拉普拉斯定理523獨(dú)立不同分布情形下的中心極限定理6231林德貝格中心極限定理6232李雅普諾夫中心極限定理1124本章小結(jié)123 中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用1331 水房擁擠問題1332設(shè)座問題1533盈利問題1634抽樣檢驗(yàn)問題1735供應(yīng)問題18結(jié) 語19參考文獻(xiàn)20附錄22中心極限定理探討及應(yīng)用摘 要：本文從隨機(jī)變量序列的各種收斂與它們間的關(guān)系談起，通過對概率論的經(jīng)典

2、定理中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下的結(jié)論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)平均結(jié)果的穩(wěn)定性經(jīng)過對中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布可以用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù)同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立同分布與獨(dú)立不同分布兩個(gè)角度來進(jìn)行討論;最后給出了一些中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、近似計(jì)算、以及保險(xiǎn)業(yè)等方面的應(yīng)用，來進(jìn)一步地闡明了中心極限定理在各分支學(xué)科中的重要作用和應(yīng)用價(jià)值關(guān)鍵詞：弱收斂;獨(dú)立隨機(jī)變量;特征函數(shù);中心極限定理第 I 頁08級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文1 緒論11課題的研究意義概率統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性1的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的應(yīng)用十分廣

3、泛，涉及自然科學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)科、工程技術(shù)及軍事科學(xué)、農(nóng)醫(yī)學(xué)科、企業(yè)管理部門等而大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中最重要的內(nèi)容之一，甚至可以說概率論的真正歷史開始于極限定理的研究，在這以前概率論還僅局限于古典概率的直接計(jì)算，而且主要是賭博中的概率計(jì)算2極限定理最早的成果有:伯努利大數(shù)定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，這些定理開辟了概率論中的重要研究方向大數(shù)定律、中心極限定理及以正態(tài)分布和泊松分布為代表的無窮可分分布的研究概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理是概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)

4、因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗(yàn)中，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)漸近于正態(tài)分布的問題 1716年前后，棣莫佛對n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為1/2的情況進(jìn)行了討論，隨后，拉普拉斯和李亞普諾夫等進(jìn)行了推廣和改進(jìn)自萊維在1919-1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極限定理和局部極限定理等無論是在概率論的發(fā)展史上還是在現(xiàn)代概率論中，極限定理的研究都占特別重要的地位，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石之一，其理論成果也比較完美長期以來，對于極限定理的研究所形

5、成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展同時(shí)新的極限理論問題也在實(shí)際中不斷產(chǎn)生這樣中心極限定理在概率論中占有重要的地位，同時(shí)極限定理的研究引起了現(xiàn)代概律論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計(jì)分析和近似計(jì)算等方面具有一定的應(yīng)用，所以中心極限定理的研究具有一定的理論和實(shí)際意義12國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 中心極限定理作為概率論的重要內(nèi)容，其理論成果相對比較完善這方面的文章較多，它們的結(jié)果也比較完美但是他們注重于研究單一的方向，而幾個(gè)定律之間的關(guān)系和應(yīng)用方面的較少出于這種現(xiàn)狀本文通過對獨(dú)立條件下的中心極限定理做系統(tǒng)的分析，主要研究和討論幾個(gè)中心極限定理之間的關(guān)系以及中心極限定理所揭示的理論意義和他們的應(yīng)用同時(shí)對文中出現(xiàn)的定理和結(jié)

6、論做系統(tǒng)的分析和證明，所以對教學(xué)和科研方面具有一定的參考價(jià)值13研究目標(biāo) 通過對獨(dú)立隨機(jī)序列的中心極限定理做系統(tǒng)的分析，闡明中心極限定理它們之間的關(guān)系以及舉例說明中心極限定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用為教學(xué)和科研供參考 2 關(guān)于獨(dú)立分布的中心極限定理的探討凡是在一定條件下斷定隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的定理，在概率論中統(tǒng)稱中心極限定理具體一點(diǎn)說，中心極限定理回答的是(獨(dú)立或弱相依)隨機(jī)變量之和的極限分布在什么條件下是正態(tài)的中心極限定理是揭示產(chǎn)生正態(tài)分布的源泉，是應(yīng)用正態(tài)分布來解決各種實(shí)際問題的理論基礎(chǔ)21中心極限定理的提法直觀上，如果一隨機(jī)變量決定于大量(乃至無窮多個(gè))隨機(jī)因素的總合，其中每個(gè)隨

7、機(jī)因素的單獨(dú)作用微不足道，而且各因素的作用相對均勻，那么它就服從(或近似地服從)正態(tài)分布，下面我們將按嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來表述這一直觀在許多情形下，一隨機(jī)變量可以表示為或近似地表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和， (a)這里，每個(gè)直觀上表示一種隨機(jī)因素的效應(yīng)，假如式(a)包含了決定的充分多的隨機(jī)因素的效應(yīng)(即充分大)，則的分布就近似于X的分布中心極限定理就是要說明，在什么條件下大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，即，在什么條件下，當(dāng)時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的中心極限定理的名稱最早是由仆里耶(1920年)提出來的，中心極限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年1894年)提出來的下面

8、我們介紹四個(gè)主要定理:1)林德伯格一勒維定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普諾夫定理其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推論22獨(dú)立同分布情形的兩個(gè)定理中心極限定理有多種不同的形式，它們的結(jié)論相同，區(qū)別僅在于加在各被加項(xiàng)上的條件不同獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列的中心極限定理，是中心極限定理最簡單又最常用(特別在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中)的一種形式，通常稱做林德伯格-勒維定理歷史上最早的中心極限定理一棣莫弗一拉普拉斯(積分)定理是它的特殊情形設(shè)的方差，大于，令 （1）我們說，隨機(jī)變數(shù)列服從中心極限定理，如果關(guān)于均勻的有 （2） (2)表示：隨機(jī)變量數(shù)的分布函數(shù)關(guān)于均勻的趨于正態(tài)分布的分布

9、函數(shù)獨(dú)立同分布的兩個(gè)定理：221 林德伯格-勒維中心極限定理設(shè)相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差：記 則對任意實(shí)數(shù)，有 （3）證明 為證（1）式，只須證的分布函數(shù)列若收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布又由定理4343，只須證的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)為此設(shè)的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為 又因?yàn)?，所以?， 于是特征函數(shù)有展開式 從而有 ，而正是分布的特征函數(shù)，定理得證例1某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布若一年365天都經(jīng)營汽車銷售,且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的,求一年中售出700輛以上汽車的概率解:設(shè)某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù),則,為一年的總銷量由,知利用林德貝格-

10、勒維中心極限定理可得, 這表明一年中售出700輛以上汽車的概率為08665222隸莫弗拉普拉斯定理在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0p1），為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記 且對任意實(shí)數(shù)，有 此定理由定理1馬上就得出，也就是說定理2是定理1的推論例2 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20,以表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)(1)寫出的分布列;(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值解:(1) 服從的二項(xiàng)分布,即 (2)利用隸莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有 這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為094

11、3723獨(dú)立不同分布情形下的中心極限定理對于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列只要它們的方差有窮，中心極限定理就成立而在實(shí)際問題中說諸具有獨(dú)立性是常見的，但是很難說諸是“同分布”的隨機(jī)變量，正如前面提到的測量誤差的產(chǎn)生是由大量“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的，即則間具有獨(dú)立性，但不一定同分布，所以我們有必要討論獨(dú)立不同分布隨機(jī)變量和的極限分布問題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件林德伯格(Lideberg)于1922年找到了獨(dú)立隨機(jī)變量服從中心極限定理的最一般的條件，通常稱做林德伯格條件231林德貝格中心極限定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 滿足林德貝格條件，則對任意的，有 為證此，先證下列三個(gè)不等式：對任

12、意實(shí)數(shù)，有 ； (4) (5) (6)實(shí)際上，對上三式明顯設(shè)，則 ； ； 利用，可見（4）（5）（6）方都是的偶函數(shù)，故他們對也成立定理三的證明，先把記號(hào)簡化令 （7）以、分別表的特征函數(shù)與分布函數(shù)，因而 （8） ， （9） （10）在這些記號(hào)下，由（6） 故林德貝格條件可化為：對任意， ； （11）而(2)式化為：對均勻的有 （12）如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數(shù) 亦即 （13） 那么根據(jù)定理3234，（12）成立；再由定理313，（12）中收斂對還是均勻的，于是定理3得以證明現(xiàn)在也就是只要證出（13）成立 則問題得證 為了證明（13），分兩步（甲）先證可展開為 ， （14）其中函

13、數(shù)在任意有窮區(qū)間內(nèi)趨于實(shí)際上，由（9）中前一式 （15）根據(jù)（5） （16）其中任意由（11），對一切充分大的有；從而關(guān)于及任何有限區(qū)間中的，同時(shí)有 因而對任意，均勻的有 （17）特別，當(dāng)時(shí)，對一切充分大的，下式成立： （18）因此，在中，有展開式 （19）其中 由（18） ；但由（16）中第一個(gè)不等式及（10） 故 由（17）可見當(dāng)時(shí)，關(guān)于任意有窮區(qū)間中的均勻的有 （20）（乙）令 由（15）得 （21）如果能夠證明：對任意有窮區(qū)間中的均勻的有 (22)那么以（21）代入（14）并聯(lián)合（甲）中的結(jié)論即得證(13),而且（13）中的收斂對任意有窮區(qū)間內(nèi)的均勻，從而定理得以完全證明今證（22），

14、由（10） 對任意， 由（4）（5）得 由（10）可見：對，有 （23）對任意，可選使 又由（11），存在正整數(shù)，使對此及，有 （24）于是當(dāng)時(shí)，對一切，有 232李雅普諾夫中心極限定理如對獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)列，存在常數(shù)，使當(dāng)時(shí)有 （25）則（2）對均勻的成立 證只要驗(yàn)證林德貝格條件滿足，由（25） 例3 一份考卷由99個(gè)題目組成,并按由易到難順序排列某學(xué)生答對第1題的概率為099;答對第2題的概率為098;一般地，他答對第題的概率為加入該學(xué)生回答各題目是相互獨(dú)立的，并且要正確回答其中60個(gè)題目以上（包括60個(gè)）才算通過考試試計(jì)算該學(xué)生通過考試的可能性多大？ 解 設(shè)于是相互獨(dú)立，且服從不同的二點(diǎn)分布

15、： 而我們要求的是 為使用中心極限定理，我們可以設(shè)想從開始的隨機(jī)變量都與同分布且相互獨(dú)立下面我們用來驗(yàn)證隨機(jī)變量序列滿足李雅普諾夫條件（25），因?yàn)?， ，于是 ，即滿足李雅普諾夫條件（25），所以可以使用中心極限定理 又因?yàn)?所以該學(xué)生通過考試的可能性為 由此看出：此學(xué)生通過考試的可能性很小，大約只有千分之五24本章小結(jié)這一章從獨(dú)隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的定理引入了中心極限定理的內(nèi)容，可分為分獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下討論隨機(jī)變量的分布趨于正態(tài)分布的情況由于極限定理的研究直接聯(lián)系到大n場合的二項(xiàng)分布的計(jì)算，所以我們也通過一些例子來討論二項(xiàng)分別的近似計(jì)算問題最后通過舉出反例，以及在

16、相同條件下比較大數(shù)定律與中心極限定理，說明了中心極限定理在近似計(jì)算中更精確至于中心極限定理名稱的得來是由于隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱3 中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用31 水房擁擠問題假設(shè)某高校有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向?qū)W校后勤集團(tuán)公司提議增設(shè)水龍頭假設(shè)后勤集團(tuán)公司經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭數(shù)量為45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？（2）需至

17、少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95以上的概率保證不擁擠？解：（1）設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為，則B（5000，001）擁擠的概率是 直接計(jì)算相當(dāng)麻煩，我們利用隸莫佛-拉普拉斯定理已知n=5000,p=001，q=099，故從而 怪不得同學(xué)們有不少的抱怨擁擠的概率竟達(dá)到7611%（2）欲求m，使得即由于即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即故需要裝62個(gè)水龍頭問題的變形：（3）需至少安裝多少個(gè)水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m，使得即由于76即查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即故需要裝67個(gè)水龍頭（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個(gè)，其余的條件不變,1,2兩問題結(jié)果如何？解：（1）

18、（2） 同上（5）若條件中的每個(gè)學(xué)生占用由1%提高到15%，其余的條件不變，則（1），（2）兩問題結(jié)果如何?解：(1) 設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為，則B（5000，0015），已知n=5000,p=0015，q=0985，擁擠的概率是擁擠的概率竟達(dá)到100%(2) 欲求m，使得即由于 即 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得 即 故需要裝90個(gè)水龍頭32設(shè)座問題甲、乙兩戲院在競爭500名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全隨意地選擇一個(gè)戲院，且觀眾之間選擇戲院是彼此獨(dú)立的，問每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證觀眾因缺少座位而離開的概率小于5%解： 由于兩個(gè)戲院的情況相同，故只需考慮甲戲院即可設(shè)甲戲院需

19、設(shè)m個(gè)座位，設(shè) 則若用X表示選擇甲戲院的觀眾總數(shù)，則問題化為求m使即因?yàn)?由隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，從而解得，即每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)269個(gè)座位33盈利問題盈利問題5：假設(shè)一家保險(xiǎn)公司有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0006，死亡時(shí)，家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率有多少？（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多少？解： 設(shè)為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則，即由德莫佛拉普拉斯中心極限定理(1)7809（2）設(shè)分別表示一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元

20、的事件，則34抽樣檢驗(yàn)問題抽樣檢驗(yàn)問題6：某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某藥品對醫(yī)治一種疑難的血液病治愈率為08醫(yī)院檢驗(yàn)員任取100個(gè)服用此藥的病人，如果其中多于75個(gè)治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言（1）若實(shí)際上此藥對這種病的治愈是08，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實(shí)際上此藥對這種病的治愈率是07，問接受這一斷言的概率是多少？解： 引入隨機(jī)變量 表示抽查的100個(gè)人中被治愈的人數(shù)，則（1） 實(shí)際治愈率為08時(shí)，接受這一斷言的概率為08944（2） 實(shí)際治愈率為07時(shí)，接受這一斷言的概率為0137935供應(yīng)問題假設(shè)某車間有200臺(tái)車床獨(dú)立地工作著，開工率各為06，開工時(shí)耗電各為1000

21、瓦，問供電所至少要給該車間多少電力，才能使999的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解: 設(shè)任一時(shí)刻工作著的機(jī)床數(shù)為，則服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，該時(shí)刻的耗電量為千瓦，如果用表示供電所給該車間的最少電力，則此題所求即為：取何值時(shí)，有查表得解之得即只要給該車間141千瓦的電力，就能以999的概率保證該車間不會(huì)因電力不足而影響生產(chǎn)結(jié) 語概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證

22、明了這一現(xiàn)象本文主要問題和研究方向，即系統(tǒng)的闡明兩種分布的極限定理及進(jìn)行詳盡的證明，及對中心極限定理的簡單應(yīng)用，可以使讀者輕松牢固的掌握中心極限定理中心極限定理，是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件中心極限定理是刻畫有些即使原來并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量，但它們的總和漸進(jìn)地服從正態(tài)分布本文通過實(shí)例介紹了中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用，化抽象的理論概念為身邊的實(shí)際例子利于大家對這一定理的理解及對數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的掌握這是我們數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要重視與探索的問題之一第 23 頁 共 23頁參考文獻(xiàn)1 王梓坤概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用M北京: