統(tǒng)計與概率內(nèi)容分析及教材教法

1、統(tǒng)計與概率內(nèi)容分析與建議平遙縣實驗小學 王秀麗 各位老師：大家 午好！按照義務教育數(shù)學課程標準的設計思路，在各學段中都按排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。今天我們將一起分析“統(tǒng)計與概率”的教學內(nèi)容、目標，共同探討相關的教學策略?！敖y(tǒng)計與概率”的教育價值（插入PPT2）在于：有助于學生適應現(xiàn)代社會的需要； 有助于培養(yǎng)學生形成運用數(shù)據(jù)進行推斷的思考方式； 有助于學生數(shù)學思考、解決問題、情感態(tài)度等多方面的發(fā)展。因此，作為四部分并列內(nèi)容之一，“統(tǒng)計與概率”在新課程中得到了較大重視，其中統(tǒng)計是這部分內(nèi)容的重點，統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。 “統(tǒng)計與概率”的內(nèi)涵1、

2、統(tǒng)計的定義（插入PPT3）我們來看統(tǒng)計學的定義：“統(tǒng)計學是關于收集和分析數(shù)據(jù)的科學和藝術”。定義中有三個核心詞：第一，數(shù)據(jù)。首先我們要區(qū)分數(shù)據(jù)與數(shù)。“數(shù)據(jù)”和“數(shù)”的區(qū)別是：數(shù)據(jù)應有實際背景，而“數(shù)”并不一定。例如：20、 20米，無論其是否帶有單位名稱，它們充其量只不過是個數(shù)，帶有單位名稱的我們叫它名數(shù)。這些數(shù)要想成為真正的數(shù)據(jù)，必須將其放在具體的情境中，賦予它實際的意義。例：樓與樓之間的間距是20米。這時，20米才有其作為統(tǒng)計量的研究價值。統(tǒng)計正是要通過對這些數(shù)據(jù)的處理來提取信息，從而幫助人們進行決策。說簡單點，數(shù)據(jù)是信息的載體，隨著信息的迅速增長，我們需要擴大對數(shù)據(jù)的認識。事實上，現(xiàn)在“

3、數(shù)據(jù)”作為信息的載體，（插入PPT3）包括數(shù)，也包括言語、信號、圖象凡是能夠承載事物信息的東西都構成數(shù)據(jù)。 第二，收集和分析數(shù)據(jù)。運用統(tǒng)計處理數(shù)據(jù)的步驟（插入PPT4）一般包括：確定需要解決的問題；決定收集數(shù)據(jù)的方法并收集數(shù)據(jù)；整理并盡可能清晰地描述數(shù)據(jù)；分析數(shù)據(jù)，并做出決策和推斷。由此可見統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。第三，科學和藝術。統(tǒng)計學有其科學的一方面，但也有藝術的一方面（插入PPT5）。對于同樣的數(shù)據(jù)，由于背景和目標不同可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題背景選擇合適的方法。也就是統(tǒng)計的方法沒有簡單意義上的對和錯，只有“好”和“不好”。 2、 統(tǒng)計與概率的關系 最初統(tǒng)計工作的目的就是了解統(tǒng)計對

4、象的概況、現(xiàn)狀和趨勢，所涉及的數(shù)學方法幾乎都是算術的知識。處于這個水平的統(tǒng)計工作存在著一些很明顯的缺陷，其中重要的一條是它必須觀測統(tǒng)計對象的每一個個體（也就是必須研究總體，而不能抽樣）。隨著科學技術的進步和社會的發(fā)展，現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系越來越復雜，人們不可能也沒有必要將涉及某一數(shù)量關系的所有數(shù)據(jù)都收集到，而經(jīng)常會根據(jù)部分數(shù)據(jù)對總體所具有的規(guī)律做出“推斷”，為了使這種推斷科學化，就需要概率來幫忙了。（插入PPT6）概率是從數(shù)量上研究隨機性的學科，它從偶然性因素和影響中尋求必然的數(shù)量規(guī)律，并對這些偶然性影響給以數(shù)量的刻畫和分析。 實際上，統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的學科?！安徽撛趺凑f，機遇（或說

5、偶然性)無所不在，機遇伴隨著人的一生(當然隨人的情況而有異)，這是一個無法回避的現(xiàn)實” 陳希孺.機會的數(shù)學M.北京：清華大學出版社，廣州：暨南大學出版社，2000：3。（插入PPT7） 統(tǒng)計與概率正是從不同的角度研究如何刻畫隨機現(xiàn)象，統(tǒng)計側(cè)重于從數(shù)據(jù)來刻畫隨機，概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機。 初步了解“統(tǒng)計與概率 ”的關系之后，我們到數(shù)學課程標準中去，看一看新課標對這部分教學內(nèi)容的安排有什么變化。 1 總體把握課標對統(tǒng)計與概率的教學要求（一)新課標中關于“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容結構與課程標準實驗稿相比，小學“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容結構在課程標準中有較大的變化，即在第一學段內(nèi)容大大減少，只保留3條要

6、求。（插入PPT8）概括起來講：主要是學會分類、會進行簡單的數(shù)據(jù)收集與整理；第二學段分為“簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程”和“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”兩部分，共8條（插入PPT9-11）。這樣調(diào)整的原因有，一是在實驗過程中原來第一學段對于統(tǒng)計與概率內(nèi)容的要求，按照學生現(xiàn)有的理解水平，學習有一定困難，教學設計與實施也有很大難度。二是在內(nèi)容上與后面兩個學段也有較多的重復。因此，較大幅度降低了第一學段統(tǒng)計與概率學習內(nèi)容的要求，對后兩個學段的內(nèi)容也做相關的調(diào)整，如中位數(shù)、眾數(shù)等內(nèi)容從第二學段移到第三學段。這樣使小學統(tǒng)計與概率的內(nèi)容與初中在學習的要求上有明顯區(qū)分，在難度上也表現(xiàn)一定的梯度。概括起來來講，新課程標準小學“

7、統(tǒng)計與概率”的課程內(nèi)容主要由（插入PPT12）數(shù)據(jù)分析觀念與簡單數(shù)據(jù)分析的過程數(shù)據(jù)分析的基本方法數(shù)據(jù)的隨機性和隨機現(xiàn)象及簡單隨機事件發(fā)生的概率構成。在教學中，我們要通過讓學生參與在簡單問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，初步認識統(tǒng)計與概率的基礎知識和掌握統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基本技能。 （2） 新課標下，關于“統(tǒng)計與概率”的教學策略（插入PPT13） 策略1、抓住一個核心概念數(shù)據(jù)分析觀念 在課程標準中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為（插入PPT14）：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問

8、題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心。”這段表述點明了兩層意思，一是點明了統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。即“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖象，凡是能夠承載事物信息的東西都構成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學和藝術?！倍屈c明了（插入PPT15）數(shù)據(jù)分析觀念的三個重要方面的要求：“體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性?！?基于這些闡述，為使學生樹立數(shù)據(jù)分析的觀念，教師最有效的方法就是讓他們投入到數(shù)

9、據(jù)分析的全過程，掌握數(shù)據(jù)分析的過程。使學生在此過程中，不僅學習一些必要的知識和方法，同時還將體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，提高自己運用數(shù)據(jù)分析問題、解決問題的能力。 策略2把握“統(tǒng)計與概率”教學的4條主線：第1條 主線：經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程（插入PPT16） 數(shù)據(jù)分析的過程包括：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。根據(jù)課標的要求，在第二學段中學生就要經(jīng)歷一個較完整的數(shù)據(jù)分析的過程。課程標準各個學段都舉了對全班同學的身高進行分析的例子，并且鼓勵學生把每年測量身高的數(shù)據(jù)保留下來，根據(jù)不同學段的特點對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，提取信息，從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理的過程。具體闡述和要求如下。 我們每年都要測量學生的身

10、高，這為學習數(shù)據(jù)收集提供了很好的資源，因此這個問題可以貫穿第一學段和第二學段，根據(jù)不同學段的學生特點，要求可以有所不同。（插入PPT17） 第一學段：對全班同學的身高進行調(diào)查。主要讓學生感悟這些信息，而在提取信息的數(shù)量上并不是要求非常高，關鍵是可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息，如學生會發(fā)現(xiàn)，我們班誰最高、誰最矮，誰比誰高多少，最后讓學生意識到數(shù)據(jù)就是信息，并讓學生把測量身高的數(shù)據(jù)保留下來，養(yǎng)成保存數(shù)據(jù)資料的習慣。 第二學段：對全班同學的身高的數(shù)據(jù)能進行整理和簡單分析。如在上面的例子中，已經(jīng)引導學生對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。在這個學段中，要求小學生結合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進行進一步的整理，然

11、后進行分析。整理的目的是為了便于分析。如條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢。學生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。顯然這個要求又有所提高。 當然，到了第三學段的要求將更高。不再贅述。第二條主線：掌握數(shù)據(jù)分析的方法（插入PPT18） 一般數(shù)據(jù)分析可以分為描述性統(tǒng)計分析和推斷性統(tǒng)計分析。小學數(shù)據(jù)分析的基本方法主要依據(jù)描述性的統(tǒng)計分析，使學生掌握收集數(shù)據(jù)的方法，整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法，讀統(tǒng)計圖的基本方法及平均

12、數(shù)的分析方法。1、收集數(shù)據(jù)的方法（插入PPT19） 在收集數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。課程標準指出，在小學第一、第二學段，學生收集的數(shù)據(jù)，基本上都是總體數(shù)據(jù)，其中收集數(shù)據(jù)的來源有兩種，一種是現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，另一種是需要自己收集的數(shù)據(jù)。在義務教育階段兩種數(shù)據(jù)來源都應讓學生有所體驗，特別是對自己收集的數(shù)據(jù)，常用的數(shù)據(jù)收集方法包括調(diào)查、試驗、測量、查閱資料等。在第二學段提出“會根據(jù)實際問題設計簡單的調(diào)查表，能選擇適當?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗、測量）收集數(shù)據(jù)”，“能從報紙、雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。學生可以用自己喜歡的方法收

13、集數(shù)據(jù)，在教學中教師應當引導學生用比較科學合理的方法收集有效的數(shù)據(jù)。在經(jīng)歷收集、整理數(shù)據(jù)的過程中，逐步使學生了解數(shù)據(jù)的重要性。2、整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法（插入PPT20） 當學生收集了一些數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來有些雜亂，這就需要來整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對看起來雜亂的數(shù)據(jù)要進行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運用統(tǒng)計圖表等直觀地表示出來，并加以適當?shù)姆治?，為人們作出決策和推斷提供依據(jù)。因此整理、描述、分析是數(shù)據(jù)分析的又一方法。（1）整理數(shù)椐。整理數(shù)椐是指，教師在教學中，首先對看起來有些雜亂的數(shù)據(jù)進行必要的歸納，然后鼓勵學生運用所學習的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)

14、，進行分類、排序。因為分類是對數(shù)據(jù)進行整理的重要的手段，也是整理數(shù)據(jù)的開始，在此基礎上，再用自己的方式（文字、圖面、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結果。（2）描述數(shù)據(jù)。呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結果是描述數(shù)據(jù)，這里需要指出的是，描述數(shù)據(jù)的內(nèi)容不是原來在第一學段要求學生學一些條形統(tǒng)計圖和平均數(shù)，即不學習正式的統(tǒng)計圖表或統(tǒng)計量?，F(xiàn)在課程標準中提出，學生在第一學段不用過早地去學習這些描述的方法，而是用自己比較正規(guī)的，用自己的方式來把這些數(shù)據(jù)統(tǒng)計表示出來，這并不代表對統(tǒng)計過程的要求有所降低，它主要是鼓勵學生先自己想辦法，去呈現(xiàn)自己整理數(shù)據(jù)的結果，而不是使學生較早地陷入到單純學習知識中。這也有助于學生建立進一步學習的經(jīng)驗和

15、興趣，并在此基礎上“通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，體會運用數(shù)據(jù)進行表達與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊涵的信息”。 （3）數(shù)據(jù)分析。在整理、描述數(shù)據(jù)的基礎上，在第二學段將對數(shù)據(jù)進行簡單的分析，即學習條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等常見的統(tǒng)計圖，并能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。如課程標準中例38的說明中指出：“條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢?！币虼?，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖對對數(shù)據(jù)進行分析。 3、讀統(tǒng)計圖的方法 由于學生在第二學段將學習常見的條形

16、統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和折線形統(tǒng)計圖，并且能夠用它們直觀有效地來表示出數(shù)據(jù)，即用圖形表示數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法，因此讀統(tǒng)計圖是數(shù)據(jù)分析的一個重要方法。Curcio (1987)把學生對數(shù)據(jù)的“讀取”分為三個水平：（插入PPT21）數(shù)據(jù)本身的讀取(reading the data)，即直接能夠從統(tǒng)計圖中獲取有關信息，包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。如讀一個條形統(tǒng)計圖，直接就能看到喜歡紅色的有多少人，喜歡藍色的有多少人。數(shù)據(jù)之間的讀取(reading between the data)，即不僅要關注一個一個的數(shù)據(jù)，還要關注數(shù)據(jù)之間的關系，包括插入和找到圖表中數(shù)據(jù)的關系。如做比

17、較（如最多、最少，比較好、最好、最高、最小等）和對數(shù)據(jù)進行操作（例如，加、減、乘、除）。超越數(shù)據(jù)本身的讀取(reading beyond the data)，包括通過數(shù)據(jù)來進行推斷、預測、推理，并回答具體的問題。 受上述框架的啟發(fā)，我們可以從以下幾個方面引導學生進行讀圖。（插入PPT22）第一，要讀統(tǒng)計圖表中能直接看見到或簡單推理能得到的信息。包括：單個數(shù)據(jù)的多少，數(shù)據(jù)的比較（多少、倍數(shù)、百分比等）。第二，要讀統(tǒng)計圖表中蘊含的信息。包括數(shù)據(jù)的整體變化（最大、最小、平均情況、變化情況、偏差、極端數(shù)據(jù)）?？梢怨膭顚W生看一看極端數(shù)值，去思考這個極端的數(shù)據(jù)可能說明了什么，因為極端數(shù)據(jù)往往可能會反映一種

18、很有意思的現(xiàn)象，或者有時候會提醒極端數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不是在收集數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了什么問題等。第三，對統(tǒng)計圖的解釋。數(shù)據(jù)是含著信息的，人們光看見了數(shù)據(jù)還不夠，還要嘗試去解釋它。包括統(tǒng)計圖表的名字和圖標（這個統(tǒng)計圖表是用來說明什么問題的），為什么數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)這種情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)能否回答開始提出的問題，能否解決其他問題，能否進行預測。注意的兩點：第一，預測需要基于數(shù)據(jù)。對于脫離數(shù)據(jù)進行“預測”的學生，要引導他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個預測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候為了更合理地預測，需要我們收集更多的數(shù)據(jù)。 第四，更進一步，就是評價意識。不僅要去閱讀圖表，還要對統(tǒng)計圖表中的指標、收集數(shù)據(jù)的方法、統(tǒng)計圖使用的是

19、否合理、得出的結論是否有道理等進行評價。 4、平均數(shù)的分析（插入PPT23） 第二學段還將學習一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量平均數(shù)。這也是課標修改后，小學階段學習的唯一的一個統(tǒng)計量。關于平均數(shù)的學習，課程標準強調(diào)要從三個角度理解平均數(shù)。（插入PPT24）一個是算法理解，就是計算某些數(shù)據(jù)的平均值。求所有數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)=平均數(shù)。二是概念理解，一般情況下是比最小的要大，比最大的要小，是介于兩個數(shù)值之間的數(shù)值。三是統(tǒng)計理解，即不僅要從概念上理解平均數(shù)，更重要的是理解平均數(shù)的價值，它在人們獲取信息，作出判斷決策中起著重要的作用。對于數(shù)據(jù)分析教學，概念理解和數(shù)據(jù)理解是非常重要的。有人做過調(diào)

20、查，學生學習了平均數(shù)并會進行計算，但遇到真正的數(shù)據(jù)需要分析時，他們卻很少想到用平均數(shù)。所以說，平均數(shù)教學關鍵之一是培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念，要讓學生深刻理解平均數(shù)的這個統(tǒng)計意義， 使他們想到用平均數(shù)，愿意用平均數(shù)來刻面數(shù)據(jù)。要做到這一點，在教學中就要適當?shù)卦O計一些現(xiàn)實實踐活動案例，將課程內(nèi)外結合起來。關于平均數(shù)教學設計我們來看一段視頻。（插入視頻） 下面是的體會平均數(shù)的意義和價值的案例，學生在學習了平均數(shù)后，師生共同討論了以下的三條信息。 1.利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。（插入PPT25） 師：我這也有條信息，我們一起看看。 (l)出示：節(jié)約用水圖。 師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學生回

21、答評價學生的節(jié)能意識）那我們來看看我們國家酌淡水情況。 (2)出示：我國淡水資源總量為28 000億米3，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第4位。 師：找一名同學讀一讀?？吹竭@條信息你有什么感覺？ （學生可能產(chǎn)生疑問：水并不少，世界100多個國家，我們排第4名。） (3)我們再來看看下面這條信息。出示：我國人均水資源只有2 300米3，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。 師：請大家靜靜地讀一讀這條信息，你又發(fā)現(xiàn)了什么？ （這里讓學生通過名次下降再次提出對平均數(shù)的理解?！柏毞Α边@個詞是什么意思？有那么多水，怎么用“貧乏”來形容我們國家呢？） 總結：言之有理，看來同學們對

22、平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對于我們國家來說，就更應該去節(jié)約用水了。 2出示：兒童乘車免票線“長個”了的標題。（插入PPT26） 師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？ 沒錯，就是這條線，我們來看看（圖略）。市發(fā)改委與相關部門研究決定，將北京市六歲以下兒童l.1米乘車免票線提高到了1.2米。 師：為什么要提高？ （學生自然會想到：孩子們都長高了。） 師：怎么去確定這個標準的呢？ （學生可能會回答：可以調(diào)查一下。） 師：調(diào)查誰？如果數(shù)據(jù)來了，有高的、有矮的，如何處理？ （這里要明確調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學生結合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查

23、完了可以計算平均數(shù)。） 師：總結：你們真了不起，既能準確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計，目前我市六歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市六歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度?？磥恚@平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。 3那你們能利用平均數(shù)幫我判斷一件事情嗎？（插入PPT27 出示：據(jù)統(tǒng)計，周一至周五晚高峰時，平均每小時需要通過1號橋的車輛為1 756輛，需要通過2號橋的車輛965輛（兩個橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多。你

24、們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？ （學生建議教師走2號橋，但偶爾也不一定快。） 總結：同學們理解得很好，平均數(shù)可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。 由于理解平均數(shù)有三個角度：算法理解、概念理解、數(shù)據(jù)理解。因此，對于數(shù)據(jù)分析教學，概念理解和數(shù)據(jù)理解是非常重要的。在上面的案例中，第一個信息，首先提出我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學生思考，然后出示我國的淡水資源情況，使學生體會我國的淡水總量很多，世界排第四位，最后出示我國人均水資源的情況。使學生體會到在水資源這個問題上，我們光看總量不能說明問題，還要看人均水資源，從而體會了平均數(shù)的價值。第二個信息，兒童乘車免票

25、線問題。不但使學生能再次體會平均數(shù)的價值，而且還滲透了抽樣的想法。第三個信息，走哪條路，學生根據(jù)平均需要通過的車輛，幫助老師選擇路線并且進行分析。在這一過程中，學生可以體會到，一方面平均數(shù)可以用來作重要依據(jù)；另一方面它反映的只是一般情況并不排除某種特殊情況，從而既體會平均數(shù)的意義，又體會了數(shù)據(jù)的隨機性。通過這三個案例不僅說明平均數(shù)的使用價值，也說明只有在現(xiàn)實生活中才能有效培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析的意識。第3條 主線：體會數(shù)據(jù)的隨機性 課程標準將數(shù)據(jù)隨機性作為數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵之一，提出數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層含義（插入PPT28）：一是對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；二是只要有足夠的數(shù)據(jù)就

26、可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如課程標準中的例子（例40）：袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如紅球多還是白球多紅球和白球的比例等。從而讓學生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息。 需要我們注意的是，課程標準對小學和初中教學隨機性的要求是不同的。如對上面提到的摸球游戲，第二學段要求“通過摸球，學生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數(shù)據(jù)的隨機性。進一步通過統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量，可以估計袋中是白球多還是紅球多。在不

27、確定的基礎上，體會規(guī)律性?！倍搅顺踔羞€要估計不同顏色球的比例等。 第四條主線：分析隨機現(xiàn)象及簡單隨機事件發(fā)生的概率（1） 隨機現(xiàn)象的特點。（插入PPT29）在義務教育階段，所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單的隨機事件：所有可能發(fā)生的結果都是有限的，每個結果發(fā)生的可能性也是相同的。（2） 對于隨機的學習，（插入PPT30）課程標準中也提出運用數(shù)據(jù)分析來體會隨機性。而且從第二學段開始課程標準才安排了隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性的學習，并且要求學生是“在具體情境中，感受簡單隨機現(xiàn)象的實例”，感受其在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結果不確定，以至于在試驗之前無法預料哪一個結果會出現(xiàn)。在此基礎上“能列出簡單的隨機

28、現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結果”，“能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大概作出定性描述”。這里所涉及的隨機現(xiàn)象顯然具有如下特點。一是問題情境比較簡單（類似于標準案例41）；二是學生能夠直接列出所有可能發(fā)生的結果，并且感受到每個結果發(fā)生的可能性是一樣大的；三是學生能夠通過數(shù)據(jù)分析描述事件發(fā)生的概率。 （3） 分冊教材分析，探究教學方法 1、統(tǒng)計與概率的教學原則（插入PPT31-32）為了實現(xiàn)“統(tǒng)計與概率”的教學目標，在教學中應注意遵循以下原則：第一，應把統(tǒng)計與概率思想作為義務教育數(shù)學課程的主線之一，盡早把隨機的思想滲透到教學中。當然統(tǒng)計與概率的教學必須符合學生的年齡特征，采取循序漸進的方式。透過現(xiàn)象

29、看本質(zhì)，參透辯證唯物主義觀。事情是發(fā)展的，發(fā)展是有規(guī)律的。一般與特殊的關系等等。第二，應鼓勵學生經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)的全過程，體會統(tǒng)計與概率的基本思想和方法。這是讓學生接受統(tǒng)計特有觀念最有效的方法。第三，應通過選擇現(xiàn)實情景中的數(shù)據(jù)，使學生理解概念、原理的實際意義；著重于對現(xiàn)實問題的探索，解決一些實際問題，使學生認識到統(tǒng)計與概率在日常生活及各學科領域中的廣泛應用。第四，教學中，應強調(diào)運用計算器來處理復雜的數(shù)據(jù)，以使學生有更多的精力來處理更為現(xiàn)實的問題。對于有條件的地方，要充分開發(fā)和利用計算機的作用，發(fā)揮其在處理數(shù)據(jù)和進行概率模擬實驗中的作用。第五，統(tǒng)計與概率的內(nèi)容和其他數(shù)學領域的內(nèi)容有著緊密

30、的聯(lián)系。這部分課程的教學，應為發(fā)展和運用比、分數(shù)、百分數(shù)、度量、圖象等概念提供活動背景，為培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題提供機會。同時，要引導學生注意概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系。統(tǒng)計過程不只是純數(shù)字的運算，學生應初步體會其中所蘊含的隨機性；而很多事件發(fā)生概率的獲得是建立在大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計的基礎上的。2、分冊例題分析（見資料）（插入-70）2 問題探討： 1、用隨機的觀點看隨機現(xiàn)象的實驗設計插入71 在統(tǒng)計與概率教學中，鼓勵學生動手操作做實驗已經(jīng)得到了廣大教師的共識，在不少的課堂中可以看到教師們設計了多種實驗供學生操作。在這里，我們要明確實驗的目的，不是通過實驗去驗證概率是多少，而是通過實驗從數(shù)據(jù)中獲取信息

31、，對總體做一些推斷。下面我們運用“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法來看“摸球?qū)嶒灐比绾卧谡n堂中設計合理的實驗落實“體會數(shù)據(jù)隨機”的目的呢？一個好的切入點是對目前課堂教學中的實驗加以分析，看看哪些實驗的設計是合理的，哪些還需要進一步的思考和改進。下面是筆者收集到的有關案例，并且加以了分析，以求能給教師以啟發(fā)。1第一類：“驗證”類下面是一個五年級的課堂教學片段：老師拿出一個盒子，盒子里有9個白球、1個黃球。如果從中任意摸出1個球，可能是什么顏色的球?摸到白球的可能性有多大，黃球呢？ (學生略做思考后交流。) 生1：可能摸到白球，也可能是黃球。 生2：摸到白球的可能性是9/10，因為有10個球，其中9個是白球。

32、 （大家都表示同意）師:好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結果，驗證一下大家的想法。本活動的目的是驗證摸到白球的概率是否為9/10，如前所述是不提倡的。因為學生完全可以通過分析推理得到摸到白球的概率，他們產(chǎn)生不了做實驗的需求。如果做了實驗，摸到白球的頻率往往不是9/10，學生反而產(chǎn)生困惑，當然也體會不到數(shù)據(jù)的作用了。2第二類：“體會隨機”類 看下面的一個二年級的課堂教學片段：組織小組活動：盒子里有3個黃球、3個白球。每次摸出1個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球?每次你都猜對了么? 活動結束時，老師詢問:有沒有每次都猜對的同學?(全班只有2人舉手。) 師:為什么我們那么多的同學都沒有猜對呢

33、? (此時，兩個猜對的同學急于向大家介紹方法。) 生1:黃球和白球摸在手里的感覺不一樣! 師:(饒有興趣地)真的嗎?讓我們見識一下! 生1:(摸出一球，沒看前猜測)黃色! (拿出后是白色，生1低頭坐了下去。) 師:怎么不試了? 生1：沒有信心了。 師:怎么就沒有信心了? 生1:摸在手里分辨不出來. 生2:我發(fā)現(xiàn)了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯出現(xiàn)的。 師:你剛才就是這樣猜的，結果都對了嗎? 生2連連點頭。 師(半信半疑地)：還有這個規(guī)律?摸1個! (生2摸出1個白球，放回。) 生2:第二次一定是黃球。(第二次生2果真摸出一個黃球。)師：看來，下次生2:第三次該是白球了!(

34、第三次生2摸出個黃球。)師:這個規(guī)律還成立么?學生們直搖頭。師：通過剛才的摸球游戲，你發(fā)現(xiàn)了什么?生:盒子里又有黃球又有白球，摸出一個球，可能是黃球，也可能是白球.這個案例乍一看和上面的案例一樣，都是摸球，但仔細分析目的是不一樣的。這個實驗的目的是使學生體會不確定性，即事先無法確定實驗的結果。其實，學生對于不確定性的認識并不是一帆風順的，學生們總是希望找到“確定”的結論。有的學生認為可以憑手感判斷段結果，有的學生把球放在固定的地方從而“破壞”隨機，有趣的是還有的學生通過幾個數(shù)據(jù)的黃白相間規(guī)律就去推斷整體是這樣的。學生出現(xiàn)這些想法是正常，逐漸消除學生存在的誤解正是教學的目標之一。而最好的辦法就是

35、讓學生親自實驗，案例中教師正是運用了這一策略。3第三類：“推斷”類上面已經(jīng)舉過這樣的例子，對于這樣的活動是在課程標準修訂中大力提倡的，即通過數(shù)據(jù)來進行推斷。這里不妨舉一個自己所做的學生調(diào)研的例子。在課程標準修訂剛剛提出“體會數(shù)據(jù)隨機”的想法后，本人在東北師范大學附屬實驗小學3，4，5，6年級各隨機抽取了1個學習小組，進行了調(diào)研。教師在袋中事先放好5個球，4個黃球和1個白球。這些球除顏色外都相同，教師不告訴學生袋中球的情況。然后，以小組為單位，鼓勵學生共同解決如下的問題：（1）如何在不打開袋子的前提下，估計袋子里是黃球多還是白球多。（2）如果可以通過摸球估計袋中球的情況，你們覺得需要摸幾次？（3

36、）多次有放回的摸球，每次統(tǒng)計此時摸出各種顏色球的數(shù)量，這時你們估計袋中是白球多還是黃球多。討論后，教師打開袋子，讓學生看看袋中實際的狀況。 限于篇幅，這里只概括描述學生回答問題的結果和一些片段。對于第（1）個問題，所有小組都可以通過討論想到摸球的辦法，通過摸出的球的情況來估計袋中是黃球多還是白球多。難得可貴的是，當教師在摸完后追問學生“本來可以打開袋子直接看看就可以知道哪個顏色的球多，為什么還要討論通過摸球估計袋中是黃球多還是白球多呢”，一個5年級的學生回答道：“有時侯球太多看不清楚或者無法數(shù)出來袋中到底是幾個球時，這就需要摸球了。”在回答第（2）個問題時，出現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，雖然所有的學生

37、都認為不能摸一次就進行估計，但隨著年級的升高，并沒有出現(xiàn)覺得應該摸得數(shù)量多一些的情況。在4個學習小組中，3年級學生認為需要摸15次；4年級學生認為需要摸5次；5年級學生認為需要摸12次；而6年級學生認為摸4次就可以了。在回答第（3）個問題時，大部分小組都能夠根據(jù)數(shù)據(jù)做出合理的推斷，并且能夠說明自己的理由。比如，3年級學生當15次摸球的結果是摸出10個黃球和5個白球時，四個人一致推斷袋中黃球多。一個同學表達了理由：“因為數(shù)量多摸出的可能性就大，現(xiàn)在是黃球摸出的多，就可以判斷是黃球多”。顯然學生根據(jù)數(shù)據(jù)進行了合理的推斷。接著教師詢問：“那么是否有可能袋中白球多呢”，3個學生回答不可能，有一個學生給

38、出了很好的補充：“我補充一下，即使是白球多，可能性也很小”，大家都表示了認同。有趣的現(xiàn)象出現(xiàn)在四年級，他們摸的次數(shù)只有5次，摸出了“3個白球和2個黃球（實際摸球情況是白，黃，黃，白，白）”的“相反”情況，當教師詢問他們此時的估計時，他們產(chǎn)生了分歧：生1：白球多。生2：不一定。（生3附和）生4：黃球多。生1：我認為就是白球多，你看看那些摸出來的球呀。（教師希望能引起大家對他的回答的注意，但沒有起到作用）生4：我根據(jù)奇偶性來判斷，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。假設盒子里的球是奇數(shù)，拿出來的是奇數(shù)，剩下的一定是偶數(shù)。摸出來又放回去了，說明了盒子里的球還是奇數(shù)。（學生的回答似乎并沒有指向要思考的問題，并且思考過程

39、也出現(xiàn)了局部“混亂”。老師提醒他現(xiàn)在討論的問題）生4：黃球和白球一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)就應該相差1（錯誤的認識，所以也可能是黃球多。生3：我認為一樣多。（教師提示此時摸得次數(shù)少，是否可以再摸幾次，但沒有引起學生的注意。）由上面的回答不難看出，在測試的4個學習小組中，學生對于“隨機”的經(jīng)驗并沒有隨著年級的增長而增長；并且結合問題（2）的回答，學生對于實驗次數(shù)增加會提高推斷的可靠性的認識的經(jīng)驗是比較缺乏的。雖然以上只是一個小實驗，樣本也很少，但可以初步看出，學生已經(jīng)有了通過摸球?qū)嶒炦M行推斷的經(jīng)驗，并且能夠根據(jù)數(shù)據(jù)進行合理的推斷，由此可見標準修訂中的想法是有可能在小學中實現(xiàn)的，當然這還需要

40、進一步的研究。同時，學生在此過程中到底能體會到什么程度，他們的困難是什么，還有哪些好的學習素材，都需要大家進一步的思考與實踐。4第四類：“運用頻率估計概率”類有的教師在課堂中創(chuàng)設了如下的情境執(zhí)教者 北京第二實驗小學特級教師 華應龍：父親和兒子決定誰去看奧運會男籃決賽。但是，與過去教學不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。師：舉世矚目的北京奧運會圓滿地、無與倫比地結束了。去過北京，現(xiàn)場看奧運會的請舉手。沒有人，的確，就是北京當?shù)氐娜艘操I不到奧運會的門票。我有一位朋友，知道我當年是學?；@球隊的隊長，就專門幫我找了一張男子籃球決賽的門票。（出示籃球票）只有一張。我兒子也是個籃球迷。孔子

41、說：“己所不欲，勿施于人”。怎么辦呢？飯桌上，我和兒子商量。我兒子看到桌子上有一個啤酒瓶蓋，就說：“爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。”我說：“兒子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶蓋正、反面圖片，并標注“正兒子、反爸爸”）你們想一想，（板書：問題）這個辦法好不好？認為好的舉手。（學生紛紛舉手表示認可。）師：為什么好？誰能說一下，你是怎么想的？生1：我覺得是靠命運決定的，所以公平。生2：我認為是公平的，因為兒子的機遇是二分之一，爸爸的機遇也是二分之一。師：二分之一，就是這個瓶蓋拋起來的時候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有兩種可能，（板書：可能性）

42、并且拋一次的話，一定會有一面朝上。所以說這是公平的。有沒有不同的想法？生3：我認為在現(xiàn)實生活中會有所爭議，因為啤酒瓶蓋打開過，會有一定的折痕，會影響最終的公平性。師：你想的很好，不過我們選的啤酒瓶蓋如果就是平的，好像就沒問題了。用拋啤酒瓶蓋的辦法，剛才大家都說好了?，F(xiàn)在在他的啟發(fā)下，有沒有人認為不好？生4：我認為瓶子蓋的反面那一圈是折起來的，這一面的重量會比正面的重量大，所以爸爸勝的可能性比較大。師：能用“可能性”這個詞很好。同意這個觀點的人請舉手。部分同學同意。師：小結，看來現(xiàn)在有兩種意見了。生3一直堅持舉手，最終獲得發(fā)言機會：我認為，瓶蓋上的鋸齒也會影響比賽的結果。師：經(jīng)過剛才的討論，我們

43、發(fā)現(xiàn)問題（指板書：問題），用拋啤酒瓶蓋的辦法來決定誰去看比賽，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么辦呢？生4：做個實驗唄?？匆幌碌降子袥]有問題。師：非常好！做個實驗來看一看到底公平不公平。（板書：實驗）有這樣的想法非常好。實踐是檢驗真理的唯一標準。以上案例曾經(jīng)在小學數(shù)學教師雜志2009年1-2期合刊上刊登過，在這里為什么還選擇了這個案例呢，一是因為自己收集到小學教學中這方面的案例比較少，而這個案例確實是親自看過的，有親身的感受；二是因為運用頻率估計概率，在課程標準小學階段沒有明確要求，主要是沒有足夠的研究“證據(jù)”表明小學生可以接受，所以設計一個既符合學生認知特點，又能激起學生興趣的情境確實是不容

44、易的，而此例無疑較好地體現(xiàn)了這點。在這個活動里學生做的是“拋瓶蓋”的實驗。那么，“拋瓶蓋”和“拋硬幣”有什么不同呢。我們知道，如果運用的是硬幣，由于擲一枚硬幣，硬幣落下時有兩種可能：正面朝上和反面朝上，并且兩種結果是等可能的，所以這是一個古典概率的問題。古典概率的問題，我們可以有公式計算出某種結果發(fā)生的概率，雖然小學不正式學這個公式，但通過經(jīng)驗并加以分析，學生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，此時再讓學生做實驗，學生不僅產(chǎn)生不了愿望，并且往往會由于數(shù)據(jù)（頻率）與概率的不一致而產(chǎn)生困惑。瓶蓋雖然落下時也有兩種可能，但二者不是等可能的，不符合古典概率的要求，這時我們可以通過做實驗，運用頻率去估計概率的大小，從而對正面朝上和反面朝上的可能性進行比較，這不僅僅使實驗變得很有必要，并且能夠幫助學生澄清一些誤解。面對著兒子提出的決定方法是否公平的問題，開始時大多數(shù)學生都表示了認可。要消除學生的誤解，自然而言需要實驗幫忙，于是做實驗成了“水到渠成”。學生親自經(jīng)歷了實驗