用向量知識(shí)解決立體幾何中典型問題

1、用向量知識(shí)解決立體幾何中典型問題空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實(shí)用性是其它方法無法比擬的，因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決幾何問題的意識(shí)，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力，掌握向量的基本知識(shí)和技能，充分利用向量知識(shí)解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題，下面就談一談向量知識(shí)在立體幾何中運(yùn)用。一、 利用向量知識(shí)求點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面，線到線，線到面，面到面的距離例1：設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離 解：設(shè)平面的法向量，所以，所以設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)評(píng)：（1）求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換

2、外還可運(yùn)用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)構(gòu)成的向量的坐標(biāo)，那么到平面的距離 （2）求兩點(diǎn)之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量的模。 （3）求點(diǎn)到直線的距離，可在上取一點(diǎn)，令或的最小值求得參數(shù)，以確定的位置，則為點(diǎn)到直線的距離。例2：如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直。點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若。A(O)BDCxEFNMyz（）求的長；（）當(dāng)為何值時(shí)，的長最??；（）當(dāng)長最小時(shí)，求面與面所成的二面角的大小解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系(2)由得（3）又所以可求得平面與平面的法向量分別為，所以，所以zABCDMNxyzzzz例3：正方體的棱長為1，求異

3、面直線與間的距離解：如圖建立坐標(biāo)系，則，設(shè)是直線與的公垂線，且則，點(diǎn)評(píng)：求兩條異面直線之間距離，可設(shè)與公垂線段平行的向量，分別是上的任意兩點(diǎn)，則之間距離例4：如圖，在長方體中，求平面的距離。解：，同理又，建立直角坐標(biāo)系，ABCDxyz,設(shè)為平面的法向量，則由，不妨設(shè)設(shè)兩平行平面間的距離為則等于到平面的距離點(diǎn)評(píng)：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點(diǎn)到平面的距離，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影。二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。例5：在棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，ABCDEFGxyz（1）求直線所成角；（2）求直線與平面所成的角，（3）

4、求平面與平面所成的角解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則，故所成的角為（2）所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標(biāo)系，則， 故與平面所成角為由所以平面的法向量為下面求平面的法向量，設(shè)，由，所以平面與平面所成的角點(diǎn)評(píng)：（1）設(shè)是兩條異面直線，是上的任意兩點(diǎn)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則所成的角為 （2）設(shè)是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。（3）設(shè)是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例6：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn). （）求證：EF平面PAB；（）

5、設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小. （）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=PD=1，AB=（），則E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), .得，. 由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB. （）解：由，得，即. ABCDEFxyzP得，. 有，. 設(shè)平面AEF的法向量為，由，解得. 于是. 設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為. 則. 得. 所以，AC與平面AEF所成角的大小為. 點(diǎn)評(píng)：設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。例7：如圖，求二面角的大小。ABCPDExyz解：建立如圖所

6、示空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連可證，作于，則向量的夾角的大小為二面角的大小。，為的中點(diǎn)，在中，二面角的大小為點(diǎn)評(píng)：如果分別是二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條直線，且，則二面角的大小為例8：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ABC = 90，SA面ABCD，SA = AB = BC = 1，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則SBACDzxy，所以是平面的一個(gè)法向量。設(shè)平面的一個(gè)法向量由，令，平面與平面所成的二面角的正切值為點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當(dāng)法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等

7、于法向量的夾角的大小。（2）當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量的夾角的補(bǔ)角。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問題。例9：如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， （I）求證：ACBC1； （II）求證：AC 1/平面CDB1；解：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（

8、3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1. DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行線面平行線線平行；例10如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng). （1）證明：D1EA1D； （2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； （3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D

9、1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為.ADBCDDD四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問題。例11如圖，在直三棱柱中，（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得（3）在上是否存在點(diǎn)使得CABxDyZ解：直三棱柱，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，（1），（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，

10、則其中，則，于是由于，且所以得，所以在上存在點(diǎn)使得，且這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合。（3）假設(shè)在上存在點(diǎn)使得，則其中則，又由于，所以存在實(shí)數(shù)成立，所以，所以在上存在點(diǎn)使得，且使的中點(diǎn)。總結(jié)：向量有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探索性等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)。五、專題突破：1、如圖：已知二面角的大小為，點(diǎn)于點(diǎn)，且，求 （1）直線所成角的大小，（2）直線的距離。ACBD2、如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn).（）求證：EFCD；（）

11、在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論；（）求DB與平面DEF所成角的大小.ABCA1B1C1M3、如圖, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，CB=1,CA=, AA1=,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn), （1）求證: AM平面；（2）求二面角BAMC的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面ABM的距離4、如圖，是正四棱柱，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，E是棱的中點(diǎn)。（）求證：/平面；（）求二面角的大?。ǎ┰趥?cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面？證明你的結(jié)論。5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）證明：AB1BC1； （II）求點(diǎn)B到平面AB1C1的距

12、離. （III）求二面角C1AB1A1的大小QPADCB圖46、( 2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.()證明PQ平面ABCD; ()求異面直線AQ與PB所成的角;()求點(diǎn)P到平面QAD的距離.7、（2006年全國卷II）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)（）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；（）設(shè)AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小ABCDEA1B1C1參考答案：1解：設(shè)，（1），所成的角為（2）設(shè)與都垂直的非零向量由得，令，設(shè)的距離為，2、解：以DA、DC、DP所在直

13、線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、（）（）（）設(shè)平面DEF的法向量為3、證明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，易知面ACC1A1面ABC，ACB=90，BC面ACC1A1，面ACC1A1，BCAM，且， AM平面解：（2）如圖以C為原點(diǎn),CA，CB， CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，故，所以設(shè)向量為平面AMB的法向量，則，則 即 ，令x=1，的平面AMB的一個(gè)法向量為，顯然向量是平面AMC的一個(gè)法向量， 易知，與所夾的角等于二面角BAMC的大小，故所求

14、二面角的大小為45（3）向量在法向量上的投影的長即為所求距離， 點(diǎn)C到平面ABM的距離為4、（）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則又,連接,與相交于，連接易知（0，1，1.5）又平面，平面 平面（）解：過點(diǎn)做于，連接，在正四棱柱中，平面，是二面角的平面角根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得二面角的大小為（）解：在側(cè)棱上不存在點(diǎn)，使得平面證明如下：假設(shè)平面，則必有設(shè)，其中，則，這顯然與矛盾假設(shè)平面不成立，即在側(cè)棱 上不存在點(diǎn)，使得平面5、（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因?yàn)?，所以AB1BC1. （2）設(shè)是平面AB1C1的法

15、向量，由得所以令，則，因?yàn)?，所以，B到平面AB1C1的距離為.（3）設(shè)是平面A1AB1的法向量.由 令=1，則因?yàn)樗裕娼荂1AB1A1的大小為606、（）連結(jié)AC、BD，設(shè).由PABCD與QABCD都是正四棱錐，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ平面ABCD.（）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以ACBD. 由（），QO平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.QBCPADzyxO所以于是.從而異面直線AQ與PB所成的角是.()由（），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，0），設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由得.取x=1，得.所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.ABCDEA1B1C1Ozxy7、（）如圖，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)則C(a，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c) （0，b，0），(0，0，2c)0，EDBB1又