新題庫(kù)--第二章 第04節(jié)： 二次函數(shù)與二次方程,二次不等式(2)

1、二次函數(shù)與二次方程，二次不等式題型1 解不等式的綜合問題1已知集合a=x|1|x-2|2, b=x|(x-a)(x-1)0, a1，且ab，試確定a的取值范圍解： a=x|1|x-2|2=x|0x1，或3x1時(shí)，b=x|1x3.（2）當(dāng)a1時(shí)，b=x|ax1.ab, a3或am(x2+x+1)對(duì)任意xr恒成立，求a與m之間的關(guān)系解：原不等式可以整理為(a-m+1)x2+(a-m)x+(a-m)0，對(duì)于xr恒成立當(dāng)a-m+1=0時(shí)，原不等式化為-x-10不恒成立，應(yīng)舍去當(dāng)a-m+10時(shí)，必須有(a-m)3(a-m+1)+10. am.3關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式(a-1)2與x2-3(a+1)+2(3a

2、+1)0（其中ar）的解集依次為a與b求使ab的a的取值范圍解：由(a-1)2，得-(a-1)2x-(a+1)2(a-1)2.解得2axa2+1.a=x|2axa2+1, ar.由x2-3(a+1)x+2(3a+1)0，得(x-2)x-(3a+1)0.當(dāng)3a+12，即a時(shí)，得b=x|2x3a+1； 當(dāng)3a+12，即a時(shí)，得b=x|3a+1x2.（1）當(dāng)a時(shí)，由ab，得解得1a3.（2）當(dāng)a1，解關(guān)于x的不等式；。解：（1）將，得。（2）不等式即為，即當(dāng)當(dāng).5已知不等式ax2+bx+c0的解為0x0的解集。解：因不等式ax2+bx+c0的解為0x，所以a0, =0，所以0, 0，又a0，所以c0

3、.由韋達(dá)定理x1+x2=；x1x2=. 方程cx2-bx+a=0的兩根為。由0，。不等式的解集為x|-x0； （2）ax2-(a+1)x+10。當(dāng)a2-a0，即a1或aa2或xa.；當(dāng)a2-a0，即0a1時(shí)，原不等式的解為xa；當(dāng)a2-a=0，即a=0或a=1時(shí)，原不等式的解為xa.（2）原不等式化為(ax-1)(x-1)1; 當(dāng)0a1時(shí)，其解為1x1時(shí)，其解為x1； 當(dāng)a=1時(shí)，無解；當(dāng)a0，其解為x1.7解不等式56x2+ax-a20時(shí)，原不等式變形為56x20原不等式的解集是；當(dāng)a-1時(shí)，=12m-4.故有：若3時(shí)，恒有(m+1)x2-4x+10，此時(shí)不等式無解；若=0，即m=3時(shí)，原不

4、等式變形為(2x-1)20，其解為：x=；若0，即-1m3時(shí)，不等式有解為：.（3）當(dāng)m0恒成立，不等式有解：x，或x。綜上所得，原不等式的解集如下：m=-1時(shí)，x|x；m-1時(shí)，x|x或x；-1m3時(shí)，。9解關(guān)于x的不等式組：解：原不等式組令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=, a=-, a=1, a=0。a的四個(gè)取值將數(shù)軸分成五個(gè)區(qū)間，分別討論解集如下：（1）當(dāng)a-時(shí)，因a-1a+1-a-a+1，所以解集為；（2）當(dāng)-a0時(shí)，因a-1-aa+1-a+1，所以解集為x|-axa+1；（3）當(dāng)0a時(shí)，因a-1-a-a+1a+1，所以解集為x|-ax-a

5、+1；（4）當(dāng)a1時(shí)，因-aa-1-a+1a+1，所以解集為x|a-1x1時(shí)，因-a-a+1a-1a+1，所以解集為。10解關(guān)于x的不等式：0（ar）解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2當(dāng)a=a2時(shí)，a=0或a=1，x； 當(dāng)aa2時(shí)，a1或a0，axa2，當(dāng)aa2時(shí)，0a1，a2xa，當(dāng)a0時(shí)axa2；當(dāng)0a1時(shí)，a2xa；當(dāng)a1時(shí)，axa2；當(dāng)a=0或a=1時(shí)，x。11. 解關(guān)于x的不等式（其中）.解：，（由知），又由知：當(dāng)時(shí)，則集合當(dāng)時(shí)，原不等式解集a為空集；當(dāng)時(shí)，則集合12設(shè)a0。解：原不等式可化為：。（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式可化為：0，即0, -2x0。（2）當(dāng)0a1時(shí)，化

6、為：，此時(shí)-2-a, -2x。（3）當(dāng)a0時(shí)，化為：。當(dāng)a-時(shí)，有-2-a, x-2或x-a。當(dāng)a=-時(shí)，化為：，x且x-2。當(dāng)-a0時(shí)，-2-a，解得：x或-2x-a。綜上所述，原不等式的解集：a-不等式的解集x|x-2或x-a；a=-，不等式的解集x|x且x-2；-a0時(shí)，不等式的解集x|x或-2x-a ；a=0時(shí)，不等式的解集x|-2x0；0a1時(shí)，不等式的解集x|-2x.13解關(guān)于的不等式解：當(dāng)=0時(shí)，原不等式等價(jià)于解得當(dāng)時(shí)，原不等式化為：當(dāng) 當(dāng).當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于則當(dāng)當(dāng)時(shí)，。當(dāng)14當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.解：當(dāng)當(dāng)，不成立. 綜上，為所求。15已知兩個(gè)非零向量為，解關(guān)于的

7、不等式：。（其中）解：，由得。（1）當(dāng)時(shí)，原不等式，；（2）當(dāng)時(shí)，由于，而，于是有： 當(dāng)，即時(shí)，原不等式，； 當(dāng)，即時(shí)，原不等式，或。綜上所得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為。16解關(guān)于x的不等式解：。 當(dāng)0a1時(shí)：。當(dāng)a=3時(shí)，x1，解關(guān)于x的不等式；。解：（1）將得。（2）不等式即為：，即當(dāng)；當(dāng)；.22. 設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù). （1）解不等式；（2）試推斷函數(shù)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，說明理由. 解：（1）由得， ，不等式的解集是 （2）內(nèi)在增函數(shù)，內(nèi)是減函數(shù).23已知函數(shù)y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定義域?yàn)閞，求實(shí)

8、數(shù)a的取值范圍。解：由對(duì)數(shù)的定義及題設(shè)條件(a2-1)x2+(a+1)x+10 ，對(duì)xr恒成立。當(dāng)a2-10時(shí)，應(yīng)有 解之a(chǎn)。當(dāng)a2-1=0時(shí)，若a=1，不等式不是絕對(duì)不等式；若a=-1，則不等式為10，為絕對(duì)不等式。符合題意的a的集合為(-, -1)(, +)。24. 若函數(shù)y=的定義域?yàn)閞，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：依題意，當(dāng)xr時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立。（1）當(dāng)a2-1=0，即當(dāng)時(shí)有a=1，此時(shí)有(a2-1)x2+(a-1)x+=1 可知當(dāng)xr時(shí)，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立，a=-1（2）當(dāng)a2-10，即當(dāng)時(shí)，有解得10,當(dāng)f(3)=9-3(m+1)+4=

9、0時(shí)，得m=,而當(dāng)m=時(shí)，方程除了有根3外，還有一個(gè)根0，3，m=不合要求（3）只需f(3)=9-3(m+1)+4.綜合（1）、（2）、（3），可得m的取值范圍是m=3，或m.26已知集合p=, 2，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域?yàn)閝。（1）若pq，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在，2內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）pq，則x，2，不等式ax2-2x+20有解，即a=-2+2。令t=，2，-2t2+2t=-2(t-)2+, t=2時(shí)，g(t)min=-4。a-4。（2）由題意知，ax2-2x+2=4。由，2上有解，則a=，令=t，得h(t)

10、=2(t+)2-，且t，2, h(t), 12, a, 12.27已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的左支交于a、b兩點(diǎn)，若另一條直線經(jīng)過點(diǎn)p(-2, 0)及線段ab的中點(diǎn)q，求直線在y軸上的截距b的取值范圍。解：由有兩組解，且解中x0，消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有兩個(gè)不同的負(fù)根，其充要條件是：。即k(-, -1)為b=f(k)的定義域。又過點(diǎn)p(-2, 0)，ab中點(diǎn)q，在y軸上的截距b。得p(-2, 0)、q()、m(0, b)三點(diǎn)共線b=f(k)=, k(-, -1)，即f(k)=(-, -2)(2+, +)。28方程x2+ax+a=0在(0, 1上有解，求a的

11、取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2+ax+a，（1）若f(x)=0在(0, 1上有兩解，則有此不等式無解。（2）若f(x)=0在(0, 1上有且僅有一解，則有解之得-a0。綜上所述得a的取值范圍為-，0。方法二：x(0, 1, x=-1，原方程可變?yōu)閍=。0x1, , 即0，a-。29設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0x1x2 (1)當(dāng)x0，x1時(shí)，證明xf(x)x1；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明 x0 解 (1)令f(x)=f(x)x，x1，x2是方程f(x)x=0的根，f(x)=a(xx1)(xx2) 當(dāng)x(0，x1)時(shí)

12、，x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得f(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)。x1f(x)=x1x+f(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)。0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20，x1f(x)0，由此得f(x)x。 (2)依題意 x0=，x1、x2是方程f(x)x=0的兩根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，x1+x2=，x0=，ax21，x0 30設(shè)不等式x22ax+a+20的解集為，若1，4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解 設(shè)f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)。(1

13、)當(dāng)0時(shí)，1a2，=1，4。(2)當(dāng)=0時(shí)，a=1或2 當(dāng)a=1時(shí)， =11，4；當(dāng)a=2時(shí)，=21，4 (3)當(dāng)0時(shí)，a1或a2 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么=x1，x2，1，41x1x24，即，解得 2a。 1，4時(shí)，a的取值范圍是(1，)。31 已知對(duì)于自然數(shù)a，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a5證：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f(x)=a(x-x)(x-x)，an依題意知：0x1，0x1，且xx有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)為正整數(shù)

14、故f(0)1，f(1)1從而f(0)f(1)1 另一方面，且由xx知等號(hào)不同時(shí)成立，由、得，a16又an，所以a532已知集合a=x|x2-5x+40與b=x|x2-2ax+a+20, ar滿足ba，求a的取值范圍解：根據(jù)題意有a=x|x2-5x+40=x|1x4.記f(x)=x2-2ax+a+2，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若b=，顯然有ba，此時(shí)拋物線與x軸無交點(diǎn)故=4a2-4(a+2)0.-1a2.（2）若b，再設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1, x2且x1x2欲使ba，應(yīng)有x1, x21, 4，觀察圖1-3-2便知，需 解得2a.綜合（1）、（2）得a的取值范圍是-10，即a0

15、，即a。于是，當(dāng)a時(shí)，兩個(gè)方程都有不同的實(shí)根。在a的條件下，方程的兩個(gè)根是并且x1x2，方程的兩個(gè)根是并且x3x4。要使一個(gè)方程的任意一個(gè)根不在另一個(gè)方程兩個(gè)根之間，a的值應(yīng)滿足下列兩組條件之一?；蚴紫冉鈞2x3的情形：即，即，兩邊平方，得16-16a+9-24a+8, 840a-24, 即5a-3. 當(dāng)a時(shí)，5a-30，從而不等式無解。下面再解x43時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。解：（1）由已知，設(shè)f1(x)=ax2，則f1(1)=1，得a=1，f1(x)=x2.設(shè)f2(x)=，它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為a(),b(-,-)，由|ab|=8，得k=8,f2(x)=.故

16、f(x)=x2+。（2）f(x)=f(a),得x2+=a2+，即=-x2+a2+，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致圖象，其中f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3(x)的圖象是以(0,a2+)為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線。f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解。又f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+,當(dāng)a3時(shí)，f3(2)-f2(2)=a2+-80，當(dāng)a3時(shí)，f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解。方程 f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。證法二：由f(x)=f(

17、a)，得x2+=a2+,即(x-a)(x+a-)=0，得方程的一個(gè)解x1=a，方程x+a-=0化為ax2+a2x-8=0,由a3,=a4+32a0，得：x2=,x3=,x20,x1x2,且x2x3，若x1=x3，即a=,則3a2=,a4=4a，得a=0或a=，這與a3矛盾，x1x3。故原方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解。35已知函數(shù) （1）當(dāng)且時(shí)，求證： （2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域、值域都是，若存在，則求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由. （3）若存在實(shí)，使得函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)椋ǎ?，求的取值范?解：（1） 在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù).由，且，可得和 即故，即（2）不存

18、在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b.若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)的定義域、值域都是a，b，則當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù).故 即 解得a=b. 故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).故 即 此時(shí)a，b是方程的根，此方程無實(shí)根.故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b。當(dāng)時(shí)，而，故不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. 綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b. （3）若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)閍，b時(shí)，值域?yàn)閙a，mb.則 當(dāng)時(shí)，由于在（0，1）上是減函數(shù)，值域?yàn)閙a，mb， 即 此時(shí)a、b異號(hào)，不合題意.所以a，b不存在.當(dāng)或時(shí)，由（2）知0在值域內(nèi)，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在，故

19、只有在上是增函數(shù)， 即，a，b是方程的兩個(gè)根.即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)根為 則 即 解得故m的取值范圍是36已知二次函數(shù) （1）對(duì)于求證：方程有不等的兩實(shí)根，且必有一個(gè)實(shí)根屬于； （2）若方程內(nèi)的根為m，且成等差數(shù)列，設(shè)的對(duì)稱軸方程，求證：。解：由，得，故此方程的判別式，即方程有兩不等實(shí)根.令是二次函數(shù)，由的根必有一個(gè)屬于 （2）由題設(shè)，得，即有成等差數(shù)列，即故，故.37已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍. 解：，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象知，上單調(diào)遞增，要使恒成立，只需，當(dāng)綜上所述，所求的取值范圍為方法二：由變形得當(dāng)即式為恒成立，此時(shí)；當(dāng)，式為恒成立，其中即恒

20、成立，這樣就轉(zhuǎn)化到了求時(shí)函數(shù)的最小值問題，可得當(dāng)，即式為恒成立，即恒成立.其中，這樣就轉(zhuǎn)化到了求的函數(shù)的最大值的問題，可得.綜合以上知，.方法三： 由已知在。上恒成立，即 或，解得。38 設(shè)函數(shù)f(x)定義在r上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1 (1)求證 f(0)=1，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；(2)求證 f(x)在r上單調(diào)遞減；(3)設(shè)集合a= (x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合b=(x，y)|f(axg+2)=1，ar，若ab=，求a的取值范圍 解 (1) 令m0，n=0得 f(m)=f(m)f(0) f(m)0，f(0)=1。取m=m

21、，n=m，(m0)得：f(0)=f(m)f(m)，f(m)=。m0，m0，0f(m)1，f(m)1。(2)任取x1，x2r，則f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)。f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在r上為單調(diào)減函數(shù)。 (3)由，由題意此不等式組無解，數(shù)形結(jié)合得 1，解得a23。a，。39 已知函數(shù)f(x)= (b0)的值域是1，3。(1)求b、c的值；(2)判斷函數(shù)f(x)=lgf(x)，當(dāng)x1，1時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若tr，求證 lgf(|t|t+|)lg 解 (

22、1) 設(shè)y=，則(y2)x2bx+yc=0 xr，的判別式0，即 b24(y2)(yc)0，即4y24(2+c)y+8c+b20， 由條件知，不等式的解集是1，3，1，3是方程4y24(2+c)y+8c+b2=0的兩根，c=2，b=2，b=2(舍）。(2)任取x1，x21，1，且x2x1，則x2x10，且(x2x1)(1x1x2)0，f(x2)f(x1)=0，f(x2)f(x1)，lgf(x2)lgf(x1)，即f(x2)f(x1)，f(x)為增函數(shù)。即u，根據(jù)f(x)的單調(diào)性知：f()f(u)f()，lgf(|t|t+|)lg對(duì)任意實(shí)數(shù)t 成立。40已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f

23、(1)=1，若m、n1，1，m+n0時(shí)0 (1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對(duì)所有x1，1，a1，1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍 解 (1)任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)。1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù) (2) f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得 x|x1。(3)由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，對(duì)x1，1，恒有f(x)1，要f(x)t22at+1對(duì)所有x1，

24、1，a1，1恒成立，即t22at+11成立，故t22at0。記g(a)=t22at，對(duì)a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范圍是 t|t2或t=0或t2 41 設(shè)f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，問是否存在a、b、cr，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論 解 由f(1)=，得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x =1，由f(x)2x2+2x+推得f(1) 由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax

25、2+x+(a) 依題意 ax2+x+(a)x2+對(duì)一切xr成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1。易驗(yàn)證 x2+x+12x2+2x+對(duì)xr都成立 存在實(shí)數(shù)a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+對(duì)一切xr都成立 42 已知函數(shù)f(x)=x2+px+q，對(duì)于任意r，有f(sin)0，且f(sin+2)2 (1)求p、q之間的關(guān)系式；(2)求p的取值范圍；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值 并求此時(shí)f(sin)的最小值 解 (1)1sin1，1sin+23，即當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1，3時(shí)，f(x)0，當(dāng)x=1時(shí)

26、，f(x)=0 1+p+q=0，q=(1+p)。(2)f(x)=x2+px(1+p)，當(dāng)sin=1時(shí)，f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上遞增，x=3時(shí)，f(x)有最大值 即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3 此時(shí)，f(x)=x2+3x4，即求x1，1時(shí)f(x)的最小值 又f(x)=(x+)2，顯然此函數(shù)在1，1上遞增 當(dāng)x=1時(shí)f(x)有最小值：f(1)=134=6 43 設(shè)函數(shù)f(x)=ax滿足條件 當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)1；當(dāng)x(0，1時(shí)，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解 由已知得0a1，由f(3mx1)

27、f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，當(dāng)x(0，1)時(shí)，恒成立，即當(dāng)x(0，1時(shí)，恒成立，且x=1時(shí)，恒成立，在x(0，1上為減函數(shù)，1，m恒成立m0 ，在x(0，1上是減函數(shù)，1 m恒成立m1當(dāng)x(0，1)時(shí)，恒成立m(1，0) 當(dāng)x=1時(shí)，即是m0 、兩式求交集m(1，0）,使x(0，1時(shí)，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，即m的取值范圍是(1，0)44若1x2，不等式ax2-2ax-10恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：方法一：（從函數(shù)圖象與不等式解集入手，不等式在(1, 2上恒成立，即f(x)=ax2-2ax-1的圖象在x(1, 2

28、恒在x軸下方。)當(dāng)a=0時(shí)，不等式變?yōu)?10時(shí)，只需可得a0。當(dāng)a0時(shí)，只需f(1)0，即0a-1. 綜上可得a-1.解法二：（因不等式恒成立，所以不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)在(1, 2上的最大值恒小于0，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。)設(shè)f(x)=ax2-2ax+1，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-1，滿足不等式f(x)0時(shí)，f(x)對(duì)稱軸為x=1，結(jié)合二次函數(shù)圖象，(1, 2為f(x)的增區(qū)間，f(x)max=f(2)=-10成立；當(dāng)a0時(shí)，f(x)對(duì)稱軸為x=1，區(qū)間(1, 2為f(x)的減區(qū)間。f(x)max=f(1)=-a-10. a-1,-1a0且0，即有ac. 故c0.由、得a+c22，

29、則a=c=，故a=c=, b=.（3）由（2）可得g(x)=f(x)-mx=x2+(-m)x+=x2+(2-4)x+1，又x-1, 1時(shí)，函數(shù)g(x)是單調(diào)的，所以|-|1，解之，有m0或m1. 故m的取值范圍是m0或m1.原不等式解集為：x|-5x0, f(x)在a, b上為減函數(shù)，則，即，兩式相減，得(a-b)(a+b)+4(b-a)=0。ab, 。（2）b0, f(x)在a, b上為增函數(shù)，解得，又b0,b=-2-，且ab故無解。（3）時(shí)，則，。（4）若，與a0矛盾。綜合得，或。49. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞，值域?yàn)?，2，求m，n的值。解：函數(shù)的定義域?yàn)閞,說明中,x可以取任意實(shí)數(shù),設(shè).

30、方程中的設(shè),即時(shí),有,即有.又的值域?yàn)?,2，關(guān)于的方程的兩根為1和9.，解得.下面檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否成立：若，即,.此時(shí),而.時(shí)，也成立。綜上可知:.50. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閞. （1）求實(shí)數(shù)m有取值范圍；（2）當(dāng)m變化時(shí)，若y的最小值為f(m)，求函數(shù)f(m)的值域。解：（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)閞. 當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)閞，應(yīng)滿足，解得，。（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。51. 若關(guān)于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，原題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)a=(2-2-|x-3|)2-3(xr)的值域。令t=2-|x-3|，則0t1。a=f(t)=(t-2)2-3在區(qū)間(0,

31、1上是遞減函數(shù)。f(1)f(t)f(0). 即-2f(t)1。故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2a1.52已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足f(1+x)=f(1-x)，方程f(x)=x有兩個(gè)相等的實(shí)根。（1）求f(x)的解析式；（2）若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)閙, n上對(duì)應(yīng)的值域?yàn)?m, 2n，求m, n的值。解：（1）f(x)=ax2+bx, f(1-x)=f(1+x). 則f(x)的對(duì)稱軸為-=1。又f(x)=x即ax2+(b-1)x=0有等根，則(b-1)2=0, b=1, a=-, f(x)=- x2+x.（2）f(x)=-x2+x=-(x-1)2+, f(x)的最大值為。又f(x)在xm

32、, n上的最大值為2n, 則2n, n。f(x)在m, n上為增函數(shù)，得,m, n是f(x)=2x的兩個(gè)不等實(shí)根。-x2+x=2x. x2+2x=0, x1=-2, x2=0. m=-2, n=0.53. 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,設(shè)不等式解集為a，b=ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xb)的最大值 解 由且x0,故0x,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,綜上得2x,即a=x|2x,b=ax|1x=x|1x0,g(x)=ax2在2，2是增函數(shù)，g(x) 2a2,2a2. 任給x12，2

33、，f(x1) ,若存在x02，2，使得g(x0)=f(x1)成立，則 （3）若a0，2x2+mx-1=0的兩根在-1，1上，即f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)在-1，1上。-1m1。當(dāng)-1m1時(shí)，f(x)0的解集為c(ab)。（2）ma, xb|m|1, x2，|f(x)|=|2x2+mx-1|2x2-1|+|mx|=1-2x2+|mx|1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2(|x|-)2+。當(dāng)且僅當(dāng)|x|=時(shí)，等號(hào)成立。|f(x)|。60. 給定函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，以及g(x)=cx2+bx+a，其中|f(0)|1, |f(1)|1, |f(-1)|1，證明：對(duì)于|x|1有：

34、（1）|f(x)|； （2）|g(x)|2。解：（1）f(0)=c, f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c. a=, b=,f(x)=ax2+bx+c, x+f(0)，-1x1, 01+x2, 01-x21，|f(x)|(1+x)+ (1-x)+(1-x2)=-x2+|x|+1=-(|x|-)2+. |f(x)|。（2）|g(x)|=.61. 設(shè)的導(dǎo)數(shù)為. 若則：（1）求的解析式； （2）對(duì)于任意的，求證：； .解：（1）由，得由已知，得 解得 又 （2）由即.62已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，1x1時(shí)|f(x)|1 (1)證明 |c|1；(2)證明 當(dāng)1 x1時(shí)，|g(x)|2；(3)設(shè)a0，有1x1時(shí)， g(x)的最大值為2，求f(x) 解 (1) 由條件當(dāng)=1x1時(shí)，|f(x)|1，取x=0，得|c|=|f(0)|1，即|c|1 (2) 依題設(shè)|f