二三重積分的應用

1、一、二重積分的應用一、二重積分的應用(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面dyxfz),( ddxdyyxfv.),(設設s曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面s的面積為的面積為 ;122dxdyaxydyzxz (2) 曲面積曲面積設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為在在,dd 設小區(qū)域設小區(qū)域,),( dyx 點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxms .dsdadadsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準

2、線，母線平行邊界為準線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxmdaxyzs o ,面上的投影面上的投影在在為為xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyaxydyzxz 22)()(1設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxazxdxyzy 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222a

3、zyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對對稱稱性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域為平

4、面上的投影域為xy,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點點),(y

5、x處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心例例 3 3 設平面薄板由設平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與x軸圍成，它的面密度軸圍成，它的面密度1 ，求形心坐標，求形心坐標解解先求區(qū)域先求區(qū)域 d的面積的面積 a， 20t， ax 20 adxxya20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , dydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya2022)(

6、61 203cos16dtta.65 所求形心坐標為所求形心坐標為 ),(65 a.由于區(qū)域關于直線由于區(qū)域關于直線ax 對稱對稱 ，.)0(cos,cos4之間的均勻薄片的重心求位于兩圓例babrar、ab xyo解解:薄片關于薄片關于 軸對稱軸對稱x, 0 y則則 ddddxxdrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 薄片對于薄片對于x軸的轉動慣量軸的轉動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉動慣量軸的轉動慣量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 設有一平面薄片，占有設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域d，在點在

7、點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為(4) 轉動慣量轉動慣量解解設三角形的兩直角邊分別在設三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為,2dxdyxidy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：對同理：對x軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為dxdyyidx 2 .1213 ab 解解先求形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐標標系系如如圖圖oyx, hba 區(qū)域面積區(qū)域面積 因

8、因為為矩矩形形板板均均勻勻,由由對對稱稱性性知知形形心心坐坐標標2bx ，2hy .hb將將坐坐標標系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對對u軸軸的的轉轉動動慣慣量量 dududvvi2 22222hhbbdudvv .123 bh 對對v軸的轉動慣量軸的轉動慣量 dvdudvui2 .123 hb 薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力z 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0

9、(0am處處的的單單位位質質點點的的引引力力)0( a,zyxffff ,)(),(23222dayxxyxkfdx,)(),(23222dayxyyxkfdy.)(),(23222dayxyxakfdzk為引力常數(shù)為引力常數(shù)(5) 引力引力解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxff dayxyxaffdz 23)(),(222 dayxafd 23)(1222oyzxfdrrardafr 0222023)(1.11222 aarfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aarfa二、三重積分的應用二、三重積分的應用. dvm 其中其中,1 dvxmx () 重心重心

10、,1 dvymy .1 dvzmz ,2 dvzixy () 轉動慣量轉動慣量 設設物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量為為,2 dvxiyz ,2 dvyizx ,)(22 dvzyix ,)(22 dvxziy ,)(22 dvyxiz .)(222 dvzyxio . : 2222軸的轉動慣量對求質量均勻分布的球體zrzyxoxyzdv軸的轉動慣量為該微元對于是離為軸的距與點在立體內(nèi)任取一點其體積同時也表示內(nèi)取

11、一小立體在球體設密度為zyxzmzyxmdvdv,),(,22v)( )(2222dyxidvyxdizz從而 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx慣量軸的轉動關于我們同時考慮為了簡化計算8例解 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx轉動慣量軸的軸關于我們同時考慮為了簡化計算 )(32)(31,222dvzyxiiiiiiizyxzzyx于是由對稱性504020158sin32rdrrddr。m、該質點的引力試求圓錐體對的質點在它的頂點上為又設有質量密度為如圖設有一錐體例,),(9則的質點的引力為對質量是時表示其體積同是包含此點的體積元素點內(nèi)任一是圓錐域設,),(mdvfddvzyxmoxyzrhldv , ,/ )( 222故為引力常數(shù)zyxomomfdkzyxdvmkfd解引力) 3 ( ,)( 23222zyxzyxdvkmomomfdfdcos0arccos020222cossin)( 0, 23hzyxdrddkmdvzyxzkmffflh由對稱性)1(2 lhhmk)1 (2 , 0 , 0 lhhmkf。hr、所作的功完試計算將桶中水全部抽桶中裝滿水水桶米的圓柱形高為米設有一半徑為例,10得很小時當?shù)男×Ⅲw體積為點及包含任取一