二三重積分的應(yīng)用

1、一、二重積分的應(yīng)用一、二重積分的應(yīng)用(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面dyxfz),( ddxdyyxfv.),(設(shè)設(shè)s曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面s的面積為的面積為 ;122dxdyaxydyzxz (2) 曲面積曲面積設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxms .dsdadadsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)

2、線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxmdaxyzs o ,面上的投影面上的投影在在為為xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyaxydyzxz 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxazxdxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222a

3、zyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對對稱稱性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠?/p>

4、面上的投影域?yàn)閤y,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點(diǎn)點(diǎn)),(y

5、x處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心例例 3 3 設(shè)平面薄板由設(shè)平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與x軸圍成，它的面密度軸圍成，它的面密度1 ，求形心坐標(biāo)，求形心坐標(biāo)解解先求區(qū)域先求區(qū)域 d的面積的面積 a， 20t， ax 20 adxxya20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , dydxdyay1 )(0201xyaydydxa adxxya2022)(

6、61 203cos16dtta.65 所求形心坐標(biāo)為所求形心坐標(biāo)為 ),(65 a.由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線ax 對稱對稱 ，.)0(cos,cos4之間的均勻薄片的重心求位于兩圓例babrar、ab xyo解解:薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對稱軸對稱x, 0 y則則 ddddxxdrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 薄片對于薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域d，在點(diǎn)在

7、點(diǎn)),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為(4) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為,2dxdyxidy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：對同理：對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為dxdyyidx 2 .1213 ab 解解先求形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hba 區(qū)域面積區(qū)域面積 因

8、因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對對稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb將將坐坐標(biāo)標(biāo)系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對對u軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量 dududvvi2 22222hhbbdudvv .123 bh 對對v軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 dvdudvui2 .123 hb 薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，計(jì)計(jì)算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0

9、(0am處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0( a,zyxffff ,)(),(23222dayxxyxkfdx,)(),(23222dayxyyxkfdy.)(),(23222dayxyxakfdzk為引力常數(shù)為引力常數(shù)(5) 引力引力解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxff dayxyxaffdz 23)(),(222 dayxafd 23)(1222oyzxfdrrardafr 0222023)(1.11222 aarfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aarfa二、三重積分的應(yīng)用二、三重積分的應(yīng)用. dvm 其中其中,1 dvxmx () 重心重心

10、,1 dvymy .1 dvzmz ,2 dvzixy () 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標(biāo)標(biāo)面面,坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸及及原原點(diǎn)點(diǎn)的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為,2 dvxiyz ,2 dvyizx ,)(22 dvzyix ,)(22 dvxziy ,)(22 dvyxiz .)(222 dvzyxio . : 2222軸的轉(zhuǎn)動慣量對求質(zhì)量均勻分布的球體zrzyxoxyzdv軸的轉(zhuǎn)動慣量為該微元對于是離為軸的距與點(diǎn)在立體內(nèi)任取一點(diǎn)其體積同時也表示內(nèi)取

11、一小立體在球體設(shè)密度為zyxzmzyxmdvdv,),(,22v)( )(2222dyxidvyxdizz從而 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx慣量軸的轉(zhuǎn)動關(guān)于我們同時考慮為了簡化計(jì)算8例解 , )(i , )(i ,2222dvzxdvzyyxyx轉(zhuǎn)動慣量軸的軸關(guān)于我們同時考慮為了簡化計(jì)算 )(32)(31,222dvzyxiiiiiiizyxzzyx于是由對稱性504020158sin32rdrrddr。m、該質(zhì)點(diǎn)的引力試求圓錐體對的質(zhì)點(diǎn)在它的頂點(diǎn)上為又設(shè)有質(zhì)量密度為如圖設(shè)有一錐體例,),(9則的質(zhì)點(diǎn)的引力為對質(zhì)量是時表示其體積同是包含此點(diǎn)的體積元素點(diǎn)內(nèi)任一是圓錐域設(shè),),(mdvfddvzyxmoxyzrhldv , ,/ )( 222故為引力常數(shù)zyxomomfdkzyxdvmkfd解引力) 3 ( ,)( 23222zyxzyxdvkmomomfdfdcos0arccos020222cossin)( 0, 23hzyxdrddkmdvzyxzkmffflh由對稱性)1(2 lhhmk)1 (2 , 0 , 0 lhhmkf。hr、所作的功完試計(jì)算將桶中水全部抽桶中裝滿水水桶米的圓柱形高為米設(shè)有一半徑為例,10得很小時當(dāng)?shù)男×Ⅲw體積為點(diǎn)及包含任取一