74重積分的應(yīng)用

1、返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出把定積分的元素法推廣到重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到重積分的應(yīng)用中. .(2)( , )ddduf x y d 內(nèi)內(nèi)任任一一小小區(qū)區(qū)域域，(3) ( , )duf x y d (1)(1)待計(jì)算量待計(jì)算量u u對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域d d有可加性有可加性返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分二、幾何中的應(yīng)用二、幾何中的應(yīng)用1 1、平面圖形的面積、平面圖形的面積d的面積的面積dad 2 2、空間立體的體積、空間立體的體積vdv 的的 體體 積積 ( , )d ddv

2、f x yx y 曲曲頂頂柱柱體體體體積積返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分1. 3cos1 cos 例例求求圓圓周周的的內(nèi)內(nèi)部部與與心心臟臟線線的的外外部部所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域的的面面積積。返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分2222. 1zxyzxy 例例2 2 求求與與所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積。返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分1:221yxzs切平面與曲面切平面與曲面222:yxzs的體積的體積 v . 例例3. 求曲面求曲面任一點(diǎn)的任一點(diǎn)的所圍立體所圍立體返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分3

3、 3、曲面的面積、曲面的面積(cos ,cos,cos )1 .()cosnea 如如圖圖一一底底面面為為矩矩形形的的柱柱體體被被一一平平面面所所截截，截截面面法法向向量量，證證明明截截面面( (平平例例4 4、行行四四邊邊形形) )面面積積 是是底底面面面面積積xyzlmnrqpo返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過(guò)上過(guò)為為yxfyxms .dsdadadsszd 則有則有，為為；截切平面；截切平面為為

4、柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以如圖，如圖， d),(yxmdaxyzs o 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分,面上的投影面上的投影在在為為xoydad cos,dda221cos,1xyff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s s的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()()xydzzadxdyxy d),(yxmdaxyzs o 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式曲面面積公式為：為：221()()

5、.zxdyyadzdxzx 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式曲面面積公式為：為：221()();yzdxxadydzyz 同理可得同理可得返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分若光滑曲面方程為隱式若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxf則則yxzyzxdyxffyzffxz),(,ayxdzzyxffff222,0zf且且yxdd返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分問(wèn)：?jiǎn)枺喝绾斡?jì)算曲面面積？如何計(jì)算曲面面積？ ( , )zz x y xyd(1)(1)找到曲面顯方程找到曲面顯方程(2)(2)找到曲面投影域找到曲面投影域(3)(3)表為

6、二重積分并計(jì)算表為二重積分并計(jì)算返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz , 于于是是221()()zzxy ,222yxaa 解：解：)0,( yx返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分面面積積dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分例例6. 推導(dǎo)半徑為推導(dǎo)半徑為 a 的球的表面積的球的表面積.解解:設(shè)球面方程為設(shè)球面方程為 ar球面面積元素為球面

7、面積元素為2dsinddaa 2200dsindaa 24asina da 方法方法2 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程. (見(jiàn)書(shū)見(jiàn)書(shū) p153)方法方法1 利用球坐標(biāo)方程利用球坐標(biāo)方程. axyzod sin da 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分22222222: :(0), (),sxyzaaxyzarsr 練練習(xí)習(xí)已已知知球球面面球球面面：求求在在 內(nèi)內(nèi)部部的的那那部部分分面面積積，并并給給出出使使得得該該部部分分面面積積取取得得最最大大的的 值值。返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分 向量代數(shù)空間解析幾何向量代數(shù)空間解析幾何: 30分分(3選選

8、擇擇,2填空、填空、1道綜合題道綜合題) 多元函數(shù)微分學(xué)：多元函數(shù)微分學(xué)：46分分（2選擇，選擇，2填空，填空，3計(jì)算計(jì)算） 二重積分：二重積分：24分（分（1填空，填空，2計(jì)算）計(jì)算）返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分班級(jí)班級(jí)不及格人數(shù)不及格人數(shù)5050分分平均分平均分110111011111101066.466.41102110211116 662.562.5110311038 86 665.765.71104110416165 562.862.8100510053 31 178.078.0返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分三、物理中的應(yīng)用三、物理中

9、的應(yīng)用1 1、質(zhì)量、質(zhì)量薄片質(zhì)量薄片質(zhì)量立體質(zhì)量立體質(zhì)量( , )dmx y d ( , , )mx y z dv 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分2 2、質(zhì)心、質(zhì)心返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心形心. .,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分2sin , 4sin7dd 例例 、求求均

10、均勻勻薄薄片片 的的質(zhì)質(zhì)心心, ,其其中中為為所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分例例8. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲(chǔ)有高為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液的均質(zhì)鋼液,自重自重, 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)心.oxzh若爐若爐不計(jì)爐體的不計(jì)爐體的返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分解解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，軸上，vzyxzzddd,0 yx故故其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為226030490405hhhhh 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分

11、的應(yīng)用微積分微積分例例9. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)35(dyxyx其中其中d 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面積為面積為:9a923) 1(5a積分區(qū)域積分區(qū)域線線2, 1yx返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分3 3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)設(shè)xoy平平面面上上有有n個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)， 它它們們分分別別位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處處 ， 質(zhì)質(zhì) 量量 分分 別別 為為nmmm,21則則該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系對(duì)對(duì)于于x軸軸和和y 軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量依依次次

12、為為 niiixymi12， niiiyxmi12. . 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域 d，在在 點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處 的的 面面 密密 度度 為為),(yx ， 假假 定定),(yx 在在 d 上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)于于 x 軸軸和和 y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為 薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量y返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分例例10.求半徑為求半徑為

13、a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxdyxyidxdd2241amoxydaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分解解: 取球心為原點(diǎn)取球心為原點(diǎn), z 軸為軸為 l 軸軸,:2222azyx則則zizyxyxddd)(22ma252olzx球體的質(zhì)量球體的質(zhì)量334am 例例11.11.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球設(shè)球 所占域?yàn)樗加驗(yàn)?用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)) 返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分222zyxr

14、 g 為引力常數(shù)為引力常數(shù)4、物體的引力、物體的引力利用元素法利用元素法,vrxzyxgfxd),(d3vryzyxgfyd),(d3vrzzyxgfzd),(d3rzxvdyfd引力元素在三軸上的投影為引力元素在三軸上的投影為返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分在在 上上積分即得各引力分量積分即得各引力分量:vrxzyxgfxd),(3vryzyxgfyd),(3vrzzyxgfzd),(3返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分對(duì)對(duì) xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片d ,它對(duì)原點(diǎn)處的它對(duì)原點(diǎn)處的的引力分量為的引力分量為,d),(3dxxyxgfdyyyx

15、gfd),(3)(22yx 單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分xyzor例例12.設(shè)面密度為設(shè)面密度為 ,半徑為半徑為r的圓形薄片的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)求它對(duì)位于點(diǎn)解解: 由對(duì)稱性知引力由對(duì)稱性知引力d,222ryx)0(), 0 , 0(0aam處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. a0m。, 0z), 0, 0 (zff返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分aar1122zdfg a ag223222)(dayx返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分rxyzo例例13. 求半徑求半徑 r 的均勻球的均勻球2222rzyx對(duì)位于對(duì)位于)(), 0 , 0(0raam的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱性知引力分量利用對(duì)稱性知引力分量0yxff點(diǎn)點(diǎn)0mazd返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分zfvazyxazgd)(232222amg343rm 為球的質(zhì)量為球的質(zhì)量返回7.47.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用微積分微積分幾何應(yīng)用：平面圖形面積幾何應(yīng)用：平面圖形面積 立體體積立體體積 曲面的面積曲面的面積物理應(yīng)用：質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)物理應(yīng)用：質(zhì)量