全國全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

1、 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷1997 第一試 10:00)8:00?(10月5日上午) 分分，共36一、選擇題(每小題6xxS=xnx=ax=bxx=xx + ，+1已知數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是滿足， 記(+2)，?nnnnnn21211+1a bbSbaBxAxaS=?， (2)?，?2100100100100aSbD=baxaCxbS? (?()，?，100100100100 矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。CFAECD=ABCDEABF+上，使得上，2如圖，正四面體(0()()()()() )(fDf?fffCf?ff)()()()()() 彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡

2、。c，ca，bba， 都相交的直線有兩兩成異面直線，那么與6如果空間三條直線DBAC無窮多條) 1 的有限條)0條 ()1條 ( ()多于( 謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。 ) 9分，共54分二填空題(每小題3=xx，(1)+1997(1)1?yyxx，.為實(shí)數(shù)，且滿足設(shè)則?+1? 廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。3=yy 1)+1997(1(1)?2y2lBlAABx=恰交雙曲線于、| 兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)1的右焦點(diǎn)作直線?使得|2過雙曲線的直線 2=.條，則有3 煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。1?zzz=? 的幅角主值范圍是3已知復(fù)數(shù)滿足1，則2+ z?CB、ASSA=SB=SC=ABCS?ABAB=、，設(shè)24已知三棱錐，

3、的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，2ABCOO的距離為到平面四點(diǎn)均在以為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn) 鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。- 1 - 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 馮惠愚 ABCDEFA處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一若在為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)5設(shè)5DD點(diǎn)，則跳完55點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若次之內(nèi)不能到達(dá)次之內(nèi)跳到次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種籟叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。 ?111cxyz，a，xazyzbbxcxyzy中最大數(shù))6設(shè)+log(?log，記+log(+1)，+1，?log?log+log(+1MM的最小值為為，則預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。 三、（本題滿分2

4、0分） zy xyzx xyz的最大值和最小值+sin+cos?設(shè)，求乘積cos，且 滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。 212 ) 分四、(本題滿分20PQRCxyC 的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上如圖)設(shè)雙曲線?1的兩支為，正三角形，(21RPQ 不能都在雙曲線的同一支上；(1)求證：、RQRCPQC 、在上，求頂點(diǎn)?(2)設(shè)(?1，1)在上， 、的坐標(biāo)12 y C1 x O ?1)1,(P C2 - 2 - 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 馮惠愚 五、(本題滿分20分) aaaaa滿足，設(shè)非零復(fù)數(shù)， 54123aaaa?2345= ， aaaa?4231 鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。11111=S=aaaaa?+)+

5、4(+ 12345aaaaa12345SSaaaaa在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上， ，其中為實(shí)數(shù)且|，|2求證：復(fù)數(shù)，53241 第二試 12:30)?日上午10:30(10月5OOMNOOO內(nèi)50分）如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的兩點(diǎn)，且與分別與相交于、一、（本題2112STOMMNSNT三點(diǎn)共線、.求證：.切于的充分必要條件是、兩點(diǎn)擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。 xxxnyyy，250分）試問：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)，）滿足什么條件時(shí)，存在實(shí)數(shù)，（本題二、nn10012222nk=iy=xzzzz=zi.證明你的結(jié)論，1，其中+使得+成立，+為虛數(shù)單位，0，. 贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。kkkn201 - 3

6、 - 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 馮惠愚 ijx列中填入的數(shù)為25的長方形表格中每一格填入一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，第行第三、（本題50分）在100ij,i=j=1，2，25）（如表1）.然后將表（11，2，100；每列中的數(shù)按由小到大的次序從上到下重新xxxj=1，2，25）.（如表排列為?2?）?（壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。 jjj100,2,1,25i=kx1，2，（求最小的自然數(shù)100，使得只要表1中填入的數(shù)滿足），1蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰ji，j=1贅。 25xki1成立則當(dāng)?.時(shí)，在表2中就能保證買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。 ji，j=1 2 表1表 xxxxxx? ? ? 1,251,21,21,251,

7、11,1xxxxxx? ? ?2,252,22,22,12,12,25 xxxxxx? ?100,25100,2100,1100,25100,1100,2 - 4 - 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答1997 第一試) 分一、選擇題(每小題6分，共36xx=ax=bS=xxx=xxnx ， +?1已知數(shù)列，滿足 記+(，則下列結(jié)論正確的是2)，+nnnnnn211+121a xaBbSbAxaS=b? ()?(2)?，2，100100100100aDxaSbCxbS=ba?)，?(?)? (，100100100100 綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。=x=ax=bx=x=axb

8、x=abxx=ax=bx=ba，于，易知此數(shù)列循環(huán)，解：，nn+678324516ax=x=，是 驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。4100AS=baxxxxxx= 又選+2+0+，故+100613425CFAEABCDEABFCD=+2如圖，正四面體 中，上，在棱使得上，(0在棱 FDEBBDEFACf=EFA所成(所成的角，)表示與+)，記與其中表示的角，則 貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。EfA 單調(diào)增加)在(0，(+)()fB 單調(diào)減少)在(0，(+)()BDFfC 單調(diào)減少(1()，(+) 在(0，1)單調(diào)增加，而在CDf ()(為常數(shù))在(0，+CFCGAEBDACGFBDGEF=GGF=GFE=EGA

9、CBC，連，則，交故于，故解：作，但 FDGBEBDEGF=f)(故為常數(shù)選90故 鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。2 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為97，則這樣的數(shù)列共有3DACB個(gè)個(gè)()2個(gè) ( ()3個(gè) ()5)4 構(gòu)氽頑黌碩飩薺齦話騖。1222n=ndnadnnand=na971)，項(xiàng)數(shù)為，則為+2(1)97，972，即+(2解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為 2的約數(shù)3的大于 輒嶧陽檉籪癤網(wǎng)儂號(hào)澩。22an=ad=d=a=d 0有一解；97，2+(971)12，時(shí)0，；1a=aa=a=d=d=d=a=d=n= 194，1.0，297；，1，有三解；4997，2；+962Cn=

10、n=n=n 97，無解2975，選()()()()() ()()(- 5 - 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 ff?ffCfifffD)()()()()()() 凍鈹鋨勞臘鍇癇婦脛糴。x=xf )的對(duì)稱軸為解：，( 2532B選 0 易得，0故+(取 ，() 釷鵒資贏車贖孫滅獅贅。2y2llx=ABAB恰2過雙曲線?的右焦點(diǎn)作直線1使得交雙曲線于|、的直線兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)| 2=有3條，則 慫闡譜鯪逕導(dǎo)嘯畫長涼。2b2a=a=，這樣的弦由對(duì)稱，故與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長24又22解：右支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦2 a=時(shí)性有兩條故4 諺辭調(diào)擔(dān)鈧諂動(dòng)禪瀉類。2ab42=AB=設(shè)90時(shí)，的傾斜角為，則右支

11、內(nèi)的焦點(diǎn)弦4，當(dāng)4嘰覲 2222ac3coscos1 詿縲鐋囁偽純鉿錈。2ab422?=?時(shí)，4故arccos4與左支相交時(shí)，熒紿譏鉦鏌觶鷹緇機(jī) 2222ac?3cos1cos3 庫。1?zzz=? 12+，則3已知復(fù)數(shù)的幅角主值范圍是滿足 z?1?242xxrz=r=?的二次方程+(4cos21)4+1解：+(4cos220+41?，這個(gè)等式成立等價(jià)于關(guān)于 z?114cos22=xx=xxx，故必須+000161)1)+10有正根(4cos2，由鶼漬螻偉閱劍鯫腎 221144 邏蘞。- 6 - 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 333kk+arccos+1)+1)arccos2cos2 (

12、2(2 紂憂蔣氳頑薟驅(qū)藥憫騖。 4443113k=kk1)0(，+arccos，+arccos 穎芻莖蛺餑億頓裊賠瀧。 424222AB=?ABCABSA=SB=SC=S，2的底面是以2為斜邊的等腰直角三角形，4已知三棱錐ABCCOOS、A、B、的距離為設(shè)四點(diǎn)均在以到平面為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)濫驂S2 膽閉驟羥闈詔寢賻。2MABCABHSHSA=SB=SC=SABC 中點(diǎn)平面上的射影為解：?2，在面O2CA1CBSHA 、上任意一點(diǎn)到的距離相等、HBSABCSCCH=SHCMOSHOOSH=的外1，在面交于內(nèi)作的垂直平分線，為與，則323ABCSM=OSO=OH=的距離，即為接球球心，1，與

13、平面 銚銻縵嚌鰻鴻鋟謎諏涼。33AABCDEF5為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一若在5設(shè)DD次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開始次之內(nèi)不能到達(dá)5次之內(nèi)跳到點(diǎn)，則跳完點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種 擠貼綬電麥結(jié)鈺贖嘵類。FDB (、染色可證、)解：青蛙跳5次，只可能跳到三點(diǎn) ”號(hào)或“”號(hào)：，在中填“+次算1，寫5個(gè)“1”青蛙順時(shí)針跳1次算+1，逆時(shí)針跳1 11111 個(gè)中繼續(xù)填寫符號(hào)規(guī)則可解釋為：前三個(gè)中如果同號(hào)，則停止填寫；若不同號(hào)，則后223= 2種6種，后兩個(gè)中填號(hào)的方法有2前三同號(hào)的方法有2種；前三個(gè)不同號(hào)的方法有2= 4種方法26 共有

14、2+6?111cxyzcyxyz，a，azxyzxbb中最大數(shù)+1)，+1?log+1，)?設(shè)6log?log+log(+log+log()，記MM的最小值為為，則 賠荊紳諮侖驟遼輩襪錈。x11yyzc=a=zb=)，log(log(+解：)log(+，) 塤礙籟饈決穩(wěn)賽釙冊(cè)庫。 yzxy11MMxacac=yz于是log2即的最小值2log2)于是log2、，中必有一個(gè)log2+log(+裊 xyz 樣祕(mì)廬廂顫諺鍘羋藺。MM=x=y=z=a=b=c= 即此時(shí)的最小值log2但取于是1，得log2log2= log2 所求值 20（本題滿分分）三、?zyz=x y xyzx的最大值和最小值，求

15、乘積cos+設(shè)+cos，且sin 倉嫗盤紲囑瓏詁鍬齊驁。 212?=yxzx，故2解：由于 綻萬璉轆娛閬蟶鬮綰瀧。 321261211111?22=zyz=x y xyzxyxz=即最小值coscoscossincossin(+)+sin()cos+cossin() 驍 832222 顧燁鶚巰瀆蕪領(lǐng)鱺賻。- 7 - 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 1?z=x y xyzxyzy=z=x=sin ，故cos sin(時(shí)，)0)，當(dāng)cos (由于 ， ，cos瑣釙濺 812363 曖惲錕縞馭篩涼。1112yxxyxy=zzx y z=z+)sin(sin(coscos)sin)coscosco

16、ssin( 鎦詩涇艷損樓紲鯗餳類。 2223 2+111?22=x yzy zz=x，故0cos)sin cos cos由于sin(1+coscos)0，cos櫛緶歐鋤棗鈕 8622122 種鵑瑤錟。?5?z=x=y= ，時(shí)取得最大值 當(dāng) 1212132+ ，最小值 最大值 88 ) 20分四、(本題滿分PQRCxyC (如圖)設(shè)雙曲線?1的兩支為，正三角形，的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上21RQP 、不能都在雙曲線的同一支上；(1)求證：RQPCQRC 上， 、在、上，求頂點(diǎn)在的坐標(biāo)(2)設(shè)?(?1，1)12111xxPxQR不，)，(，)解：設(shè)某個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在同一支上此三點(diǎn)的坐標(biāo)為，()

17、， 312xxx312111xxx妨設(shè)00，則 轡燁棟剛殮攬瑤麗鬮應(yīng)。y 321 xxx321Qyy1112=kk=； 峴揚(yáng)斕滾澗輻灄興渙藺。 QRPQxxxxxxR322211Ox11+ Pxxxx3221PQRPQRPQR=不可能是正三角為鈍角即tan0)則(cos20令+(cos+sin2sin 謾飽兗爭(zhēng)詣繚鮐癩別瀘。 q4291522Zk=khihi)(cos2+sin2?)， 1(cos2?+cos2sin2)1?0咼 444 鉉們歟謙鴣餃競(jìng)蕩賺。1111=R=rirqRq=rirq或0)cos再令+(cos?+(sin()，0)則)sin+sin( + rrqqr=1 瑩諧齷蘄賞組

18、靄縐嚴(yán)減。31511111qqq=q=rq+，或+ 若sin2此時(shí)0，則+為實(shí)數(shù)此時(shí)+2或+麩肅鵬鏇 qqqq2222 轎騍鐐縛縟糶。5112=q=aq |1，知1此時(shí)，|此時(shí)，由|(2+) 納疇鰻吶鄖禎銣膩鰲錟。 iq42=ar= |若，故此五點(diǎn)在同一圓周上1，仍有|2i5342aa=qq=q=a=aa=qqq即此五點(diǎn)在同一圓上|0， |1此時(shí)| 若1+|+，0則1風(fēng)54231 攆鮪貓鐵頻鈣薊糾廟。aaaaa 綜上可知，表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上，52143 第二試MOO、分）50如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的相交于與一、（本題21MNTOMONOOS的.、分別與求證：內(nèi)切于、

19、兩點(diǎn)兩點(diǎn)，且21TNS.、三點(diǎn)共線充分必要條件是、 滅噯駭諗鋅獵輛覯餿藹。PS=PTPST，、證明：過，則分別作相應(yīng)兩圓的公切線，交于點(diǎn)OTOPMNSP四點(diǎn)共圓、且)、根軸點(diǎn)在直線上(O鐒鸝餉飾鐔閌貲諢1M- 9 - O2 STNP 馮惠愚 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 癱騮。TNS 、 若三點(diǎn)共線，NS=OONOS=OTOON ，則，連1112=ONOSOS=OTONOTONOSS=TS=ONSONS=的半徑，+，即于是，同理，即112121OO的半徑的和與 攙閿頻嶸陣澇諗譴隴瀘。21OSTOTS=TMOMS=SPTMOSPPTS=TSP=NMS、，共圓，故五點(diǎn)共圓、趕輾 雛紈顆鋝討躍滿賺。O

20、SP=TSP=OMSSMN=OSTOMN= +90+MNOM OOOMMNOM 反之，若，則， 21OOMOMr=rr=OMOOOOO=RrR為焦點(diǎn)的雙曲線的不同兩支上由)即、(由、(在以)2112222111MMOOO=OOO雙曲線的對(duì)稱性，知是等腰梯形 夾覡閭輇駁檔驀遷錟減。1122NO=ONOOOT=rrON=OOOO 即為平行四邊形+，于是22121211OSNNOTOST=SNONTSON=O=OSTO、由于、都是等腰三角形，視絀鏝鴯鱭鐘腦鈞2211 欖糲。TSN 、三點(diǎn)共線 yxnyxx，（，二（本題50分）試問：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)，2，）滿足什么條件時(shí)，存在實(shí)數(shù)n10102222nik=z=xyzz=ziyz.0成立，其中，使得+1，+為虛數(shù)單位，證明你的結(jié)論+偽澀錕攢鴛擋緬kknnk201 鐒鈞錠。222222222iyxyxyyxi=z=xyxyxxxyy)+2(+解：)(+2)+(+ 緦徑銚膾齲轎級(jí)鏜撟廟。nnnn210201201