高二數(shù)學(xué)(3.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念(2課時(shí)))

1、第三章第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1.1 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 的概念的概念問(wèn)題提問(wèn)題提出出 1. 1.數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進(jìn)程：數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進(jìn)程： 正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)正無(wú)理數(shù)正無(wú)理數(shù)零和負(fù)數(shù)零和負(fù)數(shù)N NQ QR RR R數(shù)系每次擴(kuò)充的基本原則：數(shù)系每次擴(kuò)充的基本原則： 第一、增加新元素；第一、增加新元素； 第二、原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立；第二、原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立； 第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾. . 2. 2.若若 ，則，則 對(duì)此你有什么困惑？對(duì)此你有什么困惑？11xx+=22211()21

2、.xxxx+=+-= -問(wèn)題提問(wèn)題提出出3.3.唯物辨證法認(rèn)為，唯物辨證法認(rèn)為，事物是發(fā)展變化的，事物是發(fā)展變化的，事物內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)是推動(dòng)事物向前發(fā)事物內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)是推動(dòng)事物向前發(fā) 展的根本動(dòng)力展的根本動(dòng)力. .由于實(shí)數(shù)的局限性，導(dǎo)致由于實(shí)數(shù)的局限性，導(dǎo)致 某些數(shù)學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學(xué)家某些數(shù)學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學(xué)家 們預(yù)測(cè)，在實(shí)數(shù)范圍外還有一類(lèi)新數(shù)存在，們預(yù)測(cè)，在實(shí)數(shù)范圍外還有一類(lèi)新數(shù)存在，還有比實(shí)數(shù)集更大的數(shù)系還有比實(shí)數(shù)集更大的數(shù)系. .問(wèn)題提問(wèn)題提出出 1 1、由、由 得得 ，這與這與 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？11xx+=2211xx+= -2210 xx+ 方程

3、方程x x2 2x x1 10 0無(wú)實(shí)根無(wú)實(shí)根 2 2、方程、方程x x2 2x x1 10 0無(wú)實(shí)根的根本原無(wú)實(shí)根的根本原因是什么？因是什么？1 1不能開(kāi)平方不能開(kāi)平方 問(wèn)題探問(wèn)題探究究3 3、我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，用字母、我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，用字母i i表表示，使這個(gè)數(shù)是示，使這個(gè)數(shù)是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是什的根是什么？么？1322i問(wèn)題提問(wèn)題提出出4 4、若、若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,則則x x等于等于什么？什么？1 1，1 1，i i，i. i. 問(wèn)題提問(wèn)題提出出5 5、滿足

4、、滿足i i2 21 1的新數(shù)的新數(shù)i i顯然不是實(shí)數(shù)，顯然不是實(shí)數(shù)， 稱(chēng)為稱(chēng)為虛數(shù)單位虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則， 應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位i i和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算滿和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算滿 足哪些運(yùn)算律？足哪些運(yùn)算律？乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律乘法對(duì)加法滿足分配律. .問(wèn)題探問(wèn)題探究究6 6、設(shè)、設(shè)aRR，下列運(yùn)算正確嗎？，下列運(yùn)算正確嗎？aiia+=+a ii a=()aiai -= -32iiii= -21iiii= -問(wèn)題探問(wèn)題探究究1 1、虛數(shù)單位、虛數(shù)單位i i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，可以

5、形成哪種一般形式的數(shù)？可以形成哪種一般形式的數(shù)？ abi i（a，bRR）2 2、把形如、把形如abi i（a，bRR）的數(shù)叫做）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集，記作記作C C，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR問(wèn)題探問(wèn)題探究究3 3、復(fù)數(shù)通常用字母、復(fù)數(shù)通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），這一表示形式），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式代數(shù)形式，其中，其中a與與b分別分別叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)z z的的實(shí)部實(shí)部與與虛部虛部，那么復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù) z z 3i3i

6、的實(shí)部和虛部分別是什么？的實(shí)部和虛部分別是什么？2實(shí)部為實(shí)部為 , ,虛部為虛部為3.3.2問(wèn)題探問(wèn)題探究究4 4、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：可以相等，并且規(guī)定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要條件是）的充要條件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要條件的充要條件是什么？是什么？ ab0 0問(wèn)題探問(wèn)題探究究5 5、對(duì)于復(fù)數(shù)、對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)當(dāng)b b0 0時(shí)，時(shí)，z z為什么數(shù)？由此說(shuō)明實(shí)為什么數(shù)？由此說(shuō)明實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？當(dāng)當(dāng)b0 0時(shí)時(shí)z z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). .

7、實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R是復(fù)數(shù)集是復(fù)數(shù)集C C的真子集的真子集. . 問(wèn)題探問(wèn)題探究究6 6、對(duì)于復(fù)數(shù)、對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)）當(dāng)b00時(shí)，時(shí)，z z叫做叫做虛數(shù)虛數(shù)，當(dāng)，當(dāng)a0 0且且b00時(shí)，時(shí)，z z叫做叫做純虛數(shù)純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？虛數(shù)集之間如何？ 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集. . 問(wèn)題探問(wèn)題探究究7 7、復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛、復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？ 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)問(wèn)題探問(wèn)題探究究8 8、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與

8、、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？ 虛數(shù)不能比較大小虛數(shù)不能比較大小. . 例例1 1 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z zm1 1( (m1)i1)i分別是實(shí)數(shù)，分別是實(shí)數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？虛數(shù)和純虛數(shù)？ 當(dāng)當(dāng)m1 1時(shí)，時(shí)，z z是純虛數(shù)是純虛數(shù). . 典例講典例講評(píng)評(píng)當(dāng)當(dāng)m1時(shí)，時(shí)，z是實(shí)數(shù)；是實(shí)數(shù)；當(dāng)當(dāng)m1時(shí)，時(shí)，z是虛數(shù)；是虛數(shù)； 例例2 2 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若，若z z1 1z z2 2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)x x，y

9、y的值的值. . x x9 9，y y6. 6. 典例講典例講評(píng)評(píng) 1. 1.將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系是源于解將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀(jì)中葉已建立方程的需要，到十九世紀(jì)中葉已建立了一套完整的復(fù)數(shù)理論，形成一個(gè)獨(dú)了一套完整的復(fù)數(shù)理論，形成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支立的數(shù)學(xué)分支. .課堂小課堂小結(jié)結(jié) 2. 2.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的引入解決了負(fù)數(shù)不能的引入解決了負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方的矛盾，并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)開(kāi)平方的矛盾，并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，它使得任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成數(shù)集，它使得任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成 abi（a，bR）的形式的形式. .課堂小課堂小結(jié)結(jié) 3.3.復(fù)數(shù)包括了實(shí)數(shù)和虛

10、數(shù)，實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)包括了實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)的某些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中不成立，如的某些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，則，則x xy y等，今后等，今后在數(shù)學(xué)解題中，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，在數(shù)學(xué)解題中，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，一般都在實(shí)數(shù)集內(nèi)解決問(wèn)題一般都在實(shí)數(shù)集內(nèi)解決問(wèn)題.課堂小課堂小結(jié)結(jié)P P104104練習(xí)：練習(xí)：1 1，2 2，3.3. P P106106習(xí)題習(xí)題3.1A3.1A組：組：1 1，2.2.布置作布置作業(yè)業(yè)3.1 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.2 3.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義 1. 1.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的基本特征是什

11、么？的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立有的加、乘運(yùn)算律仍然成立. . 復(fù)習(xí)鞏復(fù)習(xí)鞏固固 2. 2.復(fù)數(shù)的一般形式是什么？復(fù)數(shù)相復(fù)數(shù)的一般形式是什么？復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？等的充要條件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 實(shí)部和虛部分別相等實(shí)部和虛部分別相等. . 復(fù)習(xí)鞏復(fù)習(xí)鞏固固 3. 3.實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別如何？如何？ 設(shè)設(shè)z zabi i（a，bRR）. .當(dāng)當(dāng)b b0 0時(shí)時(shí)z z為實(shí)數(shù)；為實(shí)數(shù)；當(dāng)當(dāng)b b00時(shí)，時(shí)，z z為虛數(shù)

12、；為虛數(shù)；當(dāng)當(dāng)a0 0且且b b00時(shí)，時(shí)，z z為純虛數(shù)為純虛數(shù). . 復(fù)習(xí)鞏復(fù)習(xí)鞏固固 4. 4.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如何？純虛數(shù)集之間的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)復(fù)習(xí)鞏復(fù)習(xí)鞏固固 5. 5.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，從實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，從而實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，這而實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，這是實(shí)數(shù)的幾何意義，根據(jù)類(lèi)比推理，是實(shí)數(shù)的幾何意義，根據(jù)類(lèi)比推理，復(fù)數(shù)也應(yīng)有它的幾何意義復(fù)數(shù)也應(yīng)有它的幾何意義. .因此，探究因此，探究復(fù)數(shù)的幾何意義就成為一個(gè)新的學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義就成為一個(gè)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)容. . 提出

13、問(wèn)提出問(wèn)題題1 1、在什么條件下，復(fù)數(shù)、在什么條件下，復(fù)數(shù)z z惟一確定？惟一確定？ 給出復(fù)數(shù)給出復(fù)數(shù)z z的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部2 2、設(shè)復(fù)數(shù)、設(shè)復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR），以），以z z的實(shí)部和虛部組成一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)的實(shí)部和虛部組成一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b），那么復(fù)數(shù)），那么復(fù)數(shù)z z與有序?qū)崝?shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）之間是一個(gè)怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？）之間是一個(gè)怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)問(wèn)題探問(wèn)題探究究3 3、有序?qū)崝?shù)對(duì)（、有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）的幾何意義是什的幾何意義是什么？復(fù)數(shù)么？復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用什）可以用什么幾何量來(lái)表示？么幾何量來(lái)表示？ 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z

14、zabi i（a，bRR）可以用直角）可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z Z（a，b）來(lái)表示）來(lái)表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i問(wèn)題探問(wèn)題探究究用直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面用直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做叫做復(fù)平面復(fù)平面，x x軸叫做軸叫做實(shí)軸實(shí)軸，y y軸叫做軸叫做虛軸虛軸. .形成結(jié)形成結(jié)論論一般地，實(shí)軸上的點(diǎn)，虛軸上的點(diǎn)，各一般地，實(shí)軸上的點(diǎn)，虛軸上的點(diǎn)，各象限內(nèi)的點(diǎn)分別表示什么樣的數(shù)？象限內(nèi)的點(diǎn)分別表示什么樣的數(shù)？x xy yO Oab bZ Z：abi i實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù)，各象都表

15、示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)表示虛部不限內(nèi)的點(diǎn)表示虛部不為零的虛數(shù)為零的虛數(shù). . 形成結(jié)形成結(jié)論論1 1、用有向線段表示平面向量，向量的、用有向線段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所確定？大小和方向由什么要素所確定？ 有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn). . 2 2、用坐標(biāo)表示平面向量，如何根據(jù)向、用坐標(biāo)表示平面向量，如何根據(jù)向量的坐標(biāo)畫(huà)出表示向量的有向線段？量的坐標(biāo)畫(huà)出表示向量的有向線段？ 以原點(diǎn)為始點(diǎn)，向量的以原點(diǎn)為始點(diǎn)，向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)有向線段有向線段. . x xy yO O(a，b)問(wèn)題探問(wèn)題探究究3 3、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z

16、zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原點(diǎn)以原點(diǎn)O O為始點(diǎn)，點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn)Z Z（a，b）為終點(diǎn)的）為終點(diǎn)的向量向量 . .O Zuuu r問(wèn)題探問(wèn)題探究究4 4、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用向量）可以用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做復(fù)數(shù)的模叫做復(fù)數(shù)z z的的模模，記作，記作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的計(jì)算公式的計(jì)算公式是什么？是什么？O Zuuu rO Zuuu r22|abiab+=+x xy yO Oab bZ Z：abi i問(wèn)題探問(wèn)題探究究5 5、設(shè)向量、設(shè)

17、向量a，b分別表示復(fù)數(shù)分別表示復(fù)數(shù)z z1 1，z z2 2，若若ab，則復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z z1 1與與z z2 2的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？ 規(guī)定：相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)規(guī)定：相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù). .6 6、若、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，則復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z z對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡分別是什么？復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡分別是什么？ 單位圓，單位圓內(nèi)部單位圓，單位圓內(nèi)部. .問(wèn)題探問(wèn)題探究究 例例1 1 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x x2y2y1 10 0上，求實(shí)數(shù)上，求實(shí)數(shù)m的值的值. .222l og (33)l og (3)zmmim=-+-15m=典例講典例

18、講評(píng)評(píng) 例例2 2 若復(fù)平面內(nèi)一個(gè)正方形的三個(gè)頂若復(fù)平面內(nèi)一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i，求這個(gè)正方形第四個(gè)頂，求這個(gè)正方形第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). .x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例講典例講評(píng)評(píng) 例例3 3 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) ，若若|z|5|z|5，求，求x x的取值范圍的取值范圍. .12l og4zxi=+1(0, 8,)8x+ U典例講典例講評(píng)評(píng)1.1.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集C C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z zabi i 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z Z（a，b）一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)2.2.復(fù)數(shù)