運籌學(xué)課件 靈敏度分析及參數(shù)規(guī)劃

1、2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-15 靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃u 靈敏度分析靈敏度分析u 參數(shù)規(guī)劃參數(shù)規(guī)劃x2x1zo2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-2概概 述述 在定義線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型時，假定在定義線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型時，假定 aij ， bi , , cj 都是常數(shù)，但實際上這些數(shù)據(jù)往往是估計值和預(yù)測值。都是常數(shù)，但實際上這些數(shù)據(jù)往往是估計值和預(yù)測值。如市場條件一變，如市場條件一變，cj 值就會變化；值就會變化；aij 往往因為工藝條件往往因為工藝條件的改變而改變；的改變而改變；bi 是根據(jù)資源投入后的經(jīng)濟效果決定的是根據(jù)資源投入后的經(jīng)濟效果

2、決定的一種決策選擇。一種決策選擇。 對數(shù)據(jù)資料可能的波動作進一步的研究和分析一般對數(shù)據(jù)資料可能的波動作進一步的研究和分析一般稱之為稱之為靈敏度分析靈敏度分析(sensitivity analysis)。 當(dāng)有關(guān)數(shù)據(jù)的變化被看作是某個參數(shù)的函數(shù)時，這當(dāng)有關(guān)數(shù)據(jù)的變化被看作是某個參數(shù)的函數(shù)時，這樣的分析就是樣的分析就是參數(shù)分析參數(shù)分析(parametric analysis)。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-35.1 靈敏度分析靈敏度分析 線性規(guī)劃靈敏度分析的方法與一般經(jīng)濟計量線性規(guī)劃靈敏度分析的方法與一般經(jīng)濟計量模型采用的方法有所不同，它的特點是在建立數(shù)模型采用的方法有所不同，它的特

3、點是在建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解之后，再考察解對數(shù)據(jù)變化學(xué)模型和求得最優(yōu)解之后，再考察解對數(shù)據(jù)變化的敏感程度。因此這種分析方法又稱為的敏感程度。因此這種分析方法又稱為優(yōu)化后分優(yōu)化后分析析(postoptimal analysis)。 線性規(guī)劃問題中涉及的數(shù)據(jù)很多，決策者既線性規(guī)劃問題中涉及的數(shù)據(jù)很多，決策者既希望知道個別數(shù)據(jù)變化的影響、還希望了解若干希望知道個別數(shù)據(jù)變化的影響、還希望了解若干數(shù)據(jù)同時發(fā)生變化所產(chǎn)生的后果。本節(jié)僅討論前數(shù)據(jù)同時發(fā)生變化所產(chǎn)生的后果。本節(jié)僅討論前一種情形。一種情形。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-4生產(chǎn)計劃問題生產(chǎn)計劃問題 cj23000CBXBbx1x2

4、x3x4x50 x381210040 x41640010-0 x512040013-1z023000j0 x321010-1/220 x4164001043x2301001/4-1z-92000-3/4j2x121010-1/2-0 x4800-41243x2301001/412-1z-1300-201/4j2x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2 -1/80j max z=2x1+3x2 s.t. x1+2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 , x2 0 max z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2 +x3 = 8

5、 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1, x2 , , x502021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-5靈敏度分析的意義靈敏度分析的意義 在生產(chǎn)計劃問題的一般形式中，在生產(chǎn)計劃問題的一般形式中，A 代表企業(yè)的技術(shù)狀代表企業(yè)的技術(shù)狀況，況，b 代表企業(yè)的資源狀況，而代表企業(yè)的資源狀況，而 C 代表企業(yè)產(chǎn)品的市場狀代表企業(yè)產(chǎn)品的市場狀況，在這些因素不變的情況下企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最大況，在這些因素不變的情況下企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最大利潤由線性規(guī)劃的最優(yōu)解和最優(yōu)值決定。利潤由線性規(guī)劃的最優(yōu)解和最優(yōu)值決定。 在實際生產(chǎn)過程中，上述三類因素均是在不斷變化的，在實際生產(chǎn)過程中，上述

6、三類因素均是在不斷變化的，如果按照初始的狀況制訂了最佳的生產(chǎn)計劃，而在計劃實如果按照初始的狀況制訂了最佳的生產(chǎn)計劃，而在計劃實施前或?qū)嵤┲猩鲜鰻顩r發(fā)生了改變，則決策者所關(guān)心的是施前或?qū)嵤┲猩鲜鰻顩r發(fā)生了改變，則決策者所關(guān)心的是目前所執(zhí)行的計劃還是不是最優(yōu)，如果不是應(yīng)該如何修訂目前所執(zhí)行的計劃還是不是最優(yōu)，如果不是應(yīng)該如何修訂原來的最優(yōu)計劃。更進一步，為了防止在各類狀況發(fā)生時，原來的最優(yōu)計劃。更進一步，為了防止在各類狀況發(fā)生時，來不及隨時對其變化作出反應(yīng)，即所謂來不及隨時對其變化作出反應(yīng)，即所謂“計劃不如變化計劃不如變化快快”，企業(yè)應(yīng)當(dāng)預(yù)先了解，當(dāng)各項因素變化時，應(yīng)當(dāng)作出，企業(yè)應(yīng)當(dāng)預(yù)先了解，當(dāng)各

7、項因素變化時，應(yīng)當(dāng)作出什么樣的反應(yīng)。什么樣的反應(yīng)。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-6靈敏度分析的內(nèi)容靈敏度分析的內(nèi)容 本節(jié)將分析下列模型要素變化所產(chǎn)生的影響：本節(jié)將分析下列模型要素變化所產(chǎn)生的影響：n 模型數(shù)據(jù)發(fā)生變化模型數(shù)據(jù)發(fā)生變化F 目標(biāo)函數(shù)系數(shù)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)(價值系數(shù)價值系數(shù)) cj F 右端常數(shù)右端常數(shù)(限定系數(shù)）限定系數(shù)）bi F 組成系數(shù)組成系數(shù)(工藝系數(shù)工藝系數(shù)) aij n 模型規(guī)模參數(shù)發(fā)生變化模型規(guī)模參數(shù)發(fā)生變化F 階數(shù)階數(shù)m，即約束條件有增減，即約束條件有增減F 維數(shù)維數(shù)n，即決策變量有增減，即決策變量有增減2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-7靈敏度分析

8、的基礎(chǔ)與依據(jù)靈敏度分析的基礎(chǔ)與依據(jù) 靈敏度分析是在線性規(guī)劃問題求解后進靈敏度分析是在線性規(guī)劃問題求解后進行的，因此必有一個最優(yōu)基行的，因此必有一個最優(yōu)基 B及其最優(yōu)解作及其最優(yōu)解作為分析的基礎(chǔ)。所以靈敏度分析就是檢驗一為分析的基礎(chǔ)。所以靈敏度分析就是檢驗一 下要素改變后，當(dāng)前解是否仍然滿足下述兩下要素改變后，當(dāng)前解是否仍然滿足下述兩個條件：個條件： ( i ) 可行性條件可行性條件 B-1b 0 (ii ) 最優(yōu)性條件最優(yōu)性條件 CN - CBB-1N 02021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-8靈敏度分析的任務(wù)靈敏度分析的任務(wù) 線性規(guī)劃的靈敏度分析要解決兩個問題：線性規(guī)劃的靈敏度分析要解

9、決兩個問題：n一個或幾個系數(shù)或要素變化后，當(dāng)前的一個或幾個系數(shù)或要素變化后，當(dāng)前的最優(yōu)解或最優(yōu)基是否有變。最優(yōu)解或最優(yōu)基是否有變。n這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變動時，當(dāng)前的這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變動時，當(dāng)前的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變。最優(yōu)解或最優(yōu)基不變。 另外，一旦當(dāng)前解受影響就要運用適當(dāng)另外，一旦當(dāng)前解受影響就要運用適當(dāng)方法對其進行調(diào)整，以便得到新的最優(yōu)解。方法對其進行調(diào)整，以便得到新的最優(yōu)解。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-9靈敏度分析的結(jié)果靈敏度分析的結(jié)果 通過靈敏度分析可以發(fā)現(xiàn)，系數(shù)或要素通過靈敏度分析可以發(fā)現(xiàn)，系數(shù)或要素變化后會對線性規(guī)劃問題產(chǎn)生下列程度不同變化后會對線性規(guī)劃問題產(chǎn)生下

10、列程度不同的影響：的影響：F 當(dāng)前最優(yōu)解不變；當(dāng)前最優(yōu)解不變；F 當(dāng)前最優(yōu)基不變；當(dāng)前最優(yōu)基不變；F 當(dāng)前最優(yōu)解變?yōu)榭尚薪猱?dāng)前最優(yōu)解變?yōu)榭尚薪?可行性不變可行性不變)；F 當(dāng)前最優(yōu)解變?yōu)檎齽t解當(dāng)前最優(yōu)解變?yōu)檎齽t解(最優(yōu)性不變最優(yōu)性不變)；F 當(dāng)前最優(yōu)解變?yōu)榉强尚蟹钦齽t解。當(dāng)前最優(yōu)解變?yōu)榉强尚蟹钦齽t解。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-10分析結(jié)果的處理方法分析結(jié)果的處理方法 針對上述五種不同的分析結(jié)果，可按下列相針對上述五種不同的分析結(jié)果，可按下列相應(yīng)的調(diào)整方法進行處理。應(yīng)的調(diào)整方法進行處理。 分析結(jié)果分析結(jié)果 處理方法處理方法 最優(yōu)解不變最優(yōu)解不變 計算計算 CN - CBB-1N

11、 最優(yōu)基不變最優(yōu)基不變 計算計算 XB(*) = B-1b 變?yōu)榭尚薪庾優(yōu)榭尚薪?原始解法求最優(yōu)解原始解法求最優(yōu)解 變?yōu)檎齽t解變?yōu)檎齽t解 對偶解法求最優(yōu)解對偶解法求最優(yōu)解 變?yōu)槠胀ń庾優(yōu)槠胀ń?混合解法求最優(yōu)解混合解法求最優(yōu)解2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-11靈敏度分析的算例靈敏度分析的算例生產(chǎn)計劃問題生產(chǎn)計劃問題 max z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2 +x3 = 8 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1, x2 , , x50其中，其中， x1, x2 分別為產(chǎn)品分別為產(chǎn)品 P1, P2的產(chǎn)量，的產(chǎn)量， x3 , x4 , x5 分別分別為

12、原料為原料M1, M2 , M3的非生產(chǎn)的非生產(chǎn)用量。用量。 問題的初始表和求解后問題的初始表和求解后的最終表如下。以此為例作的最終表如下。以此為例作有關(guān)的靈敏度分析。有關(guān)的靈敏度分析。 表表 5.1 初始表和最終表初始表和最終表 cj23000CBXBbx1x2x3x4x50 x38121000 x416400100 x51204001-1z0230002x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2-1/802021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-125.1.1 價值系數(shù)價值系數(shù) cj 的變化分析的變化分析 價值系數(shù)變化是指目標(biāo)函數(shù)系

13、數(shù)價值系數(shù)變化是指目標(biāo)函數(shù)系數(shù) cs 發(fā)生發(fā)生變化，即變化，即 cj= cj+ cj。 價值系數(shù)價值系數(shù) cj 變化時，會使求解問題的變化時，會使求解問題的最終表里的相關(guān)檢驗數(shù)改變，解的性質(zhì)也可最終表里的相關(guān)檢驗數(shù)改變，解的性質(zhì)也可能因此改變。下面分別就能因此改變。下面分別就 cj 是非基變量還是是非基變量還是基變量的系數(shù)兩種情況來討論。基變量的系數(shù)兩種情況來討論。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-131. 非基變量系數(shù)非基變量系數(shù) cs 的變化分析的變化分析 若若 cs 是非基變量是非基變量 xs 的系數(shù)，這時它在計算表的系數(shù)，這時它在計算表中所對應(yīng)的檢驗數(shù)是中所對應(yīng)的檢驗數(shù)是 s

14、 = cs - CBB-1Ps 當(dāng)當(dāng) cs增加增加 cs后，要保證這個檢驗數(shù)仍小于或等于后，要保證這個檢驗數(shù)仍小于或等于零，即零，即 s = (cs+ cs ) - CBB-1Ps 0 那么那么(cs+ cs)CBB-1Ps，即，即 cs-(cs-CBB-1Ps)=- s。 綜上所述，可以得出結(jié)論：綜上所述，可以得出結(jié)論： 若若 cs- s ，則，則 s0，當(dāng)前解仍是最優(yōu)解；，當(dāng)前解仍是最優(yōu)解； 若若 cs - s ，則，則 s 0，當(dāng)前解只是可行解。，當(dāng)前解只是可行解。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-14非基變量系數(shù)非基變量系數(shù)cs變化的分析算例變化的分析算例 由上述討論可知，生

15、產(chǎn)計由上述討論可知，生產(chǎn)計劃問題中變量劃問題中變量 x3 和和 x4 的系數(shù)的系數(shù) c3 和和c4 分別不大于分別不大于1.5和和0.125時，問題的最優(yōu)解不變。時，問題的最優(yōu)解不變。 經(jīng)營問題經(jīng)營問題：假若生產(chǎn)計劃：假若生產(chǎn)計劃問題中，原料問題中，原料 M1 既可用于生既可用于生產(chǎn)又可按單位利潤為產(chǎn)又可按單位利潤為2 的價格的價格直接出售，原料直接出售，原料 M2的單位儲的單位儲存費用為存費用為0.125，那么問題的，那么問題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)變?yōu)?z =2x1+3x2+2x3 - 0.125 x4問題的最優(yōu)解也隨之改變。問題的最優(yōu)解也隨之改變。 cj23000CBXBbx1x2x3x4

16、x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2-1/80 cj232-1/80CBXBbx1x2x3x4x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2 -1/80-1z-14001/2-1/402x141001/400 x512040012x34021-1/40-1z-160-10-1/802021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-152. 基變量系數(shù)基變量系數(shù) cr 的變化分析的變化分析 當(dāng)基變量當(dāng)基變量 xr 的系數(shù)的系數(shù) cr ( CB)變化變化 cr 時，就會引起時，就會引起 CB的變化，從而影響到各非

17、基變量的變化，從而影響到各非基變量 xj 對應(yīng)的對應(yīng)的 j 。 設(shè)設(shè) CB=( 0, , cr , ,0 )，若要求原最優(yōu)解不變，則，若要求原最優(yōu)解不變，則新的檢驗數(shù)必須滿足新的檢驗數(shù)必須滿足 j = cj - (CB + CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj = j - (0, , cr , ,0)(b1j, , brj, , bmj)T = j - cr brj 0 于是得到于是得到 cr jbrj , brj 0 cr的變化范圍為是的變化范圍為是 max j /brj | brj 0 cr min j /brj | brj 0 cr min -bi0/b

18、ir | bir 0 2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-18資源數(shù)量變化范圍確定的算例資源數(shù)量變化范圍確定的算例 cj23000CBXBbx1x2x3x4x50 x38121000 x416400100 x51204001-1z0230002x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2 -1/80B-1b+B-1b=B-1b +B-1(b1,0,0)T 例如求例例如求例 5.1中第一個中第一個約束條件約束條件 b1的增量的增量 b1 的的取值范圍時，按可行性條取值范圍時，按可行性條件確定如右。由此可得件確定如右。由此可得 b1 -

19、( 4/-2 ) = 2 b1 -( 2/0.5)= -4 所以，所以， b1 的取值范圍是的取值范圍是 -4 , 2；相應(yīng)地，；相應(yīng)地，b1 的變的變化范圍是化范圍是 4 ,10。若取。若取 b1=2 B-1(b+ b)= ( 4, 0, 3 )T z* = 17。4= 4 +20-20.5b10002021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-19資源數(shù)量變化的分析算例資源數(shù)量變化的分析算例 在生產(chǎn)問題中，若該企在生產(chǎn)問題中，若該企業(yè)增加業(yè)增加 4 個單位的原料個單位的原料 M1 ，求這時的最優(yōu)生產(chǎn)方案。求這時的最優(yōu)生產(chǎn)方案。 計算計算將計算結(jié)果反映到最終表中，將計算結(jié)果反映到最終表中，見右

20、表。由于表中見右表。由于表中 b 列有負(fù)列有負(fù)數(shù)，用對偶解法求新的最優(yōu)數(shù)，用對偶解法求新的最優(yōu)解。從表中看出解。從表中看出 x3=2 ，即有，即有2個單位的個單位的 M1 未被利用。未被利用。 cj23000CBXBbx1x2x3x4x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2-1/80 cj232-1/80CBXBbx1x2x3x4x52x14+01001/400 x54 -800-21/213x22+2011/2-1/80-1z-2000-3/2-1/802x141001/400 x32001-1/4 -1/23x2301001/

21、4-1z-17000-1/2-3/4 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 04000= -8 2B-1b =2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-205.1.3 工藝系數(shù)的變化分析工藝系數(shù)的變化分析 關(guān)于工藝系數(shù)的變化分析可分為兩種情況來關(guān)于工藝系數(shù)的變化分析可分為兩種情況來討論：一是單個系數(shù)討論：一是單個系數(shù)aij的變化；一是某個系數(shù)列的變化；一是某個系數(shù)列向量向量Pj=(a1j , a2j , ,am j )T的改變。的改變。 另一方面，根據(jù)變化的另一方面，根據(jù)變化的 aij 或改變的或改變的 Pj 是否處是否處在基在基 B 中又需分別考慮。中又需分別考慮。aij 或

22、或 Pj不在基不在基 B 中時，中時，它的改變不會影響到當(dāng)前解它的改變不會影響到當(dāng)前解 XB(*) = B-1b0 的可行的可行性，只可能影響到當(dāng)前解的最優(yōu)性；反之，當(dāng)前性，只可能影響到當(dāng)前解的最優(yōu)性；反之，當(dāng)前解的可行性和最優(yōu)性都可能受到影響。解的可行性和最優(yōu)性都可能受到影響。 鑒于兩個方面的前一種情況都比較簡單，本鑒于兩個方面的前一種情況都比較簡單，本節(jié)不予討論。對于后一種情況也不作一般性討論，節(jié)不予討論。對于后一種情況也不作一般性討論，僅以具體例子來說明。僅以具體例子來說明。2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-21工藝系數(shù)列向量變化的分析算例工藝系數(shù)列向量變化的分析算例 cj23

23、000CBXBbx1x2x3x4x52x141000.2500 x5400-20.513x22010.5-0.1250-1z-1400-3/2-1/80 x141000.250 x5402-20.51x2200.750.5-0.1250-1z-1400.75-1.5-0.12502x141000.2500 x5-1.33300-3.333 0.83313x22.667010.667 -0.1670-1z-1600-2-0.2502x141000.2500 x30.4001-0.25-0.33x22.401000.2-1z-15.2000-0.75-0.6 在生產(chǎn)問題中產(chǎn)品在生產(chǎn)問題中產(chǎn)品P2的

24、工的工藝系數(shù)向量由藝系數(shù)向量由P2=(2,0,4)T變?yōu)樽優(yōu)镻2=(1.5, 0, 5)T, ,試分析對原最試分析對原最優(yōu)計劃的影響優(yōu)計劃的影響.設(shè)改進后的產(chǎn)設(shè)改進后的產(chǎn)品產(chǎn)量為品產(chǎn)量為 x2,計算計算 x2 在最終在最終表中對應(yīng)的列向量和檢驗數(shù)表中對應(yīng)的列向量和檢驗數(shù). 0 1/4 0-2 1/2 1 1/2 -1/8 03/2050 = 2 3/4B-1P2 = 2 = c2 - CBB-1P2 = 3-(1.5, 0.125, 0)(1.5, 0, 5)T = 3 - 2.25 = 0.752021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-22工藝系數(shù)和價值系數(shù)變化的分析算例工藝系數(shù)和價值系數(shù)

25、變化的分析算例 若工藝系數(shù)列向量和相若工藝系數(shù)列向量和相應(yīng)的價值系數(shù)應(yīng)的價值系數(shù) P1= (1, 4, 0)T ， c1=2 變化為變化為 P1= (2, 5, 2)T ， c1= 4 計算計算 cj23000CBXBbx1x2x3x4x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80-1z-1400-3/2 -1/80 cj43000CBXBbx1x2x3x4x5x145/4001/40 x541/20-21/21x223/811/2-1/80-1z-143/80-3/2 -1/804x13.21000.200 x52.400-20.413x30.8010.5-

26、0.20-1z-15.200-1.5-0.20 0 1/4 0-2 1/2 1 1/2 -1/8 02525/4 = 1/2 3/8B-1P1 = 1= c1 - CBB-1P1 = 4 - (1.5, 0.125, 0)(2, 5, 2)T = 4 - 3.625 = 0.3752021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-23運用混合算法調(diào)整當(dāng)前解運用混合算法調(diào)整當(dāng)前解 若工藝系數(shù)列向量若工藝系數(shù)列向量和相應(yīng)的價值系數(shù)和相應(yīng)的價值系數(shù) P1= (1,4,0)T ， c1=2 變化為變化為 P1=(4,5,2)T ， c1=4 計算計算1.25 = -3.5 1.375B-1P1 1= c1

27、- CBB-1P1 = -2.625 cj43000CBXBbx1x2x3x4x52x141.25000.2500 x54-3.50-20.513x221.37510.5-0.1250-1z-14-2.6250-3/2-1/80j4x13.21000.20160 x515.200-21.2138/33x2-2.4011/2-0.406-1z-5.600-1.50.40j4x1210.50.250040 x5803-0.5018/30 x460-2.5 -1.2510-1z-801-100j4x10.667100.330-0.333x22.66701-0.16700.330 x412.66700

28、1.66710.83-1z-10.6700-0.830-0.33j2021-10-20靈敏度分析與參數(shù)規(guī)劃5-245.1.4 決策變量增減的分析決策變量增減的分析 若企業(yè)在計劃期內(nèi)，有新的產(chǎn)品可以生產(chǎn)，若企業(yè)在計劃期內(nèi)，有新的產(chǎn)品可以生產(chǎn)，則在知道新產(chǎn)品的單位利潤，單件資源消耗量時，則在知道新產(chǎn)品的單位利潤，單件資源消耗量時，可以在最優(yōu)表中補充一列，其中的前可以在最優(yōu)表中補充一列，其中的前m行可以由行可以由基矩陣的逆矩陣得到，而檢驗數(shù)行也可以由與其基矩陣的逆矩陣得到，而檢驗數(shù)行也可以由與其它列相同的方法計算得到。若檢驗數(shù)非正，則原它列相同的方法計算得到。若檢驗數(shù)非正，則原最優(yōu)解仍為最優(yōu)，原生產(chǎn)計劃不變，不生產(chǎn)這種最優(yōu)解仍為