放縮法的應(yīng)用技巧

1、-作者xxxx-日期xxxx放縮法的應(yīng)用技巧【精品文檔】放縮法的應(yīng)用技巧放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點和難點。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對不等式的局部進行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點，我們從以下幾個方面對放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進行分析。一、常見的放縮方法證題中經(jīng)常用到的放縮方法法有：1.“添舍”放縮：對不等式一邊添項或舍項以達到放大和縮小的效果；2.分式放縮：分別放縮分式的分子、分母或者同時放縮分子分母以達到放縮的效果；

2、3.利用重要的不等式或結(jié)論放縮：把欲證不等式變形構(gòu)造，然后利用已知的公式或恒不等式進行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式、二項式定理、貝努力公式、真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理等。4.單調(diào)性放縮：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進行放縮。二、常見的放縮控制當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導(dǎo)致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標(biāo)。那么如何控制好放縮的尺度呢？例1求證：分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。若采取“ ”的方法向右端放大，則左邊很明顯，放得有點大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈

3、中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？【1】 調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為所以可以通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在分母減少了n，我們可以把分母只減少1，即這樣放的量就少了。證明1：左邊1+=1+4時： =當(dāng)m為奇數(shù)且m4時：為偶數(shù)，綜上可知，對于任意整數(shù)m4，都有例9.求證分析：觀察分母的變化規(guī)律，把若干項“捆綁”并為一項后進行放縮，然后求和就很容易實現(xiàn)欲證的目標(biāo)。證明：左邊=四利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式本身蘊含的不等關(guān)系或放縮產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。例10.已知求證：分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點，通過遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于的不等式

4、，然后實現(xiàn)對通項的放縮。證明： 例11.已知，證明：分析：通過對的適度放縮產(chǎn)生關(guān)于的不等遞推關(guān)系式，然后謀求對的放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。證明：， ，左邊五構(gòu)造和數(shù)列后進行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進行放縮處理。例12.已知，正數(shù)列滿足 證明：分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把不等式的左邊轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式。證明：， ， ， 例13. 已知函數(shù)，定義數(shù)列:,，若，證明:對任意都有:.分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用“絕對值不等式”把放縮為和數(shù)列的形式證明： 由得, ， 當(dāng)時,對, 上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關(guān)。如果不等式的一邊與求和沒有直接的關(guān)系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項式”展開后放縮；對不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。限于篇幅，本文就不做闡述了?？傊\用放縮法進行數(shù)列不等式的證明，要認真分析條