等比數(shù)列知識點總結與典型例題精華版

1、等比數(shù)列知識點總結與典型例題1、等比數(shù)列的定義：，稱為公比2、通項公式：，首項：；公比：推廣：3、等比中項：（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項，即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項和公式：（1）當時，（2）當時，（為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對任意的，都有為等比數(shù)列（2）等比中項：為等比數(shù)列（3）通項公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若或為等比數(shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對任何，在等比數(shù)列中，有。（3）若，則。特別的，當時，得 注：等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項公

2、式（）中項（）（）前項和重要性質(zhì)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項公式例1等比數(shù)列中，, ,求.思路點撥：由等比數(shù)列的通項公式，通過已知條件可列出關于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標，可以利用性質(zhì)可求出、，再求.解析：法一：設此數(shù)列公比為，則由(2)得：.(3) .由(1)得： , .(4)(3)(4)得：， ,解得或當時，；當時，.法二：,又, 、為方程的兩實數(shù)根， 或 , 或.總結升華： 列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利用性質(zhì)可以減少計算量；解題過程中具體求解時，要設法降次消元，常常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比

3、數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6。【答案】96法一：設公比為q，則768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4；，又an0，a45=4?！咀兪?】已知等比數(shù)列，若，求?！敬鸢浮炕?；法一：，從而解之得，或，當時，；當時，。故或。法二：由等比數(shù)列的定義知，代入已知得將代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一。類型二：等比數(shù)列的前n項和公式例2設等比數(shù)列an的前n項和為sn，若s3+s6=2s9，求數(shù)列的公比q.解析：若q=1，則有s3=

4、3a1，s6=6a1，s9=9a1.因a10，得s3+s62s9，顯然q=1與題設矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，從而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列的前6項和?！敬鸢浮?；，?！咀兪?】已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27，s3=13，求s5.【答案】；，則a1=1或a1=9.【變式3】在等比數(shù)列中，求和?！敬鸢浮炕?，；，解方程組，得 或將代入，得，由，解得；將代入，得，由，解得。或2，。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3. 等比數(shù)列中，若,求.解析： 是等比數(shù)列， 舉一反三：【變式1】正項

5、等比數(shù)列中，若a1a100=100; 則lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100?！咀兪?】在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為_。【答案】216；法一：設這個等比數(shù)列為，其公比為，。法二：設這個等比數(shù)列為，公比為，則，加入的三項分別為，由題意，也成等比數(shù)列，故，。類型四：等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)例4在等比數(shù)列中，已知，求。思路點撥：等差數(shù)列中也有

6、類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項和，第2個k項和，第3個k項和，第n個k項和仍然成等比數(shù)列。解析：法一：令b1=sn=48, b2=s2n-sn=60-48=12，b3=s3n-s2n觀察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比數(shù)列，s3n=b3+s2n=3+60=63.法二：，由已知得得，即 代入得，。法三：為等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列中，公比q=2, s4=1,則s8=_.【答案】17；s8=s4+a

7、5+a6+a7+a8=s4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=s4+q4(a1+a2+a3+a4)=s4+q4s4=s4(1+q4)=1(1+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列的前n項和為sn, 且s10=10, s20=40,求：s30=？【答案】130；法一：s10，s20-s10，s30-s20構成等比數(shù)列，(s20-s10)2=s10(s30-s20) 即302=10(s30-40),s30=130.法二：2s10s20，, , .【變式3】等比數(shù)列的項都是正數(shù)，若sn=80, s2n=6560，前n項中最大的一項為54，求n.【答案】 ，(否則)=80 .(1)=6560.(2

8、)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)該數(shù)列各項為正數(shù)，由(3)知q1an為遞增數(shù)列，an為最大項54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【變式4】等比數(shù)列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 則a5+a6=_.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比數(shù)列，b3=4,即a5+a6=4.【變式5】等比數(shù)列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值?！敬鸢浮?

9、48；an是等比數(shù)列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應用例5已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項不變，第三項減去32，則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項減去4，則又成等比數(shù)列.求原來的三個數(shù).思路點撥：恰當?shù)卦O元是順利解方程組的前提.考慮到有三個數(shù)，應盡量設較少的未知數(shù)，并將其設為整式形式.解析：法一：設成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.由(2)得a=.(3)由(1)得32a=d2+32d .(4

10、)(3)代(4)消a，解得或d=8.當時,；當d=8時,a=10原來三個數(shù)為,或2,10,50.法二：設原來三個數(shù)為a, aq, aq2，則a, aq,aq2-32成等差數(shù)列，a, aq-4, aq2-32成等比數(shù)列由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13當q=5時a=2；當q=13時.原來三個數(shù)為2，10，50或，,.總結升華：選擇適當?shù)脑O法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設此三數(shù)為，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那

11、么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【答案】為2，6，18或；設所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比數(shù)列為2，6，18或.【變式2】已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)?！敬鸢浮?、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1設這三個數(shù)分別為，由已知得得，所以或，即或故所求三個數(shù)為：1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1?！咀兪?】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三

12、個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù).【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；設四個數(shù)分別是x,y,12-y,16-x由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4或9， x=0或15，四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6已知數(shù)列an的前n項和sn滿足：log5(sn+1)=n(nn+),求出數(shù)列an的通項公式，并判斷an是何種數(shù)列？思路點撥：由數(shù)列an的前n

13、項和sn可求數(shù)列的通項公式，通過通項公式判斷an類型.解析：log5(sn+1)=n,sn+1=5n,sn=5n-1 (nn+), a1=s1=51-1=4,當n2時，an=sn-sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1時，45n-1=451-1=4=a1, nn+時，an=45n-1由上述通項公式，可知an為首項為4，公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列cn，其中cn=2n+3n，且數(shù)列cn+1-pcn為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢浮縫=2或p=3；cn+1-pcn是等比數(shù)列，對任意nn且n2，有(cn+1-pcn)2=(cn

14、+2-pcn+1)(cn-pcn-1)cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得：,解得：p=2或p=3,顯然cn+1-pcn0，故p=2或p=3為所求.【變式2】設an、bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn,證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列.【證明】設數(shù)列an、bn的公比分別為p, q，且pq為證cn不是等比數(shù)列，只需證.,又 pq, a10, b10,即數(shù)列cn不

15、是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1)an為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3)an，bn均為等比數(shù)列，則anbn為等比數(shù)列；(4)an是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.【答案】(1)錯；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比數(shù)列的下標和性質(zhì)要求項數(shù)相同；(2)錯；反例：02=00，不能說0，0，0成等比；(3)對；anbn首項為a1b1，公比為q1q2；(4)對；(5)錯；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)無意義.類型七：sn與an的關系例7已知正項數(shù)列an，其前n項和sn滿足，且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項an.解析：， ，解之得a1=2或a1=3.又， 由-得，即an+an-10，an-an-1=5(n2).當a1=3時，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比數(shù)列a13；當a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.總結升華：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是，尤其注意首項與其他各項的關系.舉一反三：【變式】命題1：若數(shù)列