北師版七年級數(shù)學上冊1.2展開與折疊教材解讀

1、1.2 展開與折疊新知概覽：知識要點課標要求中考考點節(jié)內(nèi)對應例題節(jié)內(nèi)對應習題常見幾何體的展開圖了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作實物圖會判斷常見幾何體的展開圖即由展開圖判斷幾何體試練例3,4；易錯典例1,2；題型典例2，3,4；中考典例1，2；中考變式1,2；新題精練1,2,3,5,6,8,9,13,14利用展開圖計算通過實例了解展開圖在現(xiàn)實中的應用能利用展開圖進行簡單計算題型典例5；中考典例2；新題精煉10本節(jié)重、難點1.重點：幾何體和展開圖之間的互化2.難點：由展開圖判斷幾何體的形狀知識全解知識點1正方體的表面展開圖正方體的表面展開圖有以下幾種情況：121（1）如圖121

2、“一四一”，中間一行4個作側(cè)面，兩邊各1個分別作上下底面，共有6種122（2）如圖122“二三一”（或一三二）型，中間3個作側(cè)面，上（或下）邊2個那行，相連的正方形作底面，不相連的再下折作另一個側(cè)面，共3種（3）如圖123“二二二”型，成階梯狀123（4）如圖124“三三”型，兩行只能有1個正方形相連124【試練例題1】如下圖125，正方體三個側(cè)面分別畫有不同圖案，它的展開圖可以是（ ）125 思路導引基本方法是先看上下，后定左右，圖A圖B都是和+兩個面相對，不合題意，圖C“”和“”之上，從立體圖看“”在右，符合要求圖D“”和“”之上，“”在右，而立體圖“”應在左，不合要求，故選（C）答案：C

3、方法：正方體展開圖的題目解題時，要注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題知識點2 棱柱的表面展開圖知識詳解：（1）棱柱的表面展開圖是由兩個相同的多邊形和一些長方形組成的（2）沿棱柱的任意一條側(cè)棱剪開，可以得到不同組合方式的平面展開圖（3）棱柱的折疊：把一個平面圖形經(jīng)過折疊看能否圍成一個棱柱，但并不是所有的平面圖形都能經(jīng)過折疊圍成棱柱知識警示：（1）棱柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，這個矩形可以看作幾個矩形連在一起組成的，而棱柱的表面展開圖是由兩個相同的多邊形和一些矩形連成的（2）沿棱柱不同的側(cè)棱剪開，可以得到不同組合的棱柱表面展開圖，即同一棱柱的表面展開圖有多種，它們都可以圍成同一個棱柱

4、【試練例題2】如圖126下列四個圖形中，是四棱柱的表面展開圖是（ ）A B C D126思路導引四棱柱的表面展開圖是由兩個相同的四邊形和一個有四個小長方形組成的大長方形組成，且兩個四邊形在大正方形的兩側(cè)，此題符合條件的只有D選項答案：D方法：有關(guān)棱柱的展開和折疊問題，要注意結(jié)合圖形進行一定的想象知識點3 圓柱、圓錐的表面展開圖知識詳解：（1）如圖127把圓柱的側(cè)面剪開，展開在一個平面上，側(cè)面展開圖是一個長方形這個長方形的一邊長等于圓柱的高，另一邊是圓柱底面的周長，反過來可以把一個長方形卷成一個圓柱的側(cè)面（2）如圖128把一個圓錐的側(cè)面展開，得到一個扇形，反過來可以把一個扇形卷成一個圓錐的側(cè)面1

5、28127 底面底面?zhèn)?面知識警示：圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖不包括底面，而它們的展開圖是包括側(cè)面和底面的，解題時要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系【試練例題3】把一個長方形卷起來，可卷成_個不同圓柱的側(cè)面思路導引：把一個長方形分別沿長邊、短邊卷起來，可以得到2個不同圓柱的側(cè)面答案：把一個長方形卷起來，可卷成2個不同圓柱的側(cè)面方法：本題的關(guān)鍵是理解圓柱的形成，注意分情況探討易錯易混辨析易錯點1不能正確判斷出幾何體的表面展開圖或用展開圖想象出原立體圖形【易錯典例1】如圖129下面每個圖形都是由6個完全相同的正方形組成的，其中是正方體的表面展開圖的是（ ）A B C D129解：A、D折疊后第一行兩個面無法折起來

6、，而且下邊沒有面，不能折成正方體；B、經(jīng)過折疊后，缺少一個側(cè)面的正方形，所以也不是正方體的展開圖；C、是正方體的展開圖故選C易混總結(jié)掌握正方體的表面展開圖是解題的關(guān)鍵解決此題時由于只是注意了圍成立方體的面有6個，由于空間想象力不足，忽視了展開圖中各個面的排列位置導致出錯.易錯點2圓柱、圓錐平面展開圖的畫法易忽略它們的底面圓【易錯典例2】畫出如圖1210中圓柱和圓錐的平面展開圖12101211解：如圖1211易混總結(jié)：圓柱、圓錐的平面展開圖，應包括側(cè)面和底面此題易受圓柱、圓錐側(cè)面展開圖的影響，在畫它們的平面展開圖時，易忽略底面圓而畫成側(cè)面展開圖要注意圓柱是由三個面組成的，即兩個平面（圓底面）和一

7、個曲面（側(cè)面）；圓錐是由兩個面組成的，即一個平面（圓底面）和一個曲面（側(cè)面）基礎(chǔ)經(jīng)典全析題型1利用表面展開圖識別立體圖形【題型典例1】如圖1212是某多面體的平面展開圖，指出他們的名稱1212思路導引：下邊的平面展開圖，把C1、C2、C3、C4、C5合拼成一點，得到的是多面體右邊按共棱黏合方法可得出立體圖形是三棱柱 思路導引：若按運算法則先通分計算括號內(nèi)的加減運算，再進行乘法運算，運算量大且易出錯，而直接應用乘法分配律，則能口算完成.解：（1）五棱錐（2）三棱柱.方法：側(cè)面是三角形，底面是五邊形的幾何體是五棱錐；側(cè)面是四邊形，底面是三角形的幾何體是三棱柱.1213題型2 正方體的表面展開圖中相

8、對面的判斷【題型典例2】如圖1213所示是一個立方體紙盒的展開圖，在其中的四個正方形內(nèi)分別標有1，2，3和3，要在其余的正方形內(nèi)分別填上1，2，使得折成正方體后，相對的兩數(shù)互為相反數(shù)，則A處應填_；B處應填_思路導引：將這個立方體紙盒的展開圖還原成立方體后，易知A的對面數(shù)字是2，B的對面數(shù)字是1，又因為相對的面上的數(shù)字互為相反數(shù)，所以A處的數(shù)字為2，B處得數(shù)字為1答案：2，1方法：確定正方體的表面展開圖將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形是解決此類問題的關(guān)鍵綜合創(chuàng)新探究題型3利用剪紙判斷圖形【題型典例3】如圖1214，將一個正方體紙片依次按圖a，圖b的方式對折，然后沿c中的虛線裁剪，最后將圖d的紙再展開鋪

9、平，所得到的圖案是下圖中的（ ）1214 思路導引：根據(jù)題目要求進行折疊、裁剪并展開即可得到正確答案答案：D方法：有關(guān)利用剪紙判斷圖形的題目，要注意根據(jù)題目要求，進行正確操作，即可得到所需結(jié)果1215題型4利用表面展開圖相關(guān)數(shù)據(jù)進行簡單的計算【題型典例4】如圖是1215，是一張鐵皮的平面示意圖、（1）計算該鐵皮的面積（2）能否將它做成一個長方體鐵盒？如能，畫出它的幾何圖形，并計算出它的體積；若不能，說明理由1216思路導引：（1）依次求出各個長方形的面積，即可求出鐵皮的面積；（2）分析展開圖的數(shù)據(jù)，易知這是一個長5cm，寬3 cm，高2cm的鐵盒，利用正方體的體積公式，易求其體積解：（1）該鐵

10、皮的面積為：(25)2+(23)2+(35)2=62（平方米）（2）能做成一個長方體鐵盒，如圖1216所示，所以它的體積為352=30（平方米）方法：利用表面展開圖進行相關(guān)計算時，要結(jié)合展開圖進行實現(xiàn)平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化備戰(zhàn)中考本節(jié)內(nèi)容的命題方向是：會判斷平面圖形能否折疊成幾何體；幾何體剪開后，能否展成規(guī)定的平面圖形，并能根據(jù)圖形在展開與折疊過程中的變化，發(fā)現(xiàn)圖形的特征，中考考查以填空題、選擇題為主考點1判別一個平面圖形能否折疊成一個立體圖形中考典例1如圖1217所示的平面圖形中，不可能圍成圓錐的是（ ）1217思路導引：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，可以直接得出答案D是不可能圍成圓錐的。答

11、案：D點撥：本題主要考查圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵同時要注意要選擇的是不可能圍成圓錐的選項（2011湖南婁底第8題3分）1218變式練習1如圖1218以下各圖由彼此連接的六個小正方形紙片組成，其中不能折疊成一個正方體的是（ ）思路導引：應用排除法能夠折疊成一個正方體的有A、B、C。答案：D (2011江蘇徐州第7題2分)考點2 正方體的表面展開圖中相對面的判斷1219中考典例2如圖1219是每個面上都有一個漢字的正方體的一種展開圖，那么在原正方體的表面上，與漢字“美”相對面上的漢字是 （ ）A.我 B.愛 C.長 D.沙思路導引：根據(jù)正方體的展開圖類型，

12、展開面上漢字“我”對“沙”，“愛”對“麗”，“美”對“長”.答案：C 點撥：這類題目考查正方體的平面展開圖解決此類問題我們可以用紙經(jīng)過折疊或剪拼動手操作來解決是行之有效的辦法（2011湖南長沙第8題3分）變式練習2如圖1220是正方體的展開圖，則原正方體相對 兩個面上的數(shù)字之和的最小值的是 .1220思路導引：可發(fā)揮想像能力或借助模型確定由平面圖形得到的立體圖形，要弄清哪兩個面是相對的面答案：6（2011山東菏澤第12題3分）新題精煉基礎(chǔ)鞏固81如圖1221所示的立方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（ ）1221 A B C D2如圖1222下列圖形經(jīng)過折疊不能圍成棱柱的是（）A B C

13、D1222A B C D12233如圖1223下面的圖形中，是三棱柱的側(cè)面展開圖的為（ ）4如圖1224下面的圖形表示四棱柱的是（ ）122412255如圖1225下列圖形中，不是立方體表面展開圖的是（ ）知識點3題型3知識點3題型2知識點3題型2知識點2題型1知識點3題型26如圖1226折疊成一個帶數(shù)字的立方體，每三個帶數(shù)字的面交于立方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是（ ） A、 7 B、 8 C、 9 D、 1012267 是_的表面展開的平面圖12278如圖1227，一個正方體的每個面上都寫有一個漢字，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方體中，和“超”相對的字是 9

14、一個三棱柱，它的側(cè)棱長是6cm，它的底面為各邊都是3cm的三角形，則此三棱柱的側(cè)面積是 122810在正方體展開圖上標有A、B、C、D、M、N等字樣（如右圖1228所示），當將它折疊成正方形時，點A與點 重合，點H點 重合，點N點 重合11如圖1229請你把幾何體和它的平面展開圖用線連起來。1229知識點3題型5知識點3題型2知識點3題型3知識點2題型5知識點3題型1知識點2,4題型1能力提升12如圖1230是一個35的方格紙，現(xiàn)將其剪為三部分，使每部分都可以拆成一個無蓋的小方盒，請問如何裁剪123013如圖1231馬小虎同學準備制作一個封閉的正方體盒子，他先用5個大小一樣的正方形制成如右圖所

15、示的拼接圖形(實線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在右圖中的拼接圖形上再接一個正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子. (注：只需添加一個符合要求的正方形；添加的正方形用陰影表示.) abc1231de知識點3題型4知識點3題型3,4新精煉參考答案基礎(chǔ)鞏固1 D思路導引：A選項中正方形陰影與三角形是相對的，所以不正確；B選項中正方形的邊與直角三角形直角邊重合；C選項直角三角形與正方形沒有相鄰，所以只有D選項符合要求2B思路導引：柱體可分為圓柱和棱柱，長方體和正方體都是四棱柱3A4A5C思路導引：本題主要考查學生的動手能力和空間想象能力，通過自己對這四個圖形動手操作，會

16、發(fā)現(xiàn)C圖不能折合成一個正方體. 故應選6A思路導引：“6”、“2”、“4”、“5”，這四個數(shù)字所在正方形恰好圍成正方體的側(cè)面，而“1”、“3”正好為正方體的上面、下面，所以“1”與“6”、“2”、“4”、“5”都相鄰，而“2”、“4”又相鄰，為了和最小，我們可先從“1”周圍尋找，從而得出相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小7點撥：確定各個點的位置很重要相鄰的數(shù)才可能成為相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字為了數(shù)字之和最小，我們盡量在較小的數(shù)上進行考慮7六棱柱思路導引：觀察可以發(fā)現(xiàn)展開圖有六個邊長相等的長方形，并且有兩個邊長和長方形寬相等的六邊形，所以是六棱柱的表面展開平面圖點撥：觀察棱柱的展開圖，

17、首先作為底面的多邊形必須是相同的多邊形，另外多邊形的邊數(shù)必須等于展開圖中長方形的個數(shù)8自思路導引：分析展開圖可以發(fā)現(xiàn)，“信”與“著”是相對的，所以這兩個字不可能與“超”相對，而“超”與“沉”、“越”是相鄰的，所以只有 “自”與“超”相對.可以把圖畫下來，折疊試一試點撥：仔細分析圖形，找出不可能與“超”相對的字，剩下的就是與“超”相對的字.注意與“超”所在正方形有公共頂點、公共邊的正方形都與“超”所在的正方形相鄰,也就是 “相鄰必相連”954思路導引：三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形，它的兩邊長分別是6cm和9cm，因此，面積為54cm210E、C，P、F，M11思路導引：此題實質(zhì)就是在讓我們分別找出長方體、圓錐體、圓柱體、六棱柱體的表面的平面展開圖解：如上右圖所示： 點撥：半圓也是扇形的一種，所以有的圓錐的側(cè)面展開圖就是半圓。12思路導引：顯然每部分都應有5個小方格。解：可按如圖12的方法裁剪。13思路導引