向量加、減法運(yùn)算及其幾何意義(市級(jí)公開課)

1、2021-10-17數(shù)學(xué)因思維顯智慧數(shù)學(xué)因思維顯智慧 數(shù)學(xué)因運(yùn)算而成體系數(shù)學(xué)因運(yùn)算而成體系 向量因?yàn)檫\(yùn)算而體現(xiàn)它向量因?yàn)檫\(yùn)算而體現(xiàn)它的無窮威力！的無窮威力！ 2021-10-17知識(shí)回顧知識(shí)回顧 1. 向量與數(shù)量有何區(qū)別向量與數(shù)量有何區(qū)別? 2. 怎樣來表示向量向量怎樣來表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?1)用有向線段來表示用有向線段來表示,線段的長度表示線段的大小，箭頭所線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示點(diǎn)字母表示.

2、如aAB,長度相等長度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因?yàn)槿绱苏驗(yàn)槿绱?我們研究的向量是我們研究的向量是與起點(diǎn)無關(guān)與起點(diǎn)無關(guān)的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.)4.什么叫做平行向量？平行向量與共線向量有什么什么叫做平行向量？平行向量與共線向量有什么區(qū)別？區(qū)別？ 上海上海香港香港臺(tái)北臺(tái)北引入引入1：上海上海香港香港臺(tái)北臺(tái)北O(jiān)ABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內(nèi)點(diǎn) ，

3、則與，記 則 這稱為 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做的的和和作作即即種種求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾連首尾連首尾相接首尾相接嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根據(jù)圖示填空：）根據(jù)圖示填空：_ABBCCDDE AE 2021-10-17嘗試練習(xí)一：不看圖，會(huì)求了嗎？嘗試練習(xí)一：不看圖，會(huì)求了嗎？ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）填空）填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向

4、量 。, a b abab 則則 OBab OABaba 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：2021-10-17思考思考1：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個(gè)向量：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個(gè)向量共線共線時(shí)，加法的時(shí)，加法的三角形三角形法法 則則是否還適用？如何作出兩個(gè)向量的和？是否還適用？如何作出兩個(gè)向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規(guī) 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，則（或）2021-10-17 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時(shí)，和向量的長度不共線時(shí)，和向

5、量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當(dāng)向量、不共線時(shí)有綜合以上探究我們可得結(jié)論：| |abab2021-10-17 圖圖1 1表示橡皮條在兩個(gè)力表示橡皮條在兩個(gè)力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸長了伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個(gè)力表示橡皮條在一個(gè)力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸長了相同長度方向伸長了相同長度EOEO。從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力。從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力F F與與F F1

6、1、F F2 2之間的關(guān)系如何？之間的關(guān)系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點(diǎn) 為點(diǎn)兩個(gè)為鄰邊則為點(diǎn)對(duì)線與 這平行四邊則稱為 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法的的種種求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起點(diǎn)相同起點(diǎn)相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則：OABCabba 起點(diǎn)相同起點(diǎn)相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則： 文字表述為：以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量

7、為鄰邊作平行文字表述為：以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是四邊形，則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是和向量。和向量。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法則三角形法則和和平行四邊形平行

8、四邊形法則作出法則作出a b 、ab abbba2021-10-17思考思考2:數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)任意數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對(duì)任意向量那么對(duì)任意向量 的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？請(qǐng)畫圖進(jìn)行探索。請(qǐng)畫圖進(jìn)行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a bc ab c 2021-10-17例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘

9、船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實(shí)際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度2021-10-17例例2.長江兩岸之間

10、沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以點(diǎn)出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(2 3

11、)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實(shí)際航行速度為答：船實(shí)際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC2021-10-17（1）你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？）你還能回想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？（2）兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算嗎？）兩個(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算可以看成加法運(yùn)算嗎？思考思考：如設(shè)如設(shè),x yR xy()xy 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 的相反數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運(yùn)算呢？如何定義向量的減法運(yùn)算呢？ 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義向量的減法運(yùn)算及其幾何意義回顧：回顧：2021-10-17一、相反向量：

12、一、相反向量：規(guī)定：規(guī)定：設(shè)向量設(shè)向量 ，我們把與，我們把與 長度相同，方向相反長度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）設(shè)）設(shè) 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義向量的減法運(yùn)算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab （2）()aa()aaa002021-10-17BACab設(shè)設(shè),AB b AC a DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我們學(xué)過的向量的加法法則作出你能

13、利用我們學(xué)過的向量的加法法則作出 嗎？嗎？ ()ab 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b2021-10-17三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量的終點(diǎn)的向量ba ba（1）如果從）如果從 的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)指向 終點(diǎn)作向量，所得向量是什么呢？終點(diǎn)作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當(dāng)）當(dāng) ， 共線時(shí)，怎樣作共線時(shí)，怎樣作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起點(diǎn)必須相同起點(diǎn)必須相同。（。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點(diǎn)。的終點(diǎn)。ba一般地

14、一般地abBabbAO（三角形法則）（三角形法則）a練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 2021-10-17三、幾何意義三、幾何意義注意：注意：（1）起點(diǎn)必須相同。（）起點(diǎn)必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點(diǎn)。的終點(diǎn)。一般地一般地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)指向向量 的終點(diǎn)的向量的終點(diǎn)的向量ba ba練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 2021-

15、10-17已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 則則BAab DCcd 作作注意：注意：起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。起點(diǎn)相同，連接終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)。a b c d 2021-10-17練習(xí)：練習(xí)：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 2021-10-17ABCD解：由作向量和的平行解：由作向量和的平行四邊形法則，

16、得四邊形法則，得AC=a+b;由作向量差的方法，知由作向量差的方法，知DB=AB-AD=a-b.ab例例2 2： 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，AB=a,AD=b,AB=a,AD=b,用用 a, ba, b表示向量表示向量AC,DBAC,DB。2021-10-17例例3 : 化簡化簡 ( (A AB B- -C CDD) )- -( (A AC C- -B BDD) )解解: ( (A AB B- -C CD D) )- -( (A AC C- -B BD D) ) = =A AB B- -C CD D- -A AC C+ +B BD D= = A AB B+ +D DC C+

17、+C CA A+ +B BD D = =( (A AB B+ +B BDD) )+ +( (DDC C+ +C CA A) ) = =A ADD+ +DDA A = = 0 02021-10-17 ,ABaADbABADABCD 解設(shè)作以和為鄰邊作平行四邊形。則ADBC,AC a bDB a b |ababA CD BAB，ADABCD，ABCD為矩形所以四邊形為平行四邊形又因?yàn)樗倪呅?222|6810| | 10DBDBDBaba b ba例例4已知已知|a|=6,|b|=8,且且|a+b|=| a- b|,求求|a- b|.2021-10-17AB BC AC222練習(xí)練習(xí)1正方形正方形A

18、BCD邊長為邊長為1，=a，=b， =c，則，則|a+b+c|等于（等于（ ）A0 B3 C DC練習(xí)練習(xí)2 2化簡化簡PMPNMN 結(jié)果是結(jié)果是 0 02021-10-17練習(xí)3 a，b為非零向量，且為非零向量，且|a- b|=| a|+| b|，則則 （ ）Aa與與b方向相同方向相同 Ba = b Ca =b Da與與b方向相反方向相反ab|ab練習(xí)練習(xí)4 4向量向量 , , 的模分別是的模分別是3，4，求，求的取值范圍。的取值范圍。 D D1,71,72021-10-17ABCD練習(xí)練習(xí)5:5:如圖：平行四邊形如圖：平行四邊形ABCD, ABCD, 用用 表示向量表示向量 , aAB , bAD ba,.,DBACba變式五變式五: :若若|AB|