控制理論專題——旋轉(zhuǎn)運(yùn)動實(shí)驗(yàn)報告

1、一、球桿系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)（一）系統(tǒng)建模球桿系統(tǒng)中的小球所受的力包括由于重力產(chǎn)生的平移力和由于小球滾動加速度產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)力。圖3-2 是球桿系統(tǒng)示意圖。表3-1 給出了球桿系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)過程中用到的變量的物理含義和數(shù)值。小球的受力如圖3-3 所示。重力的x 軸方向力為Ftx ，由球滾動產(chǎn)生的力矩就等于小球半徑乘以旋轉(zhuǎn)力（方向與運(yùn)動方向相反）。由牛頓第二運(yùn)動定律可得這個力矩就等于球的轉(zhuǎn)動慣量乘以其角加速度，即：(3.1)其中球的轉(zhuǎn)動慣量為J = 2mR2 /5 。此外，當(dāng) 在0 的小領(lǐng)域內(nèi)時，x與的關(guān)系表達(dá)式寫成傳遞函數(shù)為：X(s)(s)=5g7s2由圖3-2 可得：r=L已知電機(jī)電壓到伺服裝置輸出角度的

2、傳遞函數(shù)為：代入?yún)?shù)數(shù)值得到的傳遞函數(shù)為：由以上各式可求出：X(s)Vm(s)=25.72s2(s2+35.1s)（二）設(shè)計控制器整個控制器設(shè)計過程需要為兩個控制環(huán)設(shè)計兩個獨(dú)立的PV（比例速度）控制器。內(nèi)環(huán)：控制伺服裝置的轉(zhuǎn)角外環(huán)：通過伺服裝置的輸出角度來控制球在橫桿上的位置表3-2 給出兩個控制環(huán)的期望時域性能指標(biāo)。先設(shè)計內(nèi)環(huán)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)框圖如下：內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為：(s)d(s)=61.54Kps2+35.1+61.54Kvs+61.54Kp系統(tǒng)極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)越好，取極點(diǎn)為- 21 14i可得Kv=0.096, Kp=10.35但是這只是非常粗略的給出兩個反饋系數(shù)的預(yù)估值，未必能達(dá)到要求的

3、性能指標(biāo)，在這里，我原創(chuàng)了一個方法，使計算機(jī)在Kv=0.08,1中，步長為0.001，Kp=9,11中，步長為0.1，遍歷這些參數(shù)，取最小的超調(diào)量，最快的反應(yīng)時間。這樣大大提高了設(shè)計控制器的效率。matlab程序源代碼如下：（inner_loop模塊的輸入須改為固定的幅度為1的階躍輸入，采樣頻率為500Hz）sigma_min=0.05;%超調(diào)量要求Tp_min=0.2;%峰值時間要求for Kp=9:0.1:11 for Kv=0.08:0.001:0.10 sim(inner_loop); out=theta.signals.values;%角度的響應(yīng)信號 sigma=max(out)-1

4、; Tp=(find(out=max(out),1,first)-find(out=0,1,first)/500; if sigmasig_min & TpTp_min sigma_min=sigma; Tp_min=Tp; fprintf(sigma=%d, Tp=%dn,sigma,Tp);%打印此時超調(diào)量和峰值時間 fprintf(Kp=%d, Kv=%dn,Kp,Kv);%打印此時符合要求的Kp和Kv end endend 運(yùn)行結(jié)果：Kp=9.7;Kv=0.089;代入內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為：(s)d(s)=596.94s2+40.58s+596.94在階躍信號輸入下的響應(yīng)曲線：再設(shè)計外環(huán)控

5、制系統(tǒng)，系統(tǒng)框圖如下：ss=Lr=16.75Xss=5rg7Ls2=0.42s2在設(shè)計外環(huán)系統(tǒng)時，可以忽略內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性，因?yàn)閮?nèi)外環(huán)系統(tǒng)控制的對象不同，外環(huán)控制的是位置X，內(nèi)環(huán)控制的是轉(zhuǎn)角，在已設(shè)計完內(nèi)環(huán)系統(tǒng)的情況下，即內(nèi)環(huán)系統(tǒng)已達(dá)到要求的性能指標(biāo)時，可以忽略內(nèi)環(huán)動態(tài)特性的影響。但是，整個系統(tǒng)其實(shí)是四階的，而極點(diǎn)配置法本身就是經(jīng)驗(yàn)性的方法，并不能保證配置完極點(diǎn)即刻滿足性能指標(biāo)。所以在設(shè)計外環(huán)系統(tǒng)時，我直接采用了之前參數(shù)尋優(yōu)的方法，對之前的程序稍加修改，對Kp_bb和Kv_bb進(jìn)行小范圍尋優(yōu)即可得到一組接近全局最優(yōu)的控制參數(shù)。對尋優(yōu)范圍的確定我的方法是這樣的，先用極點(diǎn)配置的方法估計出各反饋增

6、益的數(shù)量級，再在這個數(shù)量級下大約取一個范圍分成20等份做遍歷，如果遍歷出的結(jié)果正好壓著該范圍的邊界，那說明這個范圍并不一定是最優(yōu)參數(shù)的包含范圍，之前的預(yù)估有誤，但是沒關(guān)系，把這個范圍平移一下再做一次尋優(yōu)就好了。最后取的Kp_bb在0.35到0.5之間，Kv_bb在0.35到0.4之間matlab程序源代碼如下：（outer_loop模塊的輸入須改為固定的幅度為1的階躍輸入，采樣頻率為500Hz）sigma_min=0.05;%超調(diào)量要求Tp_min=0.2;%峰值時間要求for Kp_bb= 0.35:0.01:0.5 for Kv_bb= 0.35:0.005:0.40 sim(outer_

7、loop); out=soft_simu_position.signals.values;%soft_simu_position sigma=max(out)-1; Tp=(find(out=max(o),1,first)-find(out=0,1,first)/500; if sigmasig_min & TpTp_min sigma_min=sigma; Tp_min=Tp; fprintf(sigma=%d, Tp=%dn,sigma,Tp);%打印此時超調(diào)量和峰值時間 fprintf(Kp_bb=%d, Kv_bb=%dn,Kp_bb,Kv_bb);%打印此時符合要求的Kp_bb和Kv

8、_bb end endend 運(yùn)行結(jié)果：Kp_bb=0.42;Kv_bb=0.385;（三）閉環(huán)仿真研究注意到在理想模型的基礎(chǔ)上，simulink閉環(huán)仿真模型加了對theta的限幅保護(hù)，主要是為了防止theta超出幅度后可能造成的硬件損壞。另外，微分環(huán)節(jié)采用了帶低通濾波的環(huán)節(jié)而不是純差分環(huán)節(jié)，主要是為了減小噪聲對微分的干擾。以下是系統(tǒng)對頻率為0.05Hz方波的跟蹤結(jié)果，得到的性能出乎意料的好結(jié)果沒有超調(diào)量，且響應(yīng)時間約為2.82秒，遠(yuǎn)優(yōu)于要求的性能指標(biāo)。（四）實(shí)時控制研究用軟仿真的參數(shù)直接進(jìn)行硬件肯定不會與軟仿真的結(jié)果相同，所以通常對軟仿真的控制參數(shù)還須進(jìn)行微調(diào)。在本實(shí)驗(yàn)中，若用軟仿真的控制參

9、數(shù)，雖然軟仿真可以得到很好的性能。但是到硬件上會產(chǎn)生很大的超調(diào)：產(chǎn)生超調(diào)一般是P參數(shù)過大，適當(dāng)減小Kp_bb，但可能使過度過程變慢，所以再稍稍增大一點(diǎn)Kv_bb，最終取Kp_bb=0.33; Kv_bb=0.39;結(jié)果如下所示： 上圖為實(shí)際觀測結(jié)果，下圖為仿真結(jié)果可以看到，此時雖然軟仿真的響應(yīng)時間已經(jīng)接近5秒，但硬件結(jié)果還是相當(dāng)可觀。由于系統(tǒng)本身對擾動非常敏感，所以每次運(yùn)行結(jié)果都不盡相同，但是響應(yīng)時間都可以控制在3秒內(nèi)，超調(diào)量總體來說很小。（五）思考題（1）實(shí)時控制完成后，系統(tǒng)實(shí)際響應(yīng)與仿真結(jié)果有較大的差異，試解釋原因。答：仿真的模型是理想的模型，其中球與趕之間如果有滑動摩擦，伺服電機(jī)模型參數(shù)

10、的誤差，都會對最終實(shí)時控制結(jié)果有影響。（2）本實(shí)驗(yàn)采用雙閉環(huán)控制策略來控制球的位置，你認(rèn)為可以用什么其他控制策略？各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？答：可以采用狀態(tài)變量反饋法，直接對一個四階的矩陣做特征值的配置，這樣運(yùn)算量會加大。雙閉環(huán)控制雖然運(yùn)算量減小，但外環(huán)的參數(shù)總會或多或少的受內(nèi)環(huán)參數(shù)影響，可能會內(nèi)環(huán)外環(huán)反復(fù)調(diào)整的測試。（3）從實(shí)際響應(yīng)曲線清楚地看到，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。如何來消除這一誤差？解釋其中的原因。答：由于這里全都是PD調(diào)節(jié)器，穩(wěn)態(tài)誤差無法避免，如果加一路積分環(huán)節(jié)可以消除靜差。二、旋轉(zhuǎn)機(jī)架系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)（一）系統(tǒng)建模表4-1 給出在后面的介紹和推導(dǎo)過程中用到的參數(shù)說明。圖4-2 給出了機(jī)架系統(tǒng)運(yùn)動

11、時橫臂的運(yùn)動方向。圖4-3 中將單擺看做是在擺中心位置的一個質(zhì)點(diǎn)，并給出 的運(yùn)動方向，注意此時 沿x 軸方向運(yùn)動。系統(tǒng)微分方程：電機(jī)輸出力矩為：選取狀態(tài)為x= T ,輸入為u=Vm輸出y= T,則系統(tǒng)狀態(tài)方程為其中A=0 00 0 1 00 1 0a320a32 a330a430a32=3mgr4Jeq+mr2 a33=-Beq-mgKtKg2KmRmJeq+14mr2a42=-916mgrrLJeq+14mr2-34gL a43=34rLBeq+mgKtKg2KmRmJeq+14mr2帶入數(shù)值得B=00b3b4Tb3=mgKtKgRmJeq+14mr2 b4=34rLmgKtKgRmJeq+

12、14mr2帶入數(shù)值得（二）設(shè)計控制器擺桿末梢( + )跟蹤給定頻率為0.01Hz、幅值為 45 度角的方波信號時，閉環(huán)系統(tǒng)需要滿足如下要求： 擺桿末梢沒有超調(diào)； 擺桿末梢沒有穩(wěn)態(tài)誤差； 擺桿末梢過渡過程時間小于 2.5 秒。選擇控制信號為u =Kx求解上式，得到xt=(A-BK)x(t)K=k1 k2 k3 k4T則detsI-A-BK=s4+ 25.54*k3 24.59*k4 + 14.52*s3+ 25.54*k1 24.59*k2 + 81.78*s2+ 1122.0*k3 + 638.0*s + 1122.0*k1由于該系統(tǒng)完全可控，所以可任意配置極點(diǎn)，極點(diǎn)選取原則為離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，輻角

13、越接近180為佳。我選取極點(diǎn)為-56.9i和-4.11.7i則特征方程為：s4+ 18.36*s3+ 176.5*s2+ 806.3*s + 1459.0與detsI-A-BK做對比，則：25.54*k3 24.59*k4 + 14.52=18.3625.54*k1 24.59*k2 + 81.78=176.51122.0*k3 + 638.0=806.3 1122.0*k1=1459.0解得：K=1.3 -2.5 0.15 0T（三）閉環(huán)仿真研究將以上結(jié)果代入閉環(huán)仿真系統(tǒng)，加以頻率為0.1Hz、幅值為 45 度角的方波跟蹤信號，得到如下效果：無積分反饋的結(jié)果，深色為仿真值，淺色為觀測值可以看到過渡過程時間約為1.5秒，遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于要求的2.5秒，沒有超調(diào)，但是有明顯的靜差，解決方法是在反饋回路中再加一路積分反饋，如下所示：逐漸提高積分反饋的增益可以減小靜差，最終我選取積分反饋的增益Ki為0.3，基本消除了靜差，效果如下：積分反饋增益Ki=0.3的結(jié)果，深色為仿真值，淺色為觀測值實(shí)際的過渡過程略慢于仿真結(jié)果，越為1.7秒，但也遠(yuǎn)小于要求的2.5秒，且沒有超調(diào)，沒有靜差。（五）思考題（1） 本實(shí)驗(yàn)采用了極點(diǎn)配置設(shè)計方法，你認(rèn)為還可以用哪些方法來設(shè)計控制器？答：可以用串聯(lián)超前滯后校正的方法，在反饋后的凈輸入后串聯(lián)一