2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何6距離的計(jì)算學(xué)案北師大版選修2-1

1、6距離的計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)I 1.理解點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離的概念2掌握點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算 3體會(huì)空間向量解決立體幾何問題的三步曲Q知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離i點(diǎn)到直線的距離因?yàn)橹本€和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題就是空間中某一平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題如圖，設(shè)I是過點(diǎn)p平行于向量r jh 定點(diǎn) 作AA丄I，垂足為A,那么點(diǎn)A到直線I的距離d等于線段AA的長(zhǎng)度，而向量PA在 s上 的投影的大小 等于線段PA的長(zhǎng)度，所以根據(jù)勾股定理有點(diǎn) A到直線I的距離2點(diǎn)到直線的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到直線I的距離的算法框圖，如圖知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離1. 求點(diǎn)到

2、平面的距離作AA丄冗，垂足為A，那么點(diǎn)A到平面n的距離d等于線段AA的長(zhǎng)度n的距離d =.2點(diǎn)到平面的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到平面n的距離的算法框圖，如下圖知識(shí)點(diǎn)三直線到與它平行的平面的距離如果一條直線平行于平面a，那么直線上的各點(diǎn)向平面a所作的垂線段均相等，即直線上各點(diǎn)到平面a的距離均一條直線上的任一點(diǎn)到與該直線平行的平面的距離，叫作直線與平面的距離知識(shí)點(diǎn)四 兩個(gè)平行平面的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫作兩個(gè)平面的 .公垂線夾在兩個(gè)平行平面之間的局部，叫作兩個(gè)平面的 兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫作兩個(gè)平行平面的 函題型探究類型一 求點(diǎn)到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)

3、為2的正方體ABCBABCD, E F分別是棱CC和DA的中點(diǎn)，求點(diǎn) A到直線EF的距離.反思與感悟一點(diǎn)P和一個(gè)向量s確定的直線I，那么空間一點(diǎn) A到直線l的距離的算法步驟(1)計(jì)算斜向量PA 計(jì)算PA向量S上的投影PA- So；(3)根據(jù)勾股定理，計(jì)算 d= P|函2_冋.so|2點(diǎn)A到直線I的距離公式也可以寫成 d=. | PA2-PA- | S|求平行直線間的距離通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離 跟蹤訓(xùn)練1 如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，過Al, B, G三點(diǎn)的平面和平面 ABC勺交線為I . 判斷直線AG和I的位置關(guān)系，并加以證明;如果AA = 1, AB= 4, BC= 3，/ A

4、BC= 90，求點(diǎn) A到直線I的距離類型二求點(diǎn)到平面的距離例2四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E, F分別是AB AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且 CG= 2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離反思與感悟利用向量求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟(1) 求出該平面的一個(gè)法向量；(2) 求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練2 點(diǎn)A 1,1，- 1)，平面a經(jīng)過原點(diǎn) Q且垂直于向量 n= (1 , - 1,1), 求點(diǎn)A到平面a的距離類型三 求直線到與它平行的平面的距離例3 在棱長(zhǎng)為a的正方體

5、 ABCDA B C D中，E, F分別是BB , CC的中點(diǎn)(1)求證：AD/平面 A EFD ; 求直線AD到平面A EFD的距離反思與感悟 求線面距離常轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練3 在直棱柱 ABCB ABCD中，底面為直角梯形， AB/ CD且/ ADC= 90, AD= 1,CD=, BC= 2, AA= 2, E是CC的中點(diǎn)求直線 AB與平面ABE的距離類型四 求兩平行平面間的距離例4 如圖，正方體 ABCD Ai B C D的棱長(zhǎng)為4, M N, E, F分別為 Ai D, AB, C D, B C的中點(diǎn)，求平面 AMN平面EFBD間的距離反思與感悟 求平行平面之間的距

6、離常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練4 正方體 ABCD A B CD的棱長(zhǎng)為1，求平面 Ai BD與平面B CD間的距離當(dāng)堂訓(xùn)練1 在棱長(zhǎng)為a的正方體 ABCD Ai B C D中，M是AA的中點(diǎn)，那么點(diǎn)A到平面MBD勺距離是D.C.2. 兩平行平面a、卩分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量為 n =(1,0,1)，那么兩平面間的距離是()3A.2C. ;3D.3 .23. 平面a的一個(gè)法向量為 n= ( 2, 2,1)，點(diǎn)A 1,3,0)在a內(nèi)，那么P( 2,1,4)到a的距離為.4. 在長(zhǎng)方體 ABC ABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，高 AA為4，那么

7、點(diǎn)A到截面ABD的距離是.5. 如圖，多面體是由底面為 ABCD勺長(zhǎng)方體被截面 AECF所截而得到的，其中 AB= 4, BC= 2,CC= 3, BE= 1.(1)求BF的長(zhǎng)；求點(diǎn)C到平面AECF的距離.I一規(guī)律與方法 ,1. 由直線到平面的距離的定義可知，直線與平面的距離，實(shí)質(zhì)上就是直線上一點(diǎn)到平面的距 離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求2. 兩個(gè)平行平面的公垂線段就是在一個(gè)平面內(nèi)取一點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線段，所以兩個(gè)平行 平面間的距離可轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離 求解.提醒：完成作業(yè)第二章 6合案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一1.| PA- so|知識(shí)點(diǎn)二yPA2

8、-| PA- so|1. PA n 長(zhǎng)度 PA no知識(shí)點(diǎn)三相等知識(shí)點(diǎn)四公垂線公垂線段距離題型探究例1解如圖，連接AFL T血r f *卜/ aA；/c y正方體 ABCB ABCD 的棱長(zhǎng)為 2,二 A(2,0,0),E(0,2,1), F(1,0,2).直線EF的方向向量為EF= (1 , - 2, 1),取直線 EF上一點(diǎn) F(1,0,2),點(diǎn)A(2,0,0)到直線EF上一點(diǎn)F(1,0,2)的向量為辰 (-1,0,2), AF在匠上的投影為XfEF=十, Xf V6點(diǎn)A到直線EF的距離為AF2- AF亙 2=芳.EF 6跟蹤訓(xùn)練1 解(1)AC/ I.證明如下：/ AQ/ AC A1C?

9、平面 ABC AC 平面 ABC- AQ / 平面 ABC又平面 ACBQ平面 ABG= I ,I / AG.(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么 B(4,0,0), G(4,3,0), A(0,0,1),Ci(4,3,1). AiB= (4,0 , - 1) , AG= (4,3,0).過點(diǎn)B作BHLAG,垂足為點(diǎn) H由(1)知，I / AiG， BH即為點(diǎn)Ai到直線I的距離.T AiB AG16, i Ah =AB AG| Ai G |16T， | BH =2-i 21 3|AiB-|Ai H=-3即點(diǎn)A到直線1的距離為丁.例2解建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系由題意可知 G(0,0,2), E

10、(4 , - 2,0) , F(2 , - 4,0),巳4,0,0), &E= (4，- 2, - 2) , GF= (2 , - 4,- 2),BE (0，- 2,0).設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為 n= (x, y, z).得 2X-y- Zx-2y- z= 0,GE n= 0,由Tn = 0,x=- y,z= 3y.令 y = 1，貝y n = ( 1,1 , - 3), 故點(diǎn)B到平面EFG的距離為| EBE- n|220d=mr廠跟蹤訓(xùn)練2解- OA= (1,1， 1),n= (1 , 1,1), 點(diǎn)A到平面 a的距離為d= n| n| 1 1 1|L：3，3.例3(1)證明以D為坐標(biāo)原

11、點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意得DA= (a,0,0), =(a, 0,0), DA/ D A./ Dz A 平面 A EFD , AD?平面 A EFD , AD/平面 A EFD .a 解由題意得 D (0,0 , a), F(0 , a, 2)，a BaD F = 0, a, 2 , DF= 0, a, 2 1ayaz= 0,ax= 0.設(shè)平面A EFD的一個(gè)法向量為 n= (x, y, z),n - D F = 0, 那么Bn - D A = 0,不妨令z= 1，貝U n= (0 ,扌，1). DF在n上的投影的大小為.|DF- n|

12、2 ,;5d= = a.I n|5直線AD到平面A EFD的距離為跟蹤訓(xùn)練3解 如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么A(1,0,2) ，A(1,0,0) ，E(0， ：3, 1)，QO, ,；3，0).過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)F,易得BF= ,：3, - B(1,2 :3 , 0), XB= (0,2 3 0) , BE= ( - 1,- ；3, 1).設(shè)平面 ABE的一個(gè)法向量為 n= (x, y, z),n AB= 0,n BE= 0,2 =0,x- ;3y + z= 0 ,y= 0 ,x=z.令 z = 1, 得 n

13、= (1,0,1). AA= (0,0,2),直線AB與平面ABE的距離為例4解如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝y Q0,0,0), M(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),曰0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), EF= (2,2,0), MN= (2,2,0),XM= ( - 2,0,4) , BF= ( - 2,0,4), Ef= MN, AM= bF, EF/ MN AIM/ BF,平面 AMN平面EFBD設(shè)n = (x, y, z)是平面AMIN勺一個(gè)法向量,n MN= 2x + 2y= 0,那么

14、n XM=- 2x+ 4z= 0,x= 2z,解得令 z= 1，得 x = 2, y=- 2,y=- 2z.那么 n= (2 , - 2,1).又T XB= (0,4,0),n 商n上的投影為討-8 _ 8 4 + 4+ 13,平面AMh與平面EFBD可的距離為d=汕| nAB = 3.跟蹤訓(xùn)練4 解 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系那么A(1,0,1),B(1,1,0), D(0,0,1), AiB= (0,1 , 1) , AD= ( 1,0 , 1) , AD = ( 1,0,0).y-z=0,x z= 0.設(shè)平面ABD的一個(gè)

15、法向量為n= (x, y, z),n AB= 0, 那么 n AD= 0,令 z = 1,得 y = 1, x=- 1 , n= ( 1,1,1).點(diǎn)D到平面ABD的距離為 n|1-73d =飛=丁 平面ABD與平面BCD間的距離等于點(diǎn) D到平面ABD的距離,平面ABD與平面BCD間的距離為*3 當(dāng)堂訓(xùn)練1041.A2.B3. 4. 3335.解(1)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系,x7cyfl那么 D(0,0,0),B(2,4,0), A(2,0,0), Q0,4,0) , E(2,4,1), C(0,4,3).設(shè)點(diǎn) 0,0 , z).截面AECF為平行四邊形, AF= EC,2,0 , z) = ( 2,0,2), z =