A1-6極限存在準(zhǔn)則ppt課件

1、1 1-6 1-6 極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限0 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則0 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 2一、一、 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,azaynn使使得得即即, 0, 0, 0:21 NN,1 ayNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 3例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111l

2、im1limnnnnn , 1 由夾逼定理由夾逼定理. 1)12111(lim222 nnnnn4例例. 0, 1lim aann其其中中證證明明證證21nanan1.若a1lim1,.nnn證明5例例2：求證：求證證：證：1)2642) 12(531 nn（12642)12(531 nnnnnnnn212642)12(531 nnn21)2642)12(531 （又又而而121lim21lim nnnnnn得證。得證。12642)12(531lim nnnn6例例3：求：求nnnnnn5432lim 解：解：545545432 nnnnnnnn55432lim nnnnnn555432 nn

3、nnnnn由夾擠定理由夾擠定理7lim ( ), lim ( ).h xAg xA( ),( ).0,0.h xAg xA其中( )( ) ( )( ).f xg xh xg x( )().f xAAA().A 8AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限9,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)

4、當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx10例例.cos1lim)120 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 11,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原原式式xxxarcsinlim)303) 設(shè)設(shè) u=arcsinx x0時(shí)時(shí)u0,1/

5、sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式0sinlim1xxx0sinlim1xarcxx0tanlim1xxx0arctanlim1xxx021 coslim112xxx0ln(1)lim1xxx01lim1xxex0(1)1lim1xxx12;.131)1ln(lim)1ln(lim/100 xxxxxx1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexxxxx1)1 (lim0 xexx1lim)1ln(0 xxxexx)1ln()1ln(1lim)1ln(0)1(tex) 1ln(lim1lim00ttxexxx14例:求下列極限(1) (2)(3) (4)0tanlimxk

6、xx1) 1sin(lim21xxx0sinlimxxxxxx20sincos12lim15nnnRcossinlim2Rn例例. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R16例例xxfx2220)(lim 2)3(lim0 xfxx已知已知xxfx)2(lim0求求231)3 (3lim0 xfxx因?yàn)橐驗(yàn)?)3(3lim0 xfxx所以所以即即6)(lim0tfttxxfx)2(lim03161217x1x2x3x1 nxnx 二、單調(diào)有界準(zhǔn)則二、單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加

7、單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM18例1 設(shè)設(shè)a,b0 , x1=a, 求求 xn的極限的極限 (求任意正數(shù)平方根的算法）求任意正數(shù)平方根的算法）證明：證明：11()2nnnnnbbxxxbxx12211(1)(1)122()nnnxbbxxb11()2nnnbxxx兩邊取極限1()2bAAAAb11()2nnnbxxx19例例2 2().nxCCCn證明:C0,數(shù)列重根式 的極限存在證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx1,xCC又,kxC假定1kkxCxC C,C ;是有界的是有界的nxlim.lim.nnnnxxA存

8、在 設(shè)1,nnxCx21,nnxCx2,ACA114114,22CCAA解得(舍去舍去)114lim.2nnCx20例例3 設(shè)設(shè)!1! 31! 21! 111nSn2111111121131122212nnnS eSnnlim1(1) (2)3 2 12nnnn 以后我們可以證明21exxx )11(lim其他形式：其他形式：1(1)lim(1)nnen（數(shù)列的極限）（數(shù)列的極限）10(2)lim(1)xxxe（x0的極限）的極限）( )( )1(3) lim (1)( )u xu xeu x（復(fù)合函數(shù)的極限）（復(fù)合函數(shù)的極限）)71828. 2( e重要極限重要極限,1xt 令令ttxxtx

9、)11(lim)1(lim10 . e 22即：即：xn是一單調(diào)上升數(shù)列。是一單調(diào)上升數(shù)列。(2)nnnxn)1(14 . 313 . 212 . 1111!1! 31! 2111 )111()4131()3121()211(11nn 313 nxn為單調(diào)上升且有上界數(shù)列，為單調(diào)上升且有上界數(shù)列，xn有極限有極限.limexnn (e2.718).!1! 31! 2111enyn ennn)11 (lim證明：證明：1）1111(1)nnnnxn1(1 1/ )1nnn1111nxn 1111 (1)(1)nnn1,nnxx23exxx )11(limennxnnnn )11(lim,)11(

10、且且單單調(diào)調(diào)遞遞增增 1,xxx設(shè) 1111(1)(1)(1)xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1nnnnnnnn 而而, e 11111lim(1)lim(1)lim(1)111nnnnnnnn, e .)11(limexxx x與與n=x同時(shí)趨向同時(shí)趨向+ 由夾擠準(zhǔn)則由夾擠準(zhǔn)則 1(1) 1xx 11(1) xx24,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim用變量代換可求出用變量代換可求出exxx )11(lim25例例1 1.)11(limxxx 求求解解xxx

11、)11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例2 2.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 26例例101lim() .1xxxx求111001(1):lim()lim1(1)xxxxxxxxx解110120lim(1)1lim(1)xxxxxex例例102lim() .2xxxx求11100(1)22:lim()lim2(1_)2xxxxxxxxx解122102112220lim (1)2lim (1)2xxxxxeeex27limx例例. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211

12、xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin128重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式0sinlim1xxx0sinlim1xarcxx0tanlim1xxx0arctanlim1xxx021 coslim112xxx0ln(1)lim1xxx01lim1xxex0(1)1lim1xxx29;.30根據(jù)極限求參數(shù)根據(jù)極限求參數(shù)例例設(shè)lxxaxxx14lim231求求la,解0)1(lim1xx而 是常數(shù)l0) 4(lim231xaxxx即4a, 0411a144lim231xxxxx10)4)(1(lim1xxx1) 4)(1(lim21xxxx10, 4la31