第四章彎曲應(yīng)力

1、材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1一、彎曲的概念一、彎曲的概念1、彎曲彎曲: : 桿受垂直于軸線的外力或外力偶作用時(shí)桿受垂直于軸線的外力或外力偶作用時(shí), ,軸線由軸線由 直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。直線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2、梁：以、梁：以彎曲變形為主的彎曲變形為主的 構(gòu)件通常稱為梁。構(gòu)件通常稱為梁。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力4.1 4.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念MMABF1F2q材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23、工程實(shí)例、工程實(shí)例材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院3材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木

2、工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院44、平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力、平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力 在同一平面內(nèi)。在同一平面內(nèi)。縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面MF1F2q平面彎曲亦稱為對(duì)稱彎曲（指前后對(duì)稱）。平面彎曲亦稱為對(duì)稱彎曲（指前后對(duì)稱）。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5FA AF1F2 B對(duì)稱軸對(duì)稱軸縱對(duì)稱面縱對(duì)稱面FB 對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲(平面彎曲平面彎曲)時(shí)時(shí)梁變形后軸線所在平面梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合與外力所在平面相重合材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6 特定條件下，發(fā)生非對(duì)稱彎曲的梁變形后其軸線所在特定

3、條件下，發(fā)生非對(duì)稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會(huì)跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面也會(huì)跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲平面彎曲。梁不具有縱對(duì)稱面；梁不具有縱對(duì)稱面；梁有縱對(duì)稱面，但外力沒(méi)有作用在縱梁有縱對(duì)稱面，但外力沒(méi)有作用在縱對(duì)稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與對(duì)稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對(duì)稱面不一致。梁的縱對(duì)稱面不一致。5、非對(duì)稱彎曲、非對(duì)稱彎曲yzFq qxzyFq q材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院7二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁的支承條件與荷載情況一般都比較復(fù)雜，為了便于梁的支承條件與荷載情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行

4、必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1、構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化、構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線來(lái)代替梁。通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2、荷載簡(jiǎn)化、荷載簡(jiǎn)化 作用于梁上的荷載（包括支座約束力）可簡(jiǎn)化為三種作用于梁上的荷載（包括支座約束力）可簡(jiǎn)化為三種 類型：集中力、集中力偶和分布荷載。類型：集中力、集中力偶和分布荷載。F集中力集中力ABFA集中力偶集中力偶Mqq(x)分布荷載分布荷載MA材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8固定鉸支座固定鉸支座 2個(gè)約束，個(gè)約束，1個(gè)自由度。個(gè)自由度。如：橋梁下的固定支座，止如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。推滾珠

5、軸承等。可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座 1個(gè)約束，個(gè)約束，2個(gè)自由度。個(gè)自由度。如：橋梁下的輥軸支座，如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。滾珠軸承等。AAAFAxFAyAAAAFAA3、支座簡(jiǎn)化、支座簡(jiǎn)化材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9固定端約束固定端約束 3個(gè)約束，個(gè)約束，0個(gè)自由度。個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。木樁下端的支座等。AFAyAFAxMA4 4、梁的三種基本形式、梁的三種基本形式懸臂梁懸臂梁q(x)分布荷載分布荷載M集中力偶集中力偶簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院10靜定梁：由靜力學(xué)

6、方程可求出全部約束力的梁，靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出全部約束力的梁， 如上述三種基本形式的靜定梁。如上述三種基本形式的靜定梁。靜不定梁：由靜力學(xué)方程不能求出全部約束力的梁。靜不定梁：由靜力學(xué)方程不能求出全部約束力的梁。外伸梁外伸梁M集中力集中力FMq均勻分布荷載均勻分布荷載F5、靜定梁與靜不定梁、靜定梁與靜不定梁材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院11一、彎曲內(nèi)力一、彎曲內(nèi)力解：求外力解：求外力=0 0=0 ()=0 xAxAByAyFFFaMFlF laFFl4.2 4.2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩FFAyFAxFBAB求內(nèi)力求內(nèi)力截面法截面法xmm如圖，已知：如圖，

7、已知：F，a，l。求距求距A端端x處截面上內(nèi)力。處截面上內(nèi)力。FalAB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院12S()=0 =0 yAyCAyF laFFFlMMFxM 彎曲構(gòu)件彎曲構(gòu)件 內(nèi)力內(nèi)力剪力剪力 FS彎矩彎矩 M2、彎矩：、彎矩：M 構(gòu)件受彎時(shí)，作用面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩。構(gòu)件受彎時(shí)，作用面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩。ACCBFAyFSFFBFSM1、剪力：、剪力：FS 構(gòu)件受彎時(shí)，作用線平行于橫截面的內(nèi)力。構(gòu)件受彎時(shí)，作用線平行于橫截面的內(nèi)力。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院133、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定剪力剪力FS：繞研究對(duì)象順時(shí)針

8、轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。：繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。彎矩彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形 的為負(fù)彎矩。的為負(fù)彎矩。FS(+)M(+)M(+)M()M()FS(+)FS()FS()材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院144、內(nèi)力大小的求法（按內(nèi)力大小的求法（按“設(shè)正法設(shè)正法” 畫圖）畫圖）某截面剪力的大小等于該截面一側(cè)（左或右）梁上某截面剪力的大小等于該截面一側(cè)（左或右）梁上 所有外力的代數(shù)和。即所有外力的代數(shù)和。即 S()FFFF 上下對(duì)截面左側(cè)梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的對(duì)截面左側(cè)梁而言，向上的外力引起正的

9、剪力，向下的外力引起負(fù)的剪力。右側(cè)則相反外力引起負(fù)的剪力。右側(cè)則相反q1FAMCq2F1FSM1S()FFFF 下上q3FBMCF2FSM2或或應(yīng)選外力比較簡(jiǎn)單的一側(cè)計(jì)算！應(yīng)選外力比較簡(jiǎn)單的一側(cè)計(jì)算！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院15某截面彎矩的大小等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)此截面某截面彎矩的大小等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)此截面 形心之矩的代數(shù)和。形心之矩的代數(shù)和。向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負(fù)的彎矩。向上的外力引起正的彎矩，向下的外力引起負(fù)的彎矩。 截面左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起正的彎矩，截面左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起正的彎矩，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起負(fù)的彎矩

10、，右側(cè)則相反。逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶引起負(fù)的彎矩，右側(cè)則相反。q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或或()()CCMMFMF上下+M順順M逆逆()()CCMMFMF上下+M逆逆M順順材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院163064.53018kN203030kNBAAyABBMFFqFFFFFqF S116kN2(2 1.5)30kN mAAFFFMFF S2B2B1.52kN1.51.51.531.5kN m2FqFMFq 解：解： 1、求約束力、求約束力2、計(jì)算、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力3、計(jì)算、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力F=12kNFAS1F1MF

11、Bq=12kN/mS2F2M求下圖所示簡(jiǎn)支梁求下圖所示簡(jiǎn)支梁1 1與與2 2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=12kNABFAFB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院17計(jì)算一個(gè)截面的內(nèi)力，可直接根據(jù)方程由外力寫出結(jié)果，而不計(jì)算一個(gè)截面的內(nèi)力，可直接根據(jù)方程由外力寫出結(jié)果，而不 必逐個(gè)作截面畫受力圖再列方程求解。必逐個(gè)作截面畫受力圖再列方程求解。求彎矩時(shí)不論取截面左側(cè)還是取截面右側(cè)，都是向上的外力引求彎矩時(shí)不論取截面左側(cè)還是取截面右側(cè)，都是向上的外力引 起正的彎矩，向下的外力引起負(fù)的彎矩，與求剪力不同。起正的彎矩

12、，向下的外力引起負(fù)的彎矩，與求剪力不同。二、剪力方程和彎矩方程二、剪力方程和彎矩方程 內(nèi)力圖內(nèi)力圖1、內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)、內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)(x)間的函數(shù)關(guān)系式。間的函數(shù)關(guān)系式。FS=FS (x) 剪力方程剪力方程M=M (x) 彎矩方程彎矩方程注意注意用方程表達(dá)內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律，其優(yōu)缺點(diǎn)是用方程表達(dá)內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律，其優(yōu)缺點(diǎn)是用積分法求彎曲變形需要列出彎矩方程；用積分法求彎曲變形需要列出彎矩方程；方程依賴于坐標(biāo)系，即同一段梁用不同坐標(biāo)系寫出的方程依賴于坐標(biāo)系，即同一段梁用不同坐標(biāo)系寫出的 方程不同。且內(nèi)力變化規(guī)律不直觀，不方便。方程不同。且內(nèi)力變化規(guī)律不直觀，不方

13、便。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院183、FS，M 圖圖(剪力圖與彎矩圖剪力圖與彎矩圖)的要求的要求 與梁的軸線對(duì)齊畫，并注明內(nèi)力性質(zhì)；與梁的軸線對(duì)齊畫，并注明內(nèi)力性質(zhì)； 正的剪力畫在梁的上方，負(fù)的剪力畫在梁的下方；正的剪力畫在梁的上方，負(fù)的剪力畫在梁的下方； 彎矩?zé)o論正負(fù)均畫在梁受拉的一側(cè)；彎矩?zé)o論正負(fù)均畫在梁受拉的一側(cè)； (即正的彎矩畫在梁的下方，負(fù)的彎矩畫在梁的上方即正的彎矩畫在梁的下方，負(fù)的彎矩畫在梁的上方) 標(biāo)明特殊截面內(nèi)力數(shù)值；標(biāo)明特殊截面內(nèi)力數(shù)值； 標(biāo)明內(nèi)力的正負(fù)號(hào)；標(biāo)明內(nèi)力的正負(fù)號(hào)； 注明內(nèi)力單位。注明內(nèi)力單位。2、剪力圖和彎矩圖、剪力圖和彎矩圖將內(nèi)力

14、方程畫成圖像，觀察內(nèi)力變化規(guī)律既唯一又直觀。將內(nèi)力方程畫成圖像，觀察內(nèi)力變化規(guī)律既唯一又直觀。剪力圖剪力圖 FS=FS (x)的圖線表示的圖線表示彎矩圖彎矩圖 M=M (x)的圖線表示的圖線表示材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院19解：解：1、求約束力、求約束力2qlFFBA2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程2( )222(0)AxqlxqxM xF xqxxlx圖示簡(jiǎn)支梁受集度為圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。的均布荷載作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。BlAqFBFAxAqFAFS(x)M(x)S( )(0)2AqlF xFqxqx

15、xlA截面：截面：x=0+，B截面：截面： x=l-材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院203、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖Smax2qlFql2FS圖圖S( )2qlF xqxql28l/2M圖圖 82maxqlM2( )22qlxqxM x BlAq材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院21解：解：1、求約束力、求約束力2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 需分兩段列出需分兩段列出ABFbFaFFllS( )(0)FbF xxal( )(0)FbM xxxal圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用，試作梁的剪力圖和彎矩圖。作用，

16、試作梁的剪力圖和彎矩圖。xBlAF abCFBFAAC段段FAxAM(x)FS(x)材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院22S( )()BFaF xFaxll( )()()()BFaM xF lxlxlaxlxBlAF abCFBFACB段段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院233、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖S1( )FbFxlS2( )FaFxl FS 圖圖FblFal2( )()FaMxlxl1( )FbMxxlM圖圖FablBlAF abC材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院242、列剪力

17、方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程解解: : 1、求約束力、求約束力( )( )ABMMFFll 剪力方程無(wú)需分段：剪力方程無(wú)需分段：S( )(0)AMF xFxll圖示簡(jiǎn)支梁受矩為圖示簡(jiǎn)支梁受矩為M 的集中力偶作用，作梁的剪力圖和彎矩圖。的集中力偶作用，作梁的剪力圖和彎矩圖。MBlACabFA FB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院25彎矩方程彎矩方程分分AC和和CB兩段兩段( )(0)AMM xF xxlxa( )()()MM xlxlaxl MBlACabFA FBAC段段FAxAM(x)FS(x)CB段段FBBFS(x)M(x)l-x材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木

18、工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院263、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖S( )MF xlFS圖圖lMlM圖圖MalMbMBlACab分析外力偶分別移到左右兩端時(shí)的內(nèi)力圖！并作總結(jié)！分析外力偶分別移到左右兩端時(shí)的內(nèi)力圖！并作總結(jié)！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院27 由剪力、彎矩圖知：在集中力偶由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。變值為集中力偶的大小。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，剪力圖為反對(duì)稱，彎矩圖為正對(duì)稱。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，剪力圖為反對(duì)稱，彎矩圖為正對(duì)稱。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，剪力圖為正對(duì)稱，彎矩圖

19、為反對(duì)稱。結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，剪力圖為正對(duì)稱，彎矩圖為反對(duì)稱。由剪力、彎矩圖知：在集中力作由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，剪力圖發(fā)生突變，其突變用點(diǎn)，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小。值等于集中力的大小。FabClABlFab/MlFb/lFa/FSFSMabClABMlM /lMa/lMb/材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院28剪力圖形狀：位于軸線上剪力圖形狀：位于軸線上最左端最左端的小球在外力作用下的小球在外力作用下升降升降或無(wú)或無(wú)外力作用下外力作用下平行于軸線移動(dòng)平行于軸線移動(dòng)到到軸線上最右端軸線上最右端所形成的軌跡。所形成的軌跡。簡(jiǎn)支梁受簡(jiǎn)單荷載作用

20、下的彎矩圖形狀：柔性體在荷載作用下簡(jiǎn)支梁受簡(jiǎn)單荷載作用下的彎矩圖形狀：柔性體在荷載作用下變形所形成的形狀。變形所形成的形狀。懸臂受簡(jiǎn)單荷載作用下的彎矩圖形狀懸臂受簡(jiǎn)單荷載作用下的彎矩圖形狀22qlFlqlABFlABMlABM特別要指出的是：左右端面的內(nèi)力等于相應(yīng)的外力！即端面特別要指出的是：左右端面的內(nèi)力等于相應(yīng)的外力！即端面彎矩等于外力偶，若無(wú)外力偶作用，則端面彎矩為零！彎矩等于外力偶，若無(wú)外力偶作用，則端面彎矩為零！材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院29三、三、 剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對(duì)對(duì)dx微段分析，由微段分析，由 F=0SSS(

21、 )( )d( ) d( )0F xq x xF xF xdxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAS( )dd( )q xxFx剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小于該點(diǎn)處荷載集度的大小d( )( )dF xq xxSq(x) 向上為正向上為正x坐標(biāo)向右為正坐標(biāo)向右為正材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院302S( )0 1( )d( )(d )( )( )d( )02AMFF xxq xxM xM xM x彎矩圖上某點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。彎矩

22、與荷載集度的關(guān)系是：彎矩與荷載集度的關(guān)系是：d( )( )dM xF xxS22d( )( )dMxq xxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院31 剪力、彎矩與分布荷載間的積分關(guān)系剪力、彎矩與分布荷載間的積分關(guān)系由微分關(guān)系積分得由微分關(guān)系積分得21S2S1()()( )dxxF xF xq xx2121S()()( )dxxM xM xF xx條件：條件： x1x2 ，且且 x1到到 x2 間無(wú)集中力作用。間無(wú)集中力作用。條件：條件： x1x2 ，且且x1到到x2間無(wú)集中力偶作用。間無(wú)集中力偶作用

23、。2121S()()( )dxxM xM xF xx即即用此式配合剪力圖面積可以跳躍式計(jì)算某截面的彎矩！用此式配合剪力圖面積可以跳躍式計(jì)算某截面的彎矩！x1到到x2間剪力圖面積間剪力圖面積材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力外力FS圖圖特特征征M圖圖特特征征無(wú)外力段無(wú)外力段q=0水平直線水平直線xFSFS 0FSFS 0q0材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33剪力圖和彎矩圖的定性分析剪力圖和彎矩圖的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力學(xué)材料力學(xué)

24、中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院34解解: :特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)端點(diǎn)；端點(diǎn)；分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)），分區(qū)點(diǎn)（外力變化點(diǎn)），即集中力（力偶）作用點(diǎn)，即集中力（力偶）作用點(diǎn)，分布力開(kāi)始和結(jié)束點(diǎn)等；分布力開(kāi)始和結(jié)束點(diǎn)等；駐點(diǎn)駐點(diǎn)( (剪力為零，彎矩取極值剪力為零，彎矩取極值) )。四、作內(nèi)力圖的簡(jiǎn)捷方法四、作內(nèi)力圖的簡(jiǎn)捷方法利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖的方法。利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖的方法。 用簡(jiǎn)捷作圖法畫圖示梁的內(nèi)力圖。用簡(jiǎn)捷作圖法畫圖示梁的內(nèi)力圖。aaqaqA材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院35Sd( )( )dM xF xx22d( )(

25、 )dMxq xx；線形：根據(jù)線形：根據(jù) ddFxq xxS及集中荷載點(diǎn)的規(guī)律確定及集中荷載點(diǎn)的規(guī)律確定。FSqa2Mqa2qa252qaaaqaqA材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院36解：求約束力解：求約束力M 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)：2S308FMqa ；3qa2/8 22ADqaqaFF；用簡(jiǎn)捷法畫簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。用簡(jiǎn)捷法畫簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。Dqqaqa2ABCaaaFAFDMqa2/2+qa2/2qa2/2FSqa/2+qa/2qa/2材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院37解：解： 求約束力求約束力kN8 . 3kN2 . 7BAFFFS3(kN)4.

26、2M(kNm)3.81.413+3.82.22.1mE+外伸梁外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁內(nèi)力圖。承受荷載如圖所示，作該梁內(nèi)力圖。DABC1m1m4m3kN2kN/m6kNmFAFB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院38畫出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力圖和彎矩圖畫出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力圖和彎矩圖1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mM=5kNmF=50kNMA FAyFByMA=96.5kN，F(xiàn)Ay=81kN，F(xiàn)By=29kN813129FS圖圖( (kN) )1.45 m96.515.53155345M圖圖( (kNm) )材料力學(xué)材料力學(xué)中南大

27、學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院39S12nS11S22Snn()()()()F FFFFFFFFF ， ，1212n12n()()()()nM FFFM FM FM F ， ，適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必須與荷載滿適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必須與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足虎克定律。五、按疊加原理作彎矩圖五、按疊加原理作彎矩圖1、疊加原理：、疊加原理： 多個(gè)荷載同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)荷載單獨(dú)多個(gè)荷載同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起內(nèi)力的代數(shù)和。作用于結(jié)構(gòu)而引起內(nèi)力的代數(shù)和。材料力學(xué)

28、材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院402、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理 疊加方法疊加方法步驟：步驟： 分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖； 將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形 的簡(jiǎn)單拼湊）。的簡(jiǎn)單拼湊）。3、對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用、對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下，F(xiàn)S圖反對(duì)稱，圖反對(duì)稱，M圖對(duì)稱；圖對(duì)稱；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下， FS圖對(duì)稱，圖對(duì)稱，M圖反對(duì)稱。圖

29、反對(duì)稱。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院41 =+FABqABM12F a=+M222qa+M222Faqa按疊加原理作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖按疊加原理作圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。qFABaa材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院42+FlMFFlllFllFlll0.5FlM20.5Fl+M10.5Fl+材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院432/FlM2/Fl/2Fl4/Fl（1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等)為控為控制截面，求出控

30、制截面的彎矩制截面，求出控制截面的彎矩值。值。 （2）分段畫彎矩圖。當(dāng)控）分段畫彎矩圖。當(dāng)控制截面之間無(wú)荷載時(shí)，該段彎制截面之間無(wú)荷載時(shí)，該段彎矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面矩圖是直線圖形。當(dāng)控制截面之間有荷載時(shí)，用疊加法作該之間有荷載時(shí)，用疊加法作該段的彎矩圖。段的彎矩圖。利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖利用內(nèi)力圖的特性和彎矩圖疊加法，將梁彎矩圖的一般疊加法，將梁彎矩圖的一般作法作法歸納如下歸納如下：2FCl/2ABFl/2l/2材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院44區(qū)段疊加法作彎矩圖區(qū)段疊加法作彎矩圖 設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載荷載q與端部力偶與端部力偶MA、M

31、B的的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力偶作用下的直線彎受端部力偶作用下的直線彎矩圖與跨間荷載矩圖與跨間荷載q單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即0( )( )( )M xM xMxBMBAqMAl注意：中間數(shù)值不一定注意：中間數(shù)值不一定是該段拋物線的極值！是該段拋物線的極值！+MBMA( )M x+MBMAql2/8中間值中間值+ql2/80( )Mx材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院45FS圖圖5qa/3qa/38a/34qa2/3M圖圖qa2/185qa2/3作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。B

32、3aACMe =3qa2aq解：支座約束力為：解：支座約束力為：5133ABFqaFqaFAFB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4649qa2/325qa2/4744ABqaqaFF；改內(nèi)力圖之錯(cuò)。改內(nèi)力圖之錯(cuò)。7qa/4FSM+qa/4qa/43qa/4qa2/4qBAa2aaqa23qa2/2材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院475kN1kNq=2kN/mM(kNm)+111.25已知已知FS圖，作外荷載圖及彎矩圖（梁上無(wú)集中力偶）。圖，作外荷載圖及彎矩圖（梁上無(wú)集中力偶）。FS(kN)1m1m2m231+材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中

33、南大學(xué)土木工程學(xué)院48qlqqlq作圖示斜梁的彎矩圖作圖示斜梁的彎矩圖28ql28ql彎矩方程為彎矩方程為2()22qlqMxxxxx彎矩方程為彎矩方程為2cos()2cos2qlxqMxxqq2qlcos2qlq0qlsinq均布荷載按水平尺寸計(jì)算均布荷載按水平尺寸計(jì)算材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4928cosqlqqlqqlqx彎矩方程為彎矩方程為2( )2coscos21()22cosqlxxM xxqqlqxxqqq 28cosqlqx彎矩方程為彎矩方程為2( )2 coscos21()22cosqlxxxM xqqlqxxqqq 2cosqlq02qlql

34、tanq均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院50條件：完全等價(jià)條件：完全等價(jià)必須滿足必須滿足12coslqlqqq1lq218q lx均布荷載按水平尺寸計(jì)算均布荷載按水平尺寸計(jì)算228cosq lqq2lqx均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算均布荷載按桿軸線尺寸計(jì)算即即21cosqqq材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院511、平面剛架：同一平面內(nèi)不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互、平面剛架：同一平面內(nèi)不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互 剛性連接剛性連接(變形后夾角不變變形后夾角不變)而組成的結(jié)構(gòu)。而組成的結(jié)構(gòu)。 特特 點(diǎn)：剛架

35、各桿的內(nèi)力通常有：點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力通常有： FN、 FS 、M 。2、內(nèi)力圖規(guī)定、內(nèi)力圖規(guī)定 彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。 剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)(通常正值通常正值畫在剛架的外側(cè)畫在剛架的外側(cè))，但須注明正、負(fù)號(hào)。，但須注明正、負(fù)號(hào)。 4.3 4.3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架一、平面剛架3、內(nèi)力圖畫法、內(nèi)力圖畫法 可將可將剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)視為視為固定端固定端，剛架由不同取向的懸臂梁組成。，剛架由不同取向的懸臂梁組成。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

36、中南大學(xué)土木工程學(xué)院52F2+FS圖圖F1+FN 圖圖F1F1aM 圖圖F1aF1a+F2 ll試作圖示剛架的內(nèi)力圖。試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2aABC材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院532qaFN圖圖2qa2qaFS圖圖2qa26qa2M圖圖試作圖示剛架的內(nèi)力圖。試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F=2qa BCA2aa2aDq材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院54二、平面曲桿二、平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿件：軸線為一平面曲線的桿件。 內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。如圖所示，已知如圖所示，已知F及及R ，試?yán)L制，

37、試?yán)L制M 、 FS 、 FN 圖。圖。OFRqmmx解：建立極坐標(biāo)，解：建立極坐標(biāo)，O為極點(diǎn)，為極點(diǎn)，OB 極軸，極軸，q q表示截面表示截面mm的位置。的位置。( )(cos )(1 cos ) (0)MFxF RRFRqqqq N( )cos (0)FFqq S( )sin (0)FFqq AB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院55OFRq qmmxABABOM圖圖OO+FS圖圖FN 圖圖2FRFF+( )(cos )(1 cos ) (0)MFxF RRFRqqqq S( )sin (0)FFqq N( )cos (0)FFqq 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

38、中南大學(xué)土木工程學(xué)院56qABFFlxxC起吊一根自重為起吊一根自重為q(N/m)的等截面梁。起吊點(diǎn)位置的等截面梁。起吊點(diǎn)位置x應(yīng)為多少才最合理？應(yīng)為多少才最合理？提示：使梁的最大正彎矩與提示：使梁的最大正彎矩與最大負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等。最大負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等。解：解：22AqxM 2()( )()22 2222 4Clqlqlll lMFxxqACMM22440 xlxl122xl 0.207xlx為負(fù)值無(wú)意義為負(fù)值無(wú)意義取取材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院571 1、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力MFSFSt t切應(yīng)力切應(yīng)力t t內(nèi)力內(nèi)力剪力剪力FS彎

39、矩彎矩M正應(yīng)力正應(yīng)力s sMs s4.4 4.4 平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力剪力是位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力系的合力，而剪力只與切應(yīng)力剪力是位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力系的合力，而剪力只與切應(yīng)力t t有關(guān)。彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩；彎矩有關(guān)。彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩；彎矩M只只與橫截面上的正應(yīng)力與橫截面上的正應(yīng)力s s有關(guān)。有關(guān)。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院58純純 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)彎彎 有剪力時(shí)，該段梁的變形有剪力時(shí)，該段梁的變形曲曲 稱為純彎曲，如稱為純彎曲，如AB段。段。MM橫力彎曲橫力彎曲 某段

40、梁的內(nèi)力既有彎矩，又某段梁的內(nèi)力既有彎矩，又有剪力時(shí)，該段梁的變形稱有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為橫力彎曲，如為橫力彎曲，如AB以外段。以外段。 FFaaABFSMFFFa材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院592 2、研究方法、研究方法平面彎曲平面彎曲取縱向?qū)ΨQ面研究取縱向?qū)ΨQ面研究FA AFFB對(duì)稱軸對(duì)稱軸縱對(duì)稱面縱對(duì)稱面FB F縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面F材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院601、梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)（一）變形幾何規(guī)律（一）變形幾何規(guī)律一、純彎曲時(shí)梁橫截面一、純彎曲時(shí)梁橫截面 上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性

41、軸中性軸ababMeMe 橫向線橫向線( (ab、ab）變形）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上面縱向線變?yōu)榍€，且上面壓縮，下面伸長(zhǎng)；各縱向壓縮，下面伸長(zhǎng)；各縱向線間距不變。橫向線與縱線間距不變。橫向線與縱向線變形后仍正交。向線變形后仍正交。bbaa材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院612、兩個(gè)概念、兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層縱向線段既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而縱向中性層：梁內(nèi)一層縱向線段既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而縱向線段不受正應(yīng)力作用，此層縱向線段構(gòu)成中性層。線段不受正應(yīng)力作用，此層縱向線段構(gòu)成中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性軸：中性層

42、與橫截面的交線。中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸意意 中性層將梁分成兩個(gè)上下區(qū)域：凹側(cè)縱向線段受壓縮短，中性層將梁分成兩個(gè)上下區(qū)域：凹側(cè)縱向線段受壓縮短， 凸側(cè)縱向線段受拉伸長(zhǎng)。而中性軸上的正應(yīng)義力為零。凸側(cè)縱向線段受拉伸長(zhǎng)。而中性軸上的正應(yīng)義力為零。義義 彎曲變形可看作是橫截面繞自己的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。彎曲變形可看作是橫截面繞自己的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院623、推論推論平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面平面，只是繞中性軸發(fā)生，只是繞中性軸發(fā)生 轉(zhuǎn)動(dòng)，與中性層平行平面的各縱向線段變形相等。轉(zhuǎn)動(dòng)，與中性層平行平面的各縱向線

43、段變形相等。橫截面上只有正應(yīng)力。橫截面上只有正應(yīng)力。 y 軸軸縱對(duì)稱軸縱對(duì)稱軸 z 軸軸中性軸中性軸 y y 坐標(biāo)相同的點(diǎn)所在縱向線段坐標(biāo)相同的點(diǎn)所在縱向線段變形相同，因而應(yīng)力相同，所以變形相同，因而應(yīng)力相同，所以s s x= ss(y)橫截面橫截面 yz材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院634、幾何方程、幾何方程b1MMmmnnaabbr中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑Cbbr ryO1O2dq qdxmmnn放放大大qrdd21xOO中性層縱向線段變性前后長(zhǎng)度不變中性層縱向線段變性前后長(zhǎng)度不變1211212xbbOObbyOOOOr變性后長(zhǎng)度變性后長(zhǎng)度()dbbyrq

44、mabmanbndx材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院64（二）物理關(guān)系（二）物理關(guān)系假設(shè)：各縱向線段之間的距離不變，因而縱向線段互不假設(shè)：各縱向線段之間的距離不變，因而縱向線段互不 擠壓，即沒(méi)有垂直于軸線的正應(yīng)力。于是，任意擠壓，即沒(méi)有垂直于軸線的正應(yīng)力。于是，任意 一點(diǎn)均處于一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)。 xxEyEssrs sxs sx即橫截面上的正應(yīng)力即橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。向按直線規(guī)律變化。s stmax Ms scmax材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院65（三）靜力學(xué)關(guān)系（三）靜力學(xué)

45、關(guān)系0dNAAFsrsyEE0drrzAESAyE0dAyAzMs0drryzAEIAyzE0yzI對(duì)稱彎曲時(shí)對(duì)稱彎曲時(shí)y軸為對(duì)稱軸，此條件自動(dòng)滿足。軸為對(duì)稱軸，此條件自動(dòng)滿足。有以上分析可知，有以上分析可知，y、z軸為形心主慣性軸！軸為形心主慣性軸！得得 Sz=0，即中性軸，即中性軸z必過(guò)截面形心，必過(guò)截面形心，所以中性軸一定是形心軸。所以中性軸一定是形心軸。zOyzdA s sdAyx材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院66MAyMAzdsMEIAyEzArrd21zMEIr得得這是純彎梁變形時(shí)中性層曲率的表達(dá)式。這是純彎梁變形時(shí)中性層曲率的表達(dá)式。其中其中EIz稱為梁

46、的稱為梁的抗彎剛度抗彎剛度。rsyEE代入上式代入上式zOyzdA s sdAyx材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院67 彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式rsyEEzEIMr1ZMyIs 彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，中性軸上為彎曲正應(yīng)力沿截面高度線性分布，中性軸上為零，距中性軸越遠(yuǎn)，數(shù)值越大。零，距中性軸越遠(yuǎn)，數(shù)值越大。橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。s smax M材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院68當(dāng)中性軸當(dāng)中性軸 z 不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)t,ma

47、xc,maxt,maxc,maxzzMyMyIIsst,maxsc,maxsOzyyt,maxyc,max材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院69 當(dāng)中性軸當(dāng)中性軸 z 為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)maxmaxmaxzzzMyMMIWIys稱為抗彎截面系數(shù)稱為抗彎截面系數(shù)(模量模量)，單位：，單位：m3 或或mm3。中性軸為對(duì)稱軸時(shí)才有，中性軸不是對(duì)稱軸時(shí)不存在。中性軸為對(duì)稱軸時(shí)才有，中性軸不是對(duì)稱軸時(shí)不存在。根據(jù)變形來(lái)判斷最大拉根據(jù)變形來(lái)判斷最大拉壓應(yīng)力，其數(shù)值相等。壓應(yīng)力，其數(shù)值相等。s smax Mzybhyzd材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木

48、工程學(xué)院70簡(jiǎn)單截面的抗彎截面系數(shù)簡(jiǎn)單截面的抗彎截面系數(shù)3212/26zzzIbhbhIWh3212/26yyyIb hb hIWb644dIIyz322/2/3ddIdIWWyzyz 矩形截面矩形截面zybh 圓形截面圓形截面yzd材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院71(4) 型鋼截面：參見(jiàn)型鋼表型鋼截面：參見(jiàn)型鋼表444416464zyDIIDdyzzWDDIW431322/dD式中式中 空心圓截面空心圓截面DOdyz材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院72橫力彎曲時(shí)：橫力彎曲時(shí)：由于切應(yīng)力的存在使梁的橫截面發(fā)生翹曲；由于切應(yīng)力的存在使梁的橫截面發(fā)

49、生翹曲；橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。 平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。二、橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力二、橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1、橫力彎曲變形特點(diǎn)、橫力彎曲變形特點(diǎn)2、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力Fq 采用純彎曲正應(yīng)力公式，當(dāng)梁的跨高比采用純彎曲正應(yīng)力公式，當(dāng)梁的跨高比 l / h5 時(shí)，誤差時(shí)，誤差d d 1%1%，因此，對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，無(wú)論純彎曲還是橫力彎曲，橫截，因此，對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，無(wú)論純彎曲還是橫力彎曲，橫截面上的正應(yīng)力都可用下式計(jì)算：面上的正應(yīng)力都可用下式計(jì)算：ZMyIs材

50、料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院73 解：解：1、作彎矩圖如上、作彎矩圖如上M圖圖mkN3754maxFlM375KNm2、查型鋼表得、查型鋼表得4365585cm2342 cmzzIW56號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼圖示簡(jiǎn)支梁由圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力正應(yīng)力s smax 和同一橫截面上翼緣與腹板交界處和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力點(diǎn)處的正應(yīng)力s sa 。B5m10mAF C12.521166560za材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院74MPa160mm

51、102342mmN10375336maxmaxzWMsmax644560375 10 N mm21 mm2148 MPa65585 10 mmaazMyIs3、求正應(yīng)力為、求正應(yīng)力為12.521166560za材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院75120 20 1020 120206045mm120 2020 120Cy解：解：1、確定截面形心位置確定截面形心位置 選參考坐標(biāo)系選參考坐標(biāo)系yoz 如圖示，將截面分解為如圖示，將截面分解為I I和和IIII兩部分，兩部分， 形心形心C 的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為: :如圖所示懸臂梁，自由端承受集中荷載如圖所示懸臂梁，自由端承受集中

52、荷載F=15kN作用。試計(jì)算截面作用。試計(jì)算截面BB的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。400BBF2012020120IIIzCzyyCO材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院763264120201202045 103.02 10 mm12zI2、計(jì)算截面慣性矩計(jì)算截面慣性矩326420 12020 12080455.82 10 mm12zI66643.02 105.08 108.84 10 mmzI 3、計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力 截面截面BB的彎矩為的彎矩為MB=6kNm 在截面在截面B的上、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其的上、

53、下邊緣，分別作用有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值分別為：值分別為：7t,max-67c,max-66000 0.0453.05 10 Pa30.5MPa8.84 1060000.120.020.0456.45 10 Pa64.5MPa8.84 102012020120IIIzCzyyCO材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院771、兩點(diǎn)假設(shè)、兩點(diǎn)假設(shè) 切應(yīng)力與剪力平行；切應(yīng)力與剪力平行；與中性軸等距離處，與中性軸等距離處， 切應(yīng)力相等。切應(yīng)力相等。 2、研究方法：分離體平衡。、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖在梁上取微段如圖1；N2N11(d )0 xFFFbxtdxx

54、FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx圖圖1圖圖2xyzFN2t t1t tbFN1在微段上取一塊如圖在微段上取一塊如圖2，平衡，平衡4.5 4.5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力一、一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院78N1ddzAAzzMSMFAAIIsN 2(d)zzMMSFIN 2N1S1dddzzzzFFF SSMb xx I bI bt由切應(yīng)力互等定理由切應(yīng)力互等定理S1( )zzF SyI bttt其中其中Sz* 為為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸

55、之靜矩；M(x)+dM(x)dxxFS(x)+dFS(x)M(x)FS(x)dx圖圖1圖圖2xyzFN2t t1t tbFN1N2N11(d )0 xFFFbxt材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院79SzzF SI bt FS 整個(gè)橫截面的剪力整個(gè)橫截面的剪力 Sz計(jì)算點(diǎn)外側(cè)面積計(jì)算點(diǎn)外側(cè)面積A對(duì)對(duì) 中性軸的靜矩中性軸的靜矩Iz整個(gè)截面對(duì)中性軸的形心整個(gè)截面對(duì)中性軸的形心 主慣性矩主慣性矩 b計(jì)算點(diǎn)處截面計(jì)算點(diǎn)處截面有效寬度有效寬度 yFSyzhbt tA箱形截面有箱形截面有效寬度效寬度b=2d dd dd dB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院80

56、22122224zhhbhSbyyy2hy （上、下邊緣上、下邊緣）t = 0y = 0（中性軸）（中性軸）Smax32FAt22SS24zzzF SFhyI bIt3、矩形截面切應(yīng)力的分布、矩形截面切應(yīng)力的分布hzyybt tt t 沿截面高度按拋物線規(guī)律分布沿截面高度按拋物線規(guī)律分布t tmaxzyOt tmax材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院811、腹板上的切應(yīng)力、腹板上的切應(yīng)力yyhdyhhbSz22/222*dddd22222yhdhbddd二、二、工字形工字形截面梁截面梁yd dhzOdbt tys s dAzyOA*dxt tt txSzzF SI dt材

57、料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8222*222yhdhbSzddd腹板與翼緣交界處腹板與翼緣交界處Sz*最小，切應(yīng)力取最小值最小，切應(yīng)力取最小值Smin2zFbhI ddtd中性軸處中性軸處Sz*最大，切應(yīng)力取最大值最大，切應(yīng)力取最大值2*SmaxSmax222zzzF SFbdhhI dI ddtdd，t tmaxt tmint tmaxzyO材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院832、翼緣上的切應(yīng)力、翼緣上的切應(yīng)力因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無(wú)切應(yīng)力，因?yàn)橐砭壍纳稀⑾卤砻鏌o(wú)切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平行于所以翼緣上、下邊緣處平行于y 軸的軸的切應(yīng)力為零

58、。切應(yīng)力為零。( (1) )平行于平行于y軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力可見(jiàn)翼緣上平行于可見(jiàn)翼緣上平行于y軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。S1S1d0.9AFAFt計(jì)算表明，工字形截面梁的腹板承計(jì)算表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力擔(dān)的剪力yd dhzOdbt ty材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院84*S1zzF SItd SS11222zzFFhhIIdttddd*N2N11ddzzMFFSxIt dd d *N1F*N2Ft t1 1t t1 1dxA*( (2) )垂直于垂直于y軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力yd dhzOdbt t1y材料力學(xué)材料

59、力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院85即翼緣上垂直于即翼緣上垂直于y軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力隨隨 按線性規(guī)律變化。按線性規(guī)律變化。S12zFhItd 且通過(guò)類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下且通過(guò)類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)力流切應(yīng)力流”。t tmaxzyOt tmaxt tmint t1max材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院86三、圓截面梁三、圓截面梁*S( )zyzF SI b yt關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：關(guān)于其切應(yīng)力分布的假設(shè)：1、離中性軸為任意距離、離中性軸為任意距

60、離y的水平直線的水平直線段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)；段上各點(diǎn)處的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)；2、這些切應(yīng)力沿、這些切應(yīng)力沿 y方向的分量方向的分量t ty沿寬沿寬度相等。度相等。切應(yīng)力的分布特征：邊緣各點(diǎn)切應(yīng)切應(yīng)力的分布特征：邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力的方向與圓周相切；力的方向與圓周相切；切應(yīng)力分布切應(yīng)力分布與與y 軸對(duì)稱；與軸對(duì)稱；與y軸相交各點(diǎn)處的切軸相交各點(diǎn)處的切應(yīng)力其方向與應(yīng)力其方向與y軸一致。軸一致。zyOt tmaxkkOd材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院87*SmaxzzF SI dtSS244334FFAd2S41224364ddFdd最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力t tmax 在中