概率論與數(shù)理統(tǒng)計 許承德 習(xí)題五答案

1、習(xí) 題 五 1假設(shè)有10只同種電器元件，其中兩只廢品，從這批元件中任取一只，如果是廢品，則扔掉重新取一只，如仍是廢品，則扔掉再取一只，試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。 解 設(shè)為已取出的廢品只數(shù)，則的分布為 即 所以 ， 2假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若1周5個工作日里無故障，可獲利10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利5萬元，發(fā)生兩次故障所獲利潤零元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求1周內(nèi)期望利潤是多少？ 解 設(shè)一周所獲利潤為（萬元），則的可能值為. 又設(shè)為機(jī)器一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，則，于是， 類似地可求出的分布為 所以一周內(nèi)的

2、期望利潤為 （萬元） 3假設(shè)自動線加工的某種零件的內(nèi)徑（毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤（元）與零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系： 問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大. 解 即 兩邊取對數(shù)得 即 .時，平均利潤最大. 4從學(xué)校到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望. 解 ，分布律為即 的分布函數(shù)為 5設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布列為 ，求與 解1 其中 由函數(shù)的冪級數(shù)展開有 ，所以 因為 ，所以 解2 設(shè) （

3、1）則 （2）（1）（2）得，所以，從而，得 . ， ， ，于是 ，所以 ，故得的方差為 6設(shè)隨機(jī)變量分別具有下列概率密度，求其數(shù)學(xué)期望和方差. （1）； （2） （3） （4） 解 （1），（因為被積函數(shù)為奇函數(shù)） （2） . （3） , ，所以 . （4）, ,所以 . 7在習(xí)題三第4題中求 解 因的分布為 所以 . 8設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 已知，求 （1）的值 （2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差. 解 （1） ， ，解方程組 得 ， ， . （2）， . 9游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個整點(diǎn)的第5分鐘，25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第分鐘到達(dá)底層候梯處，且

4、在上均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)候梯時間為，則 .10設(shè)某種商品每周的需求量是服從區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨量為區(qū)間中的某一個整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最小進(jìn)貨量。 解 設(shè)商店獲得的利潤為，進(jìn)貨量為，則 由題意 即.解不等式得 ，即使利潤的期望值不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21個單位. 11設(shè)與同分布，且的概率密度為 （1）已知事件和事件獨(dú)立，且，求常數(shù)； （2）求。 解 （1） ，即有

5、方程 即 ，可見 或 ，解之得 或（不合題意） 故 . （2）. 12于習(xí)題四第15題中求的數(shù)學(xué)期望. 解 的分布為 （1）求（2）設(shè)，求（3）設(shè)，求 13設(shè)的分布律為YX10112300 解 （1） ； （2） ； （3） .或 或，先求的分布 . 14設(shè)離散型二維隨機(jī)變量在點(diǎn)取值的概率均為，求 解 ， ，所以 ； ； 15設(shè)的概率密度為 求的數(shù)學(xué)期望. 解 16設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 y0x求. 解 ； ； ； ，于是 ；故 17假設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，隨機(jī)變量 求（1）的聯(lián)合分布，（2）. 解 （1）的分布：X2X1 ， ， （2）. 18設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的所有可能值在區(qū)間

6、之內(nèi)，證明： （1）； （2） 證 （1）因為，所以，即； （2）因為對于任意的常數(shù)有 ，取 ，則有 19一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨量與顧客對該種商品的需求量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間上的均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進(jìn)貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品獲利潤500元，試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值。D2 D1y201020100x 解 設(shè)為一周內(nèi)所得利潤，則 其中所以 （元）. 20設(shè)是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 求 解 ， （注：因為參數(shù)為1的指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為1，而是前指數(shù)分布向右平移了5個單位，所以）

7、 因獨(dú)立，所以 . 今求 方法1 . 方法2 利用公式：當(dāng)獨(dú)立時 21在長為的線段上任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離的期望和方差. 解 以線段的左端點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，任取兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則它們均在上服從均勻分布，且相互獨(dú)立. 所以 . 22設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且服從均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）為的正態(tài)分布，而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的概率密度. 解 因為相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布，所以其中 所以的概率密度為 ， 23設(shè)是兩個相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，求與. 解1 ； ；所以 . 注意：從上面的解題過程看，計算相當(dāng)麻煩，下面給出一種簡單的計算方法： 解2 設(shè)，則 ； ，所以.

8、 24設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從分布，試證 證1 令，則仍相互獨(dú)立且均服從于是 從而 ，所以 ；同理可證 證2 如上所設(shè)，令，則 利用23題的結(jié)果得 由公式 得 ； . 25（超幾何分布的數(shù)學(xué)期望）設(shè)件產(chǎn)品中有件次品，從中任取件進(jìn)行檢查，求查得的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)則 ， 的分布為 ，則 故 注：（1）的分布為，所以的期望為 ，由上面的計算得. （2）若表示次有放回地抽取所得次品數(shù)，則，此時，這與超幾何分布的期望相同。 26對三臺儀器進(jìn)行檢驗，各臺儀器產(chǎn)生故障的概率分別為，求產(chǎn)生故障儀器的臺數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。 解1 的分布為 由此計算和相當(dāng)麻繁，我們利用期望的性質(zhì)進(jìn)行計算。 設(shè) 的

9、分布如下： 于是 故 ；. 27袋中有張卡片，分別記有號碼，從中有放回地抽取張來，以表示所得號碼之和，求. 解 設(shè)為第張的號碼，則 的分布為 則 ， 所以 ，. 28將只球（編號為隨機(jī)地放入只盒子（編號為）中去，一只盒放一只球。將一只球放入與球同號的盒子算作一個配對，記為配對的個數(shù)，求. 解 設(shè)則 的分布為 ， . 29從10雙不同的鞋子中任取8只，記為這8只鞋子中成雙的對數(shù)，求。 解 的分布為 即 故 . 30已知，求及. 解 31設(shè)為三個隨機(jī)變量，且 ，若求. 解 32設(shè)是三個兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望全為零，方差都是1，求和的相關(guān)系數(shù). 解 .所以與的相關(guān)系數(shù)為 33某箱裝有100件

10、產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80，10和10件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記試求：（1）隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布；（2）隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù). 解 （1）的分布X2X1 所以的相關(guān)系數(shù)為 34設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，記0xyx=2yx=y 求：（1）和的聯(lián)合分布；（2）和的相關(guān)系數(shù). 解 （1）， ， ， VU即的概率分布為 （2）， ， ， 所以的相關(guān)系數(shù)為 . 35設(shè)與為具有二階矩的隨機(jī)變量，且設(shè)，求使達(dá)到最小值，并證明 解 ， ， .解方程組 得 ，此時 36設(shè)隨機(jī)變量和在圓城上服從均勻分布，（1）求和的相關(guān)系數(shù)；（2）問是否獨(dú)立？為什么？ 解 的密度為 （1） 故 的相關(guān)系數(shù). （

11、2）關(guān)于的邊緣密度為 關(guān)于的邊緣密度的 因為，所以不獨(dú)立. 37設(shè)是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量 試證明隨機(jī)變量和不相關(guān)的充分必要條件是與相互獨(dú)立. 證 若獨(dú)立，則與獨(dú)立，當(dāng)然與不相關(guān)，充分性得證，今證必要性設(shè)與不相關(guān)，即. 因為 ，所以 ，從而有 ，故與獨(dú)立。 38設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試證明與不相關(guān)，也不獨(dú)立. 證 （此乃因為是奇函數(shù)） 所以，即與不相關(guān)。今證與不獨(dú)立，用反證法. 假定與獨(dú)立，則對任意的正數(shù)有但 而，所以出現(xiàn)矛盾，故與不獨(dú)立。 39設(shè)為二維正態(tài)變量，求的概率密度. 解 的相關(guān)系數(shù)為，所以的密度為 40設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 ，其中和都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對應(yīng)的二維隨機(jī)變

12、量的相關(guān)系數(shù)分別為和，它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是零，方差都是1。 （1）求隨機(jī)變量和的密度函數(shù)和，及和的相關(guān)系數(shù)（可以直接利用二維正態(tài)密度的性質(zhì)）。 （2）問是否獨(dú)立？為什么？ 解 （1） ，.同理 ， 因為，所以和的相關(guān)系數(shù)為 ； （2）因為的密度為 而邊緣密度的乘積為 所以不獨(dú)立. 41設(shè)為隨機(jī)變量，存在，試證明：對任意有 證 若為離散型，其概率分布為則 ； 若為連續(xù)型，其概率密度為，則 42若，利用切比雪夫不等式估計概率. 解 由切比雪夫不等式 43給定，利用切比雪夫不等式估計。 解 44用切比雪夫不等式確定，擲一均質(zhì)硬幣時，需擲多少次，才能保證正面出現(xiàn)的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9. 解 設(shè)需擲次，正面出現(xiàn)的次數(shù)為，則，依題意應(yīng)有 而 所以 . 45若隨機(jī)變量序列滿足條件 試證明服從大數(shù)定律. 證：由切比雪夫不等式，對任意的有 所以對任意的 故服從大數(shù)定律。 46設(shè)有30個電子器件，它們的使用情況如下：損壞，立即使用；損壞，立即使用等等，設(shè)器件的壽命服從參數(shù)為小時的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，令為