2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題專練32—橢圓（4）

1、2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題專練32橢圓（4）1直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率是ABCD解：如圖所示：對直線，令，解得，令，解得，故，則，設(shè)，則，而，則，解得，點(diǎn)又在橢圓上，所以，整理得，所以，所以故選：2已知橢圓的上頂點(diǎn)為，、為橢圓上異于的兩點(diǎn)，且，則直線過定點(diǎn)AB，CD解：因?yàn)椋?，所以直線斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消得，又，整理得，即，所以，代入得：，整理得得，所以直線過定點(diǎn)故選：3已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，若，的平分線分別交軸于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為ABCD解：如下圖所示：因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，又，所以因?yàn)椋謩e為

2、，的平分線，所以，所以由題意可知，點(diǎn)，則由，可得，即，在等式的兩邊同時(shí)除以，可得，因?yàn)?，解得故選：4如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，記橢圓的離心率為，則ABCD解：，則，直線，與橢圓方程聯(lián)立，可得，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即，由，得，即，整理為：，則，即，解得或（舍去）故選：5已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為和，是橢圓上不同于，的一點(diǎn)設(shè)直線，的斜率分別為，則當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓的離心率為ABCD解：，設(shè)，則，則，則令，故時(shí)，取最小值，橢圓的離心率為故選：6卡西尼卵形線是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的在數(shù)學(xué)史上，同一平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離之積為

3、常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線已知卡西尼卵形線是中心對稱圖形且有唯一的對稱中心若某卡西尼卵形線兩焦點(diǎn)間的距離為2，且上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積為1，則上的點(diǎn)到其對稱中心距離的最大值為A1BCD2解：設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則，化簡得該卡西尼卵形線的方程為，顯然其對稱中心為由得，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以該卡西尼卵形線上的點(diǎn)到其對稱中心距離的最大值為故選：7已知橢圓上有三個點(diǎn)、，的中點(diǎn)分別為、，的斜率都存在且不為0，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），則A1BCD解：如圖，設(shè)，則，兩式作差得，即同理可得，故選：8已知點(diǎn)為橢圓的左

4、頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，、在橢圓上，四邊形為平行四邊形為坐標(biāo)原點(diǎn)），過直線上一點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，若面積的最小值大于，則橢圓的離心率的取值范圍是ABCD解：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入橢圓的方程得，解得，則，解得，當(dāng)，可得，所以直線的方程為，化簡可得，所以即為點(diǎn)到直線的距離，所以，所以，整理得，故，所以，所以，所以舍去）或，所以的取值范圍為，故選：2、 多選題9如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道上繞月飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道上繞月飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行，設(shè)圓形軌道的半徑為，圓形

5、軌道的半徑為，則A橢圓軌道上任意兩點(diǎn)距離最大為B橢圓軌道的焦距為C若不變，則越大，橢圓軌道的短軸越短D若不變，則越小橢圓軌道的離心率越大解：由題可知橢圓軌道的半徑為，為橢圓，設(shè)為，所以，為圓形軌道，半徑為，所以，對于：由題可知橢圓上任意兩點(diǎn)最大距離為，故不正確；對于：橢圓的焦距為，得，故正確；對于：由得，所以，若不變，越大，越大，故不正確；對于，不變，越小，越大，越小，則越大，故正確故選：10已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長軸長恰與圓的直徑長相等，則下列說法正確的是A橢圓的焦距為2B橢圓的短軸長為C的最小值為D過點(diǎn)的圓的切線斜率為解：

6、對于：因?yàn)闄E圓的長軸長與圓的直徑長相等，所以，即，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，所以，所以，解得或5，因?yàn)椋?，即橢圓的焦距為，故正確，對于：由，所以橢圓的短軸長為，故錯誤，對于，故錯誤，對于：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則，解得，故正確，故選：11如圖，已知橢圓，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，連接，并延長分別交于，兩點(diǎn)，連接，與的面積分別記為，則下列命題：若記直線，的斜率分別為，則的大小是定值的面積是定值1線段，長度的平方和是定值5設(shè)，則其中正確的命題有ABCD解：，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得：，設(shè)，則，正確設(shè)直線的方程為：，由對稱性令，代入橢圓的方程得：，同理可得，點(diǎn)到直線的距離，

7、正確，正確，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立不正確故選：12已知橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)分別為、，直線與交于、兩點(diǎn)，軸，垂足為，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是A若，則的面積為B四邊形，可能為矩形C直線的斜率為D若與、兩點(diǎn)不重合，則直線和斜率之積為解：由橢圓，得，在中，由余弦定理可得，即，解得，故錯誤；若四邊形為矩形，則，即，即，聯(lián)立，得，得，即，得，該方程有實(shí)根，故正確；由，得，由對稱性，不妨設(shè)，得，則，則，故正確；，所在直線方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，即得，故，則，故錯誤故選：3、 填空題13設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為解：的外接圓的半徑，

8、由正弦定理，所以，又由于，所以，在中，由余弦定理可得，而，所以，所以可得：，由三角形的面積相等可得：，所以，所以，整理可得：，解得或，故答案為：14已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過的下頂點(diǎn)和的直線與的另一交點(diǎn)為，若，則解：法（1）由橢圓的方程可得，所以，所以直線，聯(lián)立，整理可得，可得或，所以，所以，因?yàn)椋瑒t，所以，解得，即，法（2）作垂直于軸于，易知，因?yàn)?，所以，所以的縱坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，所以的坐標(biāo)為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程：，解得，即，故答案為：315曲面被平面截成一橢圓，則橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍是解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)，則橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，滿足的條件為：，作拉格朗日函數(shù)，可得，所以有或，有，不符合題意，所以舍棄，將代入和可得：，解得：，由題意可知這種距離的最大值和最小值一定存在，所以距離的最大值和最小值分別在這兩點(diǎn)處取到處取得，而，所以最大值和最小值分別為：，；故答案為：，16已知、為橢圓上兩點(diǎn)，線段的中