歐拉公式的證明方法和應(yīng)用

1、歐拉公式的證明方法和應(yīng)用摘要：在復(fù)數(shù)域內(nèi)用幾種不同的方法證明歐拉公式，舉例說明歐拉公式在數(shù)學(xué)中的幾類應(yīng)用，通過總結(jié)多種方法看問題的思想來解決問題，通過幾種不同種類的問題的解決方案讓讀者更加明白歐拉公式在學(xué)習(xí)中的多方面思想和數(shù)學(xué)中的重要性。關(guān)鍵詞：歐拉公式、微分中值定理、證明、應(yīng)用、三角函數(shù)1.歐拉公式意義簡說在我們所學(xué)過的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，在復(fù)數(shù)域中卻可以相互轉(zhuǎn)換，被這簡單的關(guān)系聯(lián)系在一起，這個一直盤踞在許多研究家心里的歐拉公式，有著很多很多的疑問，特別是當時，有，即，這個等式將數(shù)學(xué)中的最富有特色的五個數(shù)0、1、i、e、聯(lián)系在一起，0，1是實數(shù)中特殊的數(shù)字，i 是一

2、個很重要的虛數(shù)單位，e是無理數(shù)它取自瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler,1707-1783）的英文開頭5，是圓周率在公園前就被定義為“周長與直徑的比”。它們在數(shù)學(xué)中各自都有發(fā)展的方面。因此+1=0公式充分揭示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、簡潔性和奇異性。了解這些內(nèi)容對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，對于我們在研究較深的數(shù)學(xué)問題上有很大幫助。2.歐拉公式的證明簡述在這里，我把幾種證明歐拉公式的方法總結(jié)在一起，對學(xué)者學(xué)習(xí)歐拉公式提供多方面的題材，并作出知識的一種綜合理解。2.1冪級數(shù)展開式的證明法引用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)“冪級數(shù)展開式”證明歐拉公式，2.2復(fù)指數(shù)定義法用復(fù)指數(shù)定義，證明歐拉公2.3類比法求導(dǎo)法通過實函數(shù)的性質(zhì)來對復(fù)函數(shù)進

3、行求導(dǎo)運算(附件)，通過構(gòu)造，用lagrange微分中值定理推論3，從而證明,使得2.4分離變量積分法推薦精選 假設(shè)，求導(dǎo)得，通過分離變量得，然后兩邊取積分得，所以得.3.歐拉公式的證明方法3.1冪級數(shù)展開式的證明方法：3.1.1三角函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”1 ：3.1.2指數(shù)函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”：1當用iz代替 z時，那么當時，得到。（證完）3.2復(fù)指數(shù)定義法：對于任何復(fù)數(shù) ，有 2，當x=0時，另有 （證完）3.3類比求導(dǎo)法：3.3.1構(gòu)造函數(shù) 3.3.2計算導(dǎo)數(shù)3.3.3lagrange微分中值定理的推論推薦精選若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)恒等于0，x屬于I，則為I上的一個常量函數(shù)3。

4、根據(jù)這推論，所以有c為常量，又因為, 所以,有.（附件） （證完）3.4分離變量積分法假設(shè), 難么，分離變量得： 所以兩邊同時積分得，即，當取x=0時， 所以,所以，所以。 （證完）4.歐拉公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 在對一些較難以證明和計算的題上，直接使用歐拉公式很容易就證明了，在高等數(shù)學(xué)中很廣泛的應(yīng)用，比如棣莫弗公式的證明，復(fù)變函數(shù)的求解等。4.1公式證明和應(yīng)用4.1.1 證明棣莫弗（de Moivre）公式4；證明：由歐拉公式可知：即，所以有4.2.2用歐拉公式和棣弗公式證明4： ；證明：令由歐拉公式可知即 又由于：推薦精選比較實部和虛部的到 4.2定義證明和應(yīng)用4.2.1證明復(fù)數(shù)z 的正弦函數(shù)

5、和余弦函數(shù)2證明：由歐拉公式可得，從而得到.對于任意的實數(shù)x成立，這兩個公式中的x代以任意復(fù)數(shù)z后，由，右端有意義，而左端尚無意義，因而有：4.2.2求的值2：解：此式為復(fù)數(shù)解正弦函數(shù)（附件）5.綜合總結(jié) 對于歐拉公式，在這里用了四種不同的方法證明其的成立，也舉了幾個列子說明了歐拉公式在高等數(shù)學(xué)中的重要性，在這里，主要是提供給學(xué)生一種多方面學(xué)習(xí)和看問題的思想，比如在證明歐拉公式的方法中，都還有許多不同的證明方法，我所列舉的這幾種方法中，類比求導(dǎo)法是一種很好的證明方法，其的構(gòu)造思想很巧妙，對于冪級數(shù)的展開證明方法，較容易弄懂，并且在實際的題目中，冪級數(shù)的展開用得比較多。我在下面所舉的兩類應(yīng)用中，

6、都是用到歐拉公式，且歐拉定理在這當中就像橋梁一樣，如果不用到歐拉公式，這類問題也能求，但不是那么容易了。通過對歐拉公式的證明和應(yīng)用的了解，我們對于推薦精選也就不那么陌生了。6.考文獻1 數(shù)學(xué)分析 下冊 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第十四章 冪級數(shù) 20012 復(fù)變函數(shù)論 第三版 鐘玉泉 編 第二章 解析函數(shù) 20043 數(shù)學(xué)分析 上冊 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第六章微分中值定理及應(yīng)用 20014 數(shù)學(xué)分析 下冊 華東師大第三版 同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 20065 生活與科學(xué)文庫 e的奧秘 19917.附件 7.1附件 因為對于實函數(shù)，為常數(shù)，所以對于復(fù)函數(shù)有 7.2附件對于構(gòu)造的函數(shù)是有意義的，因為|所以。因此，函數(shù)