歐拉公式的證明方法和應(yīng)用

1、歐拉公式的證明方法和應(yīng)用摘要：在復(fù)數(shù)域內(nèi)用幾種不同的方法證明歐拉公式，舉例說(shuō)明歐拉公式在數(shù)學(xué)中的幾類(lèi)應(yīng)用，通過(guò)總結(jié)多種方法看問(wèn)題的思想來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)幾種不同種類(lèi)的問(wèn)題的解決方案讓讀者更加明白歐拉公式在學(xué)習(xí)中的多方面思想和數(shù)學(xué)中的重要性。關(guān)鍵詞：歐拉公式、微分中值定理、證明、應(yīng)用、三角函數(shù)1.歐拉公式意義簡(jiǎn)說(shuō)在我們所學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒(méi)有什么聯(lián)系，在復(fù)數(shù)域中卻可以相互轉(zhuǎn)換，被這簡(jiǎn)單的關(guān)系聯(lián)系在一起，這個(gè)一直盤(pán)踞在許多研究家心里的歐拉公式，有著很多很多的疑問(wèn)，特別是當(dāng)時(shí)，有，即，這個(gè)等式將數(shù)學(xué)中的最富有特色的五個(gè)數(shù)0、1、i、e、聯(lián)系在一起，0，1是實(shí)數(shù)中特殊的數(shù)字，i 是一

2、個(gè)很重要的虛數(shù)單位，e是無(wú)理數(shù)它取自瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler,1707-1783）的英文開(kāi)頭5，是圓周率在公園前就被定義為“周長(zhǎng)與直徑的比”。它們?cè)跀?shù)學(xué)中各自都有發(fā)展的方面。因此+1=0公式充分揭示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性和奇異性。了解這些內(nèi)容對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，對(duì)于我們?cè)谘芯枯^深的數(shù)學(xué)問(wèn)題上有很大幫助。2.歐拉公式的證明簡(jiǎn)述在這里，我把幾種證明歐拉公式的方法總結(jié)在一起，對(duì)學(xué)者學(xué)習(xí)歐拉公式提供多方面的題材，并作出知識(shí)的一種綜合理解。2.1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的證明法引用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)“冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式”證明歐拉公式，2.2復(fù)指數(shù)定義法用復(fù)指數(shù)定義，證明歐拉公2.3類(lèi)比法求導(dǎo)法通過(guò)實(shí)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)對(duì)復(fù)函數(shù)進(jìn)

3、行求導(dǎo)運(yùn)算(附件)，通過(guò)構(gòu)造，用lagrange微分中值定理推論3，從而證明,使得2.4分離變量積分法推薦精選 假設(shè)，求導(dǎo)得，通過(guò)分離變量得，然后兩邊取積分得，所以得.3.歐拉公式的證明方法3.1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的證明方法：3.1.1三角函數(shù)的“麥克勞林級(jí)數(shù)”1 ：3.1.2指數(shù)函數(shù)的“麥克勞林級(jí)數(shù)”：1當(dāng)用iz代替 z時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，得到。（證完）3.2復(fù)指數(shù)定義法：對(duì)于任何復(fù)數(shù) ，有 2，當(dāng)x=0時(shí)，另有 （證完）3.3類(lèi)比求導(dǎo)法：3.3.1構(gòu)造函數(shù) 3.3.2計(jì)算導(dǎo)數(shù)3.3.3lagrange微分中值定理的推論推薦精選若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)恒等于0，x屬于I，則為I上的一個(gè)常量函數(shù)3。

4、根據(jù)這推論，所以有c為常量，又因?yàn)? 所以,有.（附件） （證完）3.4分離變量積分法假設(shè), 難么，分離變量得： 所以兩邊同時(shí)積分得，即，當(dāng)取x=0時(shí)， 所以,所以，所以。 （證完）4.歐拉公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 在對(duì)一些較難以證明和計(jì)算的題上，直接使用歐拉公式很容易就證明了，在高等數(shù)學(xué)中很廣泛的應(yīng)用，比如棣莫弗公式的證明，復(fù)變函數(shù)的求解等。4.1公式證明和應(yīng)用4.1.1 證明棣莫弗（de Moivre）公式4；證明：由歐拉公式可知：即，所以有4.2.2用歐拉公式和棣弗公式證明4： ；證明：令由歐拉公式可知即 又由于：推薦精選比較實(shí)部和虛部的到 4.2定義證明和應(yīng)用4.2.1證明復(fù)數(shù)z 的正弦函數(shù)

5、和余弦函數(shù)2證明：由歐拉公式可得，從而得到.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x成立，這兩個(gè)公式中的x代以任意復(fù)數(shù)z后，由，右端有意義，而左端尚無(wú)意義，因而有：4.2.2求的值2：解：此式為復(fù)數(shù)解正弦函數(shù)（附件）5.綜合總結(jié) 對(duì)于歐拉公式，在這里用了四種不同的方法證明其的成立，也舉了幾個(gè)列子說(shuō)明了歐拉公式在高等數(shù)學(xué)中的重要性，在這里，主要是提供給學(xué)生一種多方面學(xué)習(xí)和看問(wèn)題的思想，比如在證明歐拉公式的方法中，都還有許多不同的證明方法，我所列舉的這幾種方法中，類(lèi)比求導(dǎo)法是一種很好的證明方法，其的構(gòu)造思想很巧妙，對(duì)于冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)證明方法，較容易弄懂，并且在實(shí)際的題目中，冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)用得比較多。我在下面所舉的兩類(lèi)應(yīng)用中，

6、都是用到歐拉公式，且歐拉定理在這當(dāng)中就像橋梁一樣，如果不用到歐拉公式，這類(lèi)問(wèn)題也能求，但不是那么容易了。通過(guò)對(duì)歐拉公式的證明和應(yīng)用的了解，我們對(duì)于推薦精選也就不那么陌生了。6.考文獻(xiàn)1 數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第十四章 冪級(jí)數(shù) 20012 復(fù)變函數(shù)論 第三版 鐘玉泉 編 第二章 解析函數(shù) 20043 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第六章微分中值定理及應(yīng)用 20014 數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) 華東師大第三版 同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 20065 生活與科學(xué)文庫(kù) e的奧秘 19917.附件 7.1附件 因?yàn)閷?duì)于實(shí)函數(shù)，為常數(shù)，所以對(duì)于復(fù)函數(shù)有 7.2附件對(duì)于構(gòu)造的函數(shù)是有意義的，因?yàn)閨所以。因此，函數(shù)