6-2牛萊公式及簡單定積分計算PPT課件

1、1第第2節(jié)節(jié) 牛萊公式與簡單定牛萊公式與簡單定 積分計算積分計算一、一、 問題的提出問題的提出二、二、 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、三、牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式四、四、湊微法湊微法簡單積分計算簡單積分計算五、小結(jié)五、小結(jié)2變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 2121( )()().TTv t dts Ts T ( )( ). s tv t 設(shè)某物體作直線運動設(shè)某物體作直線運動, ,已知速度已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔上上 t 的一個連續(xù)函數(shù)的一個連續(xù)函數(shù), ,

2、且且0)( tv, ,求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程. . 12,T T一、問題的提出一、問題的提出3dttfdttfxaxxa )()(定理定理6.2.16.2.1 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)( )( )xaF xf t dt 稱稱為為積分上限函數(shù)積分上限函數(shù).性質(zhì)：性質(zhì)：證明證明()F xx F ( )xxaf t dt ()( )F xxF x 如果如果)(xf在在,ba上可積，則積分上上可積，則積分上限的函數(shù)限的函數(shù)在在,ba上連續(xù)上連續(xù). .( )( )xaF xf t dt ,)( xxxdttf因為因為)(xf在在,ba上可積，

3、則上可積，則 在在,ba有界有界.)(xf4由積分中值定理得由積分中值定理得( )Ffx ,xxx 由極限性質(zhì)知由極限性質(zhì)知,00limlim( )0 xxFfx 由連續(xù)函數(shù)定義知由連續(xù)函數(shù)定義知,ba上連續(xù)上連續(xù). .函數(shù)函數(shù)在在( )( )xaF xf t dt 定理定理6.2.2 (6.2.2 (連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在定理）連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)限的函數(shù)在在,ba可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)為( )( )xaF xf t dt ( )( )( )xadFxf t dtf xdx )(bxa 定理的重要意義：定理的

4、重要意義：(1)(1)肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. .(2)(2)初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系. .5證明證明F ()( )F xxF x ,)( xxxdttf( )Ffx ,xxx xx , 0( ),Ffx ( )Fx 0limxFx 證畢證畢.0lim( )xf ( ).f x 由函數(shù)由函數(shù) 的連續(xù)性和積分中值定理得的連續(xù)性和積分中值定理得)(xf由定理由定理6.2.1的證明知的證明知,對區(qū)間端點的情況用單側(cè)導(dǎo)數(shù)說明即可對區(qū)間端點的情況用單側(cè)導(dǎo)數(shù)說明即可.6求上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意求上限函數(shù)的導(dǎo)

5、數(shù)應(yīng)注意:( )( )( )xadxf t dtf xdx “”中的表達式是一樣的中的表達式是一樣的.例例1 求求.sin dttdxdxa 根據(jù)上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式得根據(jù)上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式得xadtdtdx sinx sin解解7 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 定理定理證明證明( )F xdttfxb )(0)(,)()(0dttfxa ( )Fx ( )Fx ( )( )f b xb x ( )( )f a xa x ( )( )f a xa x ( )( )f b xb x ( )( )( )b

6、 xa xdf t dtdx 0( )( )0( )b xa xf t dt 8例例 2 已知已知).(,)(xFdtexFxt 求求20解解 由上限函數(shù)的求導(dǎo)公式的由上限函數(shù)的求導(dǎo)公式的()Fx 例例3 設(shè)設(shè)dttxxx 231sinln)()(,求求).(x 解解 ( )x 22xxe 2331121xxxxx(sin)sincos(ln )22()xex 2(sin)x 31 (ln )x(ln )x 231 (sin)x9三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式定理定理 6.2.36.2.3（微積分基本公式）（微積分基本公式）又 dttfxxa )()(也是)(xf的一個原函數(shù), 證明

7、證明CxxF )()(,bax ( )( )( )( )bbaaf x dxF bF aF x 令令ax ( )( ),F aaC 0)()( dttfaaa( ),F aC ,)()(CdttfxFxa ( )xaf t dt bx( )baf x dx ( )( ).F bF a ( )( ),F xF a 10( )baf x dx 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： ()baF x 注意注意當當ba 時時，)()()(aFbFdxxfba 仍仍成成立立. . 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. .例例 4 求求.dxx 102解解 120 x dx

8、 13 3 1013x ( )( )F bF a 11例例 5 計算計算.dxx 2121解解 2211dxx 11122 211x 例例 6 下列計算是否正確下列計算是否正確?1211dxx 1 12 111x 解解 不正確不正確.因為因為,1112 在在x上不可積上不可積.被積函數(shù)在積分區(qū)間上為正被積函數(shù)在積分區(qū)間上為正,但積分值是負的但積分值是負的,與積分性質(zhì)矛盾與積分性質(zhì)矛盾.使用牛萊公式時使用牛萊公式時,一定要注意被積函數(shù)在一定要注意被積函數(shù)在積分區(qū)間上的可積性積分區(qū)間上的可積性.12例例 7 計算計算.cosdxx 2211 解解 2211cosdxx 注意注意:恒等變形時恒等變形

9、時,一定要使被積函數(shù)有意義一定要使被積函數(shù)有意義.2222x tan例例 8 計算計算 .cosdxx 221 解解 原式原式dxx 22222 sindxx 2222 sin022sin2xdx 2002222222 xxcoscos 424 注意注意: 計算定積分開根號時計算定積分開根號時,一定要帶絕對值一定要帶絕對值.202sin2xdx 222122cosdxx 13練習練習：201x xdx dxxxdxxx)()(112110 1 注意注意:當被積函數(shù)帶有絕對值時當被積函數(shù)帶有絕對值時,先去絕對值先去絕對值.例例1111 求求 .,max222 dxxx解解,max)(2xxxf

10、220 xx 01xx212xx 022x dx 原原式式.211 10 xdx 2 21x dx 四、簡單定積分的計算四、簡單定積分的計算-湊微法湊微法14例例1212 計算計算.sincos205 xdxx解解,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 解解例例1313 計算計算.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223

11、sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 15解解例例1414 計算計算.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例15 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 為連續(xù)的奇函數(shù)為連續(xù)的奇函數(shù),)(xf且已知且已知,)(adttf 10求積分求積分 的值的值.10()fxdxx 解解1100()2()fxdxfx dxx 102()fx dx 102( )2f u dua 16例例16 (030204) 設(shè)設(shè)440012tan,tanx

12、xIdx Idxxx, 則則( )12()1A II 12( )1BII21()1C II 21()1DII 解解因為當因為當 時時,0,4x x 故故tan xx401tan xIdxx 40tanxdxx 2I 這便排除了選項這便排除了選項(C)和和(D).,tanxx sin xtan , x 又令又令tan( ),xf xx 則則22sincoscosxxxxx 即即 在在 單調(diào)增加單調(diào)增加,( )f x0,4 0. 22sectanxxxx ( )fx 17有有tan xx故故/401tan xIdxx /4041,dx 即選項即選項(B)正確正確.tan(/4)/4 4, 18五、

13、綜合題五、綜合題(1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)例例已知函數(shù)已知函數(shù))(xyy 由方程由方程011100202 dxxdttdttxy)ln(sin確定。求確定。求).(xy 解解方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得x0122 xyysin解得解得y 22sin1xy 19解解()yx 2t cot22tt cossin例例已知已知)(xyy 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 ttduuyduux0202cossin求求).(xy 確定，確定， 2020cossinttu dtu dt 20例例 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2c

14、os xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則. .(2)求不定式的極限求不定式的極限21(3) 利用牛頓萊布尼茲公式及定積分定利用牛頓萊布尼茲公式及定積分定義求和式極限義求和式極限例例6求求lim22222212111nnnnnn 解解原式原式lim22222212111111nnnnnn 12011dxx 1arctan 4 22證明證明 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf ( )Fx (4) 證明單調(diào)性、方

15、程的根證明單調(diào)性、方程的根 0020( )( )( )( )( )xxxxf xf t dtf xtf t dtf t dt 23 020 xxf xxt f t dtf t dt ( )() ( ),( )0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx0() ( )xxt f t dt ).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù). . ( )Fx 0020( )( )( )( )( )xxxf xxf t dtf xtf t dtf t dt 0 24提示提示：, 1)(2)(0 dttfxxFx25 例例(040403) 設(shè)設(shè)

16、 1,0( )0,0,1,0 xf xxx 0( )( ),xF xf t dt ( (A) ) 在在 點不連續(xù)點不連續(xù). .( )F x0 x ( (B) ) 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 在在 點不可導(dǎo)點不可導(dǎo)( )F x(,) 0 x ( (D) ) 在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 但不一定滿足但不一定滿足( )F x(,) ( (C) ) 在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且滿足且滿足( )F x(,) ( )( )Fxf x ( )( )Fxf x (5) 求函數(shù)關(guān)系并討論其連續(xù)性求函數(shù)關(guān)系并討論其連續(xù)性則則( )( )26當當 時時, 0 x 當當 時時, 顯然顯然0 x ( )F x(0)0;F 當當 時時,

17、 0 x ( )1Fx 解解( )F x0lim( )xF x 在在 處連續(xù)處連續(xù) ( )F x0 x 當當 時時, 0 x ( )1Fx 當當 時時, 0 x 在在 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). 故故B正確正確 ( )F x0 x 0( 1)xdt 01xdt x x 00lim( )xF x 0( )xf t dt 0( )xf t dt (0)F 273.3.微積分基本公式微積分基本公式1.1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )( )xf x 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關(guān)系分學之間的關(guān)系

18、( )( )( )baf x dxF bF a 五、小結(jié)五、小結(jié)28思考題思考題)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考題解答思考題解答29, ,a b c30sinlim(0).ln(1)xxbaxxc ctdtt 0 x sin0,axx 30sinlim0ln(1)xxbaxxtdtt xbxtdtt 30ln(1)lim0(*)思考思考30 ,0)b0,b 3ln(1)0;tt 0,b 3ln(1)0;tt (0, b0.b 30sinlimln(1)xxbaxxtdtt xaxxx 30coslimln(1)20coslim.xaxx 1,a , 1,a

19、1/2.c 31一一、 填填空空題題： 1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . . 2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . . 4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . . 5 5、設(shè)設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，練練 習習 題題32（1 1） 、當） 、當nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當） 、當nm 時，時，1I=

20、 =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當） 、當nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .33二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 34三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdt