高中立體幾何問題的解法比較探究

1、高中立體幾何問題的解法比較探究摘要：本研究首先結(jié)合國內(nèi)外專家、學(xué)者、一線教師發(fā)表的論文和專著，提出自己的思考，然后對幾何學(xué)的教育價(jià)值以及向量的進(jìn)入中學(xué)的過程及教材內(nèi)容的比較作研究綜述，試圖通過實(shí)例分析比較立體幾何問題解決中綜合法和向量法的不同功能，探討如何全面的看待綜合法與向量法，以期使二者的積極功能得以體現(xiàn)，希望對向量理論融入立體幾何課程的實(shí)踐提供一些依據(jù)。1、 引言2、 文獻(xiàn)綜述本文研究的是向量在高中數(shù)學(xué)立體幾何中的應(yīng)用，并結(jié)合綜合法對其進(jìn)行類比研究。運(yùn)用向量的平移、夾角、法向量等性質(zhì)將立體幾何中的點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面之間等問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的問題，利用這種思想使問題簡單化，以達(dá)到

2、讓學(xué)生能熟練地解決立體幾何問題的目的。3大綱和標(biāo)準(zhǔn)中立體幾何內(nèi)容的比較研究文獻(xiàn)1通過構(gòu)建刻畫課程難度的數(shù)學(xué)模型定量比較了標(biāo)準(zhǔn)與大綱中立體幾何內(nèi)容的難度，并得出了“與大綱相比，標(biāo)準(zhǔn)中立體幾何部分內(nèi)容難度大大降低”，文獻(xiàn)6通過對大綱和標(biāo)準(zhǔn)中“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容比較，認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“空間向量”的工具作用和應(yīng)用價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生更多的理解“幾何代數(shù)化”的發(fā)展趨勢，向量可以幫助學(xué)生建立“多元多維的幾何認(rèn)識”。4.1.1立體幾何部分教學(xué)內(nèi)容比較與分析本文所研究的立體幾何部分舊教材包括數(shù)學(xué)第二冊(下b)的第九章，新教材包括數(shù)學(xué)2的第一、二章和數(shù)學(xué)選修2-1的第三章。如表4-1所示：表4-1新、舊教材

3、立體幾何教學(xué)內(nèi)容比較舊教材新教材第九章直線、平面、簡單幾何體9.1平面的基本性質(zhì)9.2空間的平行直線和異面直線9.3直線和平面平行與平面和平面平行9.4直線和平面垂直9.5空間向量及其運(yùn)算9.6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算9.7直線和平面所成的角與二面角9.8距離9.9棱柱和棱錐9.10球第一章空間幾何體1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.3空間幾何體的表面積與體積第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.2立體幾何中的向量方法通過比較

4、，我們分析可得：1.新教材立體幾何的教學(xué)內(nèi)容與舊教材立體幾何的教學(xué)內(nèi)容相比有些差異。單從上邊看，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分新增加了空間幾何體的結(jié)構(gòu)和空間幾何體的三視圖，舊教材立體幾何沒有這部分內(nèi)容。首先三視圖這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識空間圖形，通過空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對空間圖形有比較完整的認(rèn)識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體。通過觀察，學(xué)生可以感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，先從整體上認(rèn)識空間幾何體，再深入認(rèn)識點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，這樣與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相符合。如在“空間幾何

5、體的結(jié)構(gòu)”一節(jié)中，為了使學(xué)生能夠更好的認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)，教材要求對圖中的圖片進(jìn)行分類，并制定了分類標(biāo)準(zhǔn)：注意空間幾何體與平面圖形的聯(lián)系，觀察空間幾何體的每個(gè)面的特點(diǎn)，以及面與面之間的聯(lián)系。這樣在對空間幾何體進(jìn)行比較的過程中形成對柱、錐、臺、球結(jié)構(gòu)特征的直觀認(rèn)識。3空間向量知識的介紹新、舊教材有差別。舊教材在“直線、平面、簡單幾何體”中對“空間向量及其運(yùn)算”以及“空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”做了詳細(xì)的講解，這些內(nèi)容在新教材數(shù)學(xué)2中的立體幾何中沒有介紹，而是放在選修2-1的第三章“空間向量與立體幾何”中介紹。分析其原因是舊教材重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力。在過去的立體幾何學(xué)習(xí)中，

6、舊教材主要使用演繹推理來學(xué)習(xí)立體幾何，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。當(dāng)空間的平行、垂直性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量表達(dá)式（共線、共面向量定理、內(nèi)積運(yùn)算）和向量運(yùn)算后，學(xué)習(xí)重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到用向量方法解決立體幾何問題上來。因?yàn)閹缀伟l(fā)展的根本出路是代數(shù)化，所以引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的需要。使用舊教材的學(xué)生在高一已學(xué)習(xí)了平面向量，只要稍加推廣就可以得到空間向量運(yùn)算體系。首都師范大學(xué)碩士學(xué)位論文新教材的安排也有其道理，因?yàn)楦咧猩蠈W(xué)期的學(xué)習(xí)沒有提及過向量，本章的學(xué)習(xí)也只是幾何初步的學(xué)習(xí)，有些公理的推理證明也不需要完全證明。4從整套新教材來看，幾何教學(xué)的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的。第一階段新教材對立體幾何

7、知識做了初步介紹，介紹了柱體、錐體、臺體以及球的表面積和體積，介紹了線面、面面平行和垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，但沒有完全給出證明。二面角的求解和線線、線面關(guān)系的判定定理以及三垂線定理的證明等知識在第二階段的“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)中作了介紹。舊教材中立體幾何的學(xué)習(xí)因?yàn)榧性凇爸本€、平面、簡單幾何體”一章中學(xué)習(xí)，所以比較深入的學(xué)習(xí)了這些知識，新教材在第一階段只是做了初步的介紹。4向量法求解立體幾何問題的方法4.1向量法解決平行問題的方法3.1.1 線線平行設(shè)a ,b 分別是兩條不重合的直線a , b 的方向向量,則a b a =b( r,且 0) .4.1.2 線面平行設(shè)直線l 在平面外,.

8、a 是l 的一個(gè)方向向量,.n 是的一個(gè)法向量,則l a n a n = 0.4.1.3 面面平行設(shè)m ,n分別是兩個(gè)不重合的平面,的法向量,則/m/nm =n (r 且0) . 4.2向量法解決垂直問題 4.2.1線線垂直 設(shè)a ,b 分別為直線a , b 的一個(gè)方向向量,則a bab a b = 0.4.2.2線面平行設(shè)a為直線l 的一個(gè)方向向量, n 是平面的一個(gè)法向量,則l an a =n(r且0)4.2.3面面垂直設(shè)m ,n 分別為平面,的一個(gè)方向向量,則m n mn = 0.4.3向量法解決空間距離4.3.1兩點(diǎn)間的距離 設(shè)空間兩點(diǎn)p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2)

9、的距離| d=|p1p2|= .4.3.2點(diǎn)線間的距離方法一： 點(diǎn)p 直線l ,設(shè)a 是直線l的一個(gè)法向量,在l上取點(diǎn)a , 在a上的投影為|oa|=, 則點(diǎn)p 到直線l 的距離d =|oa| =方法二：空間點(diǎn)到直線l的距離公式:設(shè)直線l的方程為點(diǎn)是直線l上的點(diǎn)，則空間點(diǎn)到直線l的距離為d=4.3.3點(diǎn)到面的距離方法一：設(shè)點(diǎn)平面，平面：ax+by+cz+d=0. 空間中點(diǎn)到平面的距離公式: d=方法二: 設(shè)平面a 的斜線ao a = o, n 是a 的一個(gè)法向量,則點(diǎn)a 到平面的距離d =4.3.4線線間的距離方法一：設(shè)a ,b 分別是異面直線a ,b 的方向向量,n是a ,b 的法向量,在a

10、 ,b 上各取一點(diǎn)a ,b , 在n 上的投影方法二：空間中兩異面直線l1和l2之間的距離公式設(shè)直線li的方程為 （i-1,2）d= 4.4 向量法解決空間角問題 4.4.1線線角設(shè)異面直線a、b 的夾角為( 090) ，a 、b 分別為a , b 的一個(gè)方向向量,則cos =| cos | = 4.3.2線面角若直線a 與平面 斜交于b 點(diǎn)，p 在直線a上，pa 于a，n為平面的法向量，a 與所成角為(090)，則 sin=sin(-)=cos= 4.3.3二面角二面角l為(0180)，n為平面的法向量，m為平面的法向量，則cos=cosn ，m，那么向量n，m的夾角n，m就是二面角ab（或

11、其補(bǔ)角）的大小。到底是哪種關(guān)系要通過觀察圖形來確定。若二面角是銳角，則選正的余弦值；若二面角是鈍角，就選取負(fù)的余弦值，這種方法簡單但容易判定失誤。鑒于這種情況，國內(nèi)主要專業(yè)期刊有不少的文章進(jìn)行了討論并給出了解決方案，如文獻(xiàn)8,21,33,34等。下面是文獻(xiàn)21給出的一種方法：首先明確一個(gè)概念：在二面角兩個(gè)面內(nèi)分別取一點(diǎn)，以這兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的內(nèi)點(diǎn)稱為二面角的內(nèi)點(diǎn)，二面角的內(nèi)點(diǎn)的集合稱為二面角的內(nèi)部。這樣，我們就可以有二面角兩個(gè)面的法向量對于二面角的內(nèi)部“戳出”或“戳進(jìn)”的概念，那么，二面角-l-的大小(0)，與兩個(gè)法向量夾角=的大小必是互補(bǔ)(兩個(gè)法向量都是“戳進(jìn)”或都是“戳出”時(shí)，圖3(a)

12、,(b)或者相等(兩個(gè)法向量一個(gè)“戳進(jìn)”一個(gè)“戳出”時(shí),圖3（c）)。5綜合法解決立體幾何問題的方法5.1線線、線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì):平行垂直直線a和直線b(1)同平行于直線c的兩直線平行行(2)=b,a/,a (3)(4)a,b(5)兩平行平面都和第三個(gè)平面相交分別交于a與b，則交線平行(1)ab,b/cac(2)a,bab(3)三垂線定理及其逆定理(4)a/,b ab直線a (b)與平面(1) (2) (3) a,a,a/(1) am, an a(2)a/b,ba(3)a/, a(4) , a, aba(5) ,a平面與平面(1)若內(nèi)的兩條相交直線a,b都平行于，則/(2)a,

13、a/(3)平行于同一平面的兩平面平行(1) m,m(2) /,5.2綜合法解決空間距離的方法 5.2.1異面直線距離：通常找公垂線段，在根據(jù)已知條件求出公垂線段長?；騾⒖籍惷嬷本€距離的8種求法。 5.2.2點(diǎn)到平面的距離：先作出表示距離的線段，再證明它就是所要求的距離，然后再計(jì)算；或利用等體積法。5.3綜合法解決空間角的方法 5.3.1異面直線所成角：將異面直線平移，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線，再借助三角形的正、余弦定理求解。5.3.2線面角：先求點(diǎn)到面的距離，然后解直角三角形。5.3.3二面角：方法一：設(shè)二面角- l - 的大小為(0180) ,a ,b 分別是平面,內(nèi)且垂直于l 的向量,則

14、 = 或 = - 方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通過解直角三角形求角。6.例題分析例1在四棱錐p -abcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd 底面abcdpd =dc點(diǎn)e是pc的中點(diǎn)，作ef pb交于點(diǎn)f。求證：pa平面edb.求證：pb 平面efd.求二面角c -pb -d的大小。（1）綜合法思考過程由“求證”想“判定”，要證線面平行，可以通過線線平行或面面平行來證明，這就要求學(xué)生對于定理的掌握靈活熟練，而且還應(yīng)有一定的解題經(jīng)驗(yàn)。即使告訴學(xué)生“有了中點(diǎn)找中點(diǎn)，兩點(diǎn)相連中位線”，有的還會(huì)看不出應(yīng)作三角形pca的中位線eo。一方面是不能夠從復(fù)雜的圖形中分離出

15、需要的基本圖形，抓住主要矛盾；另一方面也需要通過教師的講解形成學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，這樣就可以不斷的提高學(xué)生讀圖的水平，消除觀察障礙，使空間想象能力得到提升。垂直關(guān)系是空間元素間重要的位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)。而線面垂直又是重點(diǎn)內(nèi)容的核心，它與平行的問題、垂直的問題、距離和角的求解有著密切的關(guān)系。本題要證線面垂直，必將通過線線垂直和面面垂直來轉(zhuǎn)化。由已知pbef，只需去尋找pb與另外一條線垂直即可。由于問題中垂直關(guān)系比較充分，通過線線垂直線面垂直bc 平面pdc面面垂直平面pdc 平面pbc-線面垂直de 面pbc-線線垂直de pb-線面垂直pb面efd的轉(zhuǎn)化，使問題得到解決。在上面的過程中，學(xué)

16、生的思維在經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、演繹推理中得到提升。要想靈活運(yùn)用定理，必須熟悉定理的使用條件及結(jié)論，以及定理的各種標(biāo)準(zhǔn)及變式圖形，應(yīng)能在各種“環(huán)境”中找到定理的條件，這種訓(xùn)練也是提高學(xué)生空間想象能力及邏輯思維能力的手段。由二面角的平面角的定義我們可以得到：平面角所在的面必定與棱垂直！所以由第2問的結(jié)論，二面角的大小易求。故只需在rtdef中求出即可。這一步不僅考察二面角的平面角的做法，而且也要求學(xué)生對非常規(guī)位置（課本中定理定義圖形的畫法）的圖形有比較好的觀察力，綜合法中對于空間角的求法是“一作，二證，三計(jì)算”，要求學(xué)生不主觀臆斷，注意說理的層次型，這對訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很有必要的。（2）向

17、量法（用法向量解決）建立空間直角坐標(biāo)系后只需證明pa和平面edb的法向量n垂直即可?？捎脭?shù)量積來證明垂直。只需求平面cpb和dpb的法向量的夾角即可。圖5可求出平面pbc的一法向量m=(0,1,1)，易知ac=(1,1,0),為平面pbd的法向量。，即兩個(gè)法向量的夾角為60，通過觀察可知，二面角c-pb-d的大小也為60.這個(gè)方法并不依賴較多的知識：大量定理、定義、以及嚴(yán)格的演繹邏輯推理過程。只須直線的方向向量和平面的法向量，代入公式，解題過程模式化強(qiáng)。在這個(gè)方法體系中，平行、垂直、角的求出對學(xué)生來說是可以被明確把握的了。學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)是不能正確表示點(diǎn)或向量的坐標(biāo)。這種方法也是標(biāo)準(zhǔn)教材b版中所提供

18、的方法。而在標(biāo)準(zhǔn)教材a版中給出了下面的解法:解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)dc=1.可以發(fā)現(xiàn)它的思路是綜合法與向量法的綜合，是個(gè)結(jié)合體，在證明線面平行和垂直的時(shí)候，還是利用公理體系中的判定定理來證明，但是在尋找應(yīng)用定理所需要的條件時(shí)，利用向量知識來證明線線平行和垂直。例如由pa =2eg，得到paeg，由pb。 de =0得到pb de,同樣，在求二面角的大小時(shí)，也是先找到平面角，然后利用向量的計(jì)算優(yōu)勢去求解?？梢钥闯?，課程改革的理念也并不是徹底拋棄綜合法，而是注意到兩者的結(jié)合，走的是中間路線，既保持了綜合法的一些要求，也發(fā)揮了向量法的計(jì)算優(yōu)勢。a版教材的解法也給我們提供了一種

19、新的思路，為學(xué)生思維活動(dòng)開發(fā)了更加廣闊的天地例2如圖1,在正方體abcd -a1b1c1d1中, (1)判斷bc1與平面a1add1的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)求證:b1d平面a1c1b.這道題運(yùn)用“綜合法”和“向量法”均可以,但運(yùn)用前者的話,問題轉(zhuǎn)化顯得更容易,解答過程也就更順暢,特別是第(2)小題.但筆者在批改的過程中發(fā)現(xiàn):如果該校提前學(xué)習(xí)了“空間向量”的內(nèi)容的話(注:此內(nèi)容按規(guī)定應(yīng)是下個(gè)學(xué)期的授課內(nèi)容).那么用“向量法”解題的學(xué)生就超過95%,且若以第(2)小題為例,計(jì)算錯(cuò)誤等差錯(cuò)的比率遠(yuǎn)高于用“綜合法”解題的學(xué)生.例3(2008年湖北卷)如圖2,在直三棱柱abc -a1b1c1中

20、,平面a1bc側(cè)面a1abb1. ()求證:abbc;()若直線ac與平面a1bc所成的角為,二面角a1-bc -a的大小為,試判斷與的大小關(guān)系,并予以證明.分析()由已知,ada1b于d,則易證ad平面a1bc且abbc.下面我們比較一下參考答案中的第()小題的兩種解法.綜合法:連結(jié)cd,則由()知acd是直線ac與平面a1bc所成的角,aba1是二面角a1-bc -a的平面角,即acd =,aba1=.于是在rtadc中,sin=adac,在rtadb中,sin=adab,由ab ac,得sinsin,又0,2所以0,又因?yàn)閍c與n的夾角為銳角,則與互為余角.所以sin=cos=nac|n

21、|ac |=acb a2+c2,cos=ba1ba|ba1|ba |=ca2+c2,所以sin=aa2+c2,于是由cb,得acb a2+c2aa2+c2,即sinsin,又0,2,所以.評注從上面這兩個(gè)案例可以看出,由于空間直角坐標(biāo)系的建立毫無障礙,習(xí)慣上用“向量法”解題的學(xué)生會(huì)馬上作出這種選擇.但事實(shí)上與“綜合法”相比,用“向量法”解決上面的兩個(gè)問題不但計(jì)算顯得繁瑣,解題步驟絲毫也不占任何便宜.這樣就不僅浪費(fèi)了寶貴的考試時(shí)間,其準(zhǔn)確性也難以保證.對于某些建立空間直角坐標(biāo)系較繁瑣的題目來說就更不待言了.7、兩種方法的比較分析7.1、向量法及其優(yōu)勢所謂向量法就是在圖形上取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，

22、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題。向量法在解決空間距離和角這類問題上有明顯的優(yōu)勢。用向量法解決問題不需要做輔助線、無需證明過程，而且解題思路清晰。對于當(dāng)前高中學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)而言，利用此法有利于認(rèn)識空間幾何圖形?！熬C合法”的優(yōu)點(diǎn)是解法簡捷、優(yōu)雅;對邏輯思維能力和空間想象力的提高較有成效.而缺點(diǎn)是常需添加輔助線、輔助面;須具備較高思維能力和掌握較高技巧. “向量法”的優(yōu)點(diǎn)是以算代證,數(shù)形結(jié)合,由數(shù)定性、定量,方法統(tǒng)一、機(jī)械,可操作性強(qiáng);弱化了技巧、降低了難度、豐富了思維結(jié)構(gòu).進(jìn)一步而言,相對于傳統(tǒng)方法,對立體幾何題的探討用向量法則顯得自然

23、、簡便.對立體幾何的平行、垂直、角、距離等問題,特別是根據(jù)題設(shè)條件可以較方便地建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),這種優(yōu)越性便發(fā)揮得更為明顯,既降低了難度,又易學(xué)易懂,有效地避開了立體幾何中繁瑣的定性分析.其缺點(diǎn)是適用范圍比綜合法窄(比較規(guī)則的幾何體),運(yùn)算量比較大,定量計(jì)算一旦算錯(cuò),全盤皆錯(cuò).而且正如上文所述,相對于傳統(tǒng)方法而言,后者對于學(xué)生邏輯思維能力及空間想象能力的培養(yǎng)與提高稍顯不足.二、向量法在立體幾何中的運(yùn)用在中學(xué)立體幾何部分解決立體幾何問題時(shí)，通常用綜合法和向量法。運(yùn)用綜合法必須要經(jīng)過作、證、算三個(gè)過程，而且做輔助線對學(xué)生的空間想象能力的要求比較高，證明過程也要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和邏輯推理

24、能力，并且計(jì)算時(shí)也比較復(fù)雜。所以學(xué)生對綜合法的掌握有很大難度，而向量法在思想上就得到了徹底的解放。下面通過幾例來展示向量法對比于綜合法的優(yōu)勢。由于立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力等方面有著獨(dú)到的作用，因而它成為歷屆高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.(高考試卷中對空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上)縱觀近幾年全國及各省市自主所命的試題，立體幾何題一般都采用一題兩法的模式，既可用傳統(tǒng)的幾何方法解答，也可用向量方法解答，且往往是一題多問，第一問一般是線面的平行或垂直等位置關(guān)系，第二軍第三問是計(jì)算空間的角和距離問題.在立體幾何中引入空間向量后，雖然一些問題可以用向量為工具來解決，但往往增大了建系

25、設(shè)標(biāo)和計(jì)算過程的難度，削弱了對空間想象與邏輯推理能力的要求.事實(shí)上，高考立體幾何試題的傳統(tǒng)證法依然是對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)必不可少的考查內(nèi)容之一。3“綜合法”和“向量法”的選擇上的幾點(diǎn)思索根據(jù)筆者的反復(fù)研究和思考,并借鑒相關(guān)的資料,認(rèn)為有以下幾點(diǎn)值得思索.3.1兩者在培養(yǎng)功能上的區(qū)別和對比首先,“綜合法”與“向量法”在學(xué)生的讀圖、識圖與作圖能力的培養(yǎng)功能上有所差異.在解決立體幾何的垂直、平行、空間距離與角過程中,用“綜合法”一般要經(jīng)歷尋找、猜想、證明或計(jì)算等探索過程;而用“向量法”則僅熟練了學(xué)生的“以算代證”能力,圖形的“自然本色”似乎是得到了很好的保持.其次,“綜合法”與“向量法”在學(xué)生的空間想

26、像能力的培養(yǎng)功能上有所差異.用“綜合法”解決立體幾何問題時(shí),學(xué)生對具體圖形的各種位置關(guān)系與度量關(guān)系都有互不相同的感性探索與認(rèn)識,再通過歸納總結(jié)上升為理性認(rèn)識,學(xué)生更易發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征;而用“向量法”,所有的問題似乎均“千人一面”,題解完了,但學(xué)生不一定會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征.其三,“綜合法”與“向量法”在學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)功能上有所差異.如在求點(diǎn)面距離時(shí),用“綜合法”通常都需反復(fù)做理性的轉(zhuǎn)化,涉及線線距離、線面距離、點(diǎn)線距離、點(diǎn)點(diǎn)距離或等積法等知識、方法及邏輯思維能力,而用“量法”,依然只是固定模式的重復(fù).另外,“綜合法”與“向量法”在學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)功能上也有所差異.“綜合法”的運(yùn)算功

27、能主要體現(xiàn)在解三角形等方面,而“向量法”則更多地體現(xiàn)出了代數(shù)功能,突現(xiàn)了研究幾何問題的常見出路幾何問題代數(shù)化.總之,在用綜合法解決立體幾何問題時(shí),雖然觀察、探索、發(fā)現(xiàn)以及解決問題的過程較艱難,可是在這一過程中,學(xué)生的識圖能力、作圖能力、空間想像能力、邏輯推理能力等都得到了充分的展示與鍛煉;而在用“向量法”解決立體幾何問題時(shí),盡管使問題的探索及論證轉(zhuǎn)化成了套用模型和計(jì)算(特別是在求空間的角與距離問題時(shí)),降低了探索、論證的難度,但相應(yīng)地,學(xué)生的以上所述的幾種能力,尤其是在陌生情況下解決問題的能力等方面,卻并未得到有效的培養(yǎng).3.2針對以上問題的解決方法那么,針對以上的這些情況,教師在教學(xué)中應(yīng)如何

28、把握教材,才能使“綜合法”與“向量法”的積極功能都得以體現(xiàn),從而全面提高學(xué)生解決立體幾何問題的能力呢?首先,基礎(chǔ)對于高中立體幾何學(xué)習(xí)而言是至關(guān)重要的.所以在立體幾何的初始學(xué)習(xí)階段,應(yīng)該使學(xué)生先牢固掌握“綜合法”的基本解題要點(diǎn),特別是在平行、垂直,空間角等的證明與計(jì)算方面.讓學(xué)生培養(yǎng)起能為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供良好支撐的讀、識與作圖能力、空間想像能力以及邏輯推理等能力.而對空間直角坐標(biāo)系知識在初始學(xué)習(xí)時(shí)僅作了解或初步運(yùn)用即可.理科班學(xué)生可以在選修階段給予加強(qiáng)與提高,而文科班學(xué)生則不再作進(jìn)一步的要求了.其次,在引入“向量法”后,對于理科生而言,我們應(yīng)通過一題多解或兩種方法的綜合應(yīng)用,使學(xué)生既能領(lǐng)悟“向

29、量法”的以算代證功能,又能強(qiáng)化以上所述的各種能力的提高.久而久之,學(xué)生分析和解決立體幾何問題的敏銳程度將不斷提高,達(dá)到根據(jù)不同的題目選擇用不同的方法靈活解決的程度.6最后,文7的調(diào)查結(jié)果表明,許多師生認(rèn)為綜合法是處理幾何問題的基本方法(向量法只能解決某些特殊問題),這種觀點(diǎn)顯然是值得商榷的.筆者認(rèn)為空間向量的引進(jìn),對于高中數(shù)學(xué)教育來講是利大于弊的,關(guān)鍵在于我們的科學(xué)認(rèn)識.切不能因?yàn)槊つ康墓睦矶O誤了教材編者的初衷,這才是大忌所在.4.3兩種方法的比較4.3.1兩種方法的聯(lián)系：比較以上兩種做法，綜合法的整個(gè)過程可以概括為先證后算，說理性強(qiáng)。第一種向量方法是教材給出的做法，我們發(fā)現(xiàn)在整個(gè)解題過

30、程中，還是應(yīng)用的線面平行和線面垂直的判定定理來證的，同樣二面角也是先找到平面角再求出?？磥碚n改精神和教材的理念是堅(jiān)持演繹推理與向量運(yùn)算并舉，兩種方法互相結(jié)合，有時(shí)也不分你我。4.3.2兩種方法的不同：首先，綜合法與向量法的觀察點(diǎn)不同：主要是從對圖形的認(rèn)識角度來說。從學(xué)生探索過程來看，用綜合法更利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。空間想象能力一般包括看圖能力、識圖能力、分析圖形的能力、組合能力、直覺思維。由于立體幾何研究的對象是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的空間形式，與現(xiàn)實(shí)原型有本質(zhì)區(qū)別，所以直觀圖并不直觀，這也正是立體幾何綜合法的難點(diǎn)所在。由于課本中反映概念及定理的圖形通常是以標(biāo)準(zhǔn)位置給出，比如“線面垂直”、“

31、面面垂直”定理的圖形，“二面角的平面角”的概念圖形等。由于標(biāo)準(zhǔn)圖形的特殊性，導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械的識記和思維的呆滯。而綜合法解決問題的依據(jù)正是這些定理和概念，正確認(rèn)識概念和定理圖形所反應(yīng)的本質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ)。故只有通過利用圖形位置的變化和襯托背景的變換，反復(fù)變更概念的非本質(zhì)，突出且保持概念定理的本質(zhì)特征，才能排除由標(biāo)準(zhǔn)圖所帶來的錯(cuò)誤信息的干擾。學(xué)生若經(jīng)常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，形成學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)，從而能夠提高他們的解釋圖形信息的能力以及視覺加工能力和抽象能力，對學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)起到促進(jìn)作用。而用向量法解決問題時(shí)，可能連圖形都不用畫，學(xué)生對圖形中的點(diǎn)、線、面之間的運(yùn)動(dòng)和關(guān)系可以說沒有體會(huì)，大多數(shù)的數(shù)學(xué)

32、內(nèi)在都被“隱藏”在了代數(shù)運(yùn)算中。只會(huì)用向量法解決問題的學(xué)生對圖形的認(rèn)識要比用綜合法的學(xué)生膚淺得多。其次，綜合法與向量法的思考點(diǎn)不同：立體幾何涉及二面角，題中有線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，知識覆蓋面大。學(xué)生在找作、證、求、解的過程中，或在轉(zhuǎn)化問題的過程中，學(xué)生對具體圖形的各種位置關(guān)系與度量關(guān)系都有互不相同的感性探索與認(rèn)識，經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程。發(fā)現(xiàn)如果應(yīng)用綜合法解決該問題，學(xué)生對問題的理解肯定比19用向量法思維轉(zhuǎn)化更多更深，尤其是學(xué)生在排除干擾和非本質(zhì)現(xiàn)象，得到正確的結(jié)論的過程中，學(xué)生的能力必得到了提高，從而使他們在不知不覺中提高邏輯思維能力及空間想象能力。而向量法注重表層形式的操

33、作過程，而輕內(nèi)部深層的思維操作過程。把空間結(jié)構(gòu)利用向量載體代數(shù)化，把空間的研究從定性轉(zhuǎn)為定量，避開了各種輔助線添加的難處，減少了學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的難度和復(fù)雜度，體現(xiàn)了高效性，模式化和可操作性。再次，綜合法與向量法的論證點(diǎn)不同：用綜合法解題，最終都要有理有據(jù)的的有層次有條理的表述出來，要準(zhǔn)確，簡明的使用數(shù)學(xué)語言，學(xué)生在文字、符號、圖像三種表達(dá)途徑靈活轉(zhuǎn)化的過程中鍛煉了自己的思維能力。數(shù)學(xué)家谷超豪院士說：“數(shù)學(xué)成為各門科學(xué)可靠的工具，也正因?yàn)樗哂凶顕?yán)謹(jǐn)、最嚴(yán)格的特性。因此，一定要逐步使學(xué)生適應(yīng)這種嚴(yán)格的推理方式，并且在書寫上能反映出來。特別是在幾何學(xué)的教學(xué)上，一定要這種邏輯的演繹，這也是訓(xùn)練邏輯思維

34、能力的有效方法，是要重視幾何教學(xué)的一個(gè)原因。”向量法比較側(cè)重量的表示，將形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算的過程，對解題過程推理論證要求比較低。事實(shí)上，有些同學(xué)盡管解題思路正確甚至很巧妙，但卻經(jīng)常出現(xiàn)“心中有理卻說不出”的現(xiàn)象，不能做到有理有據(jù)。而不斷用綜合法處理問題的訓(xùn)練過程中，就可以訓(xùn)練學(xué)生的這種論述能力，豐富數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)，提高數(shù)學(xué)語言水平，數(shù)學(xué)語言的精確程度影響到數(shù)學(xué)思維的準(zhǔn)確性，也有利于學(xué)生欣賞體會(huì)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，對稱美、簡單美。第六章本文觀點(diǎn)6.1綜合法與向量法的比較總結(jié)綜合法與向量法比較而言，前者對訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力較有成效，而且能提高學(xué)生論述能力，提高數(shù)學(xué)語言水平，也有利

35、于學(xué)生欣賞體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美。正是由于它本身的這種訓(xùn)練功能，在用綜合法處理幾何問題時(shí)需要學(xué)生有較高的空間想象能力，判斷點(diǎn)線面位置關(guān)系能力及較高的作圖讀圖能力，而且不同的問題需要不同的技巧，沒有統(tǒng)一的方法，所以學(xué)生與老師普遍感到困難。雖然有一定難度，但為培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、養(yǎng)成良好的分析問題的習(xí)慣提供了良好的條件。后者為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何解決立體幾何問題提供了一種新的思維模式，開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生體會(huì)到了用代數(shù)法解決幾何問題的優(yōu)勢。尤其在比較規(guī)則（易于建立空間直角坐標(biāo)系）的幾何體中證明位置關(guān)系及計(jì)算角與距離時(shí)，優(yōu)勢更加明顯，從短期目標(biāo)來看能夠不同程度的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。但如果只對學(xué)生進(jìn)行

36、這方面的訓(xùn)練，就會(huì)降低、淡化數(shù)學(xué)知識本身所具有的強(qiáng)心健腦的功23能，學(xué)生可能形成只會(huì)按步照搬，缺乏創(chuàng)造力、分析力、想象力的行為模式，從這個(gè)角度講，不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和以后學(xué)習(xí)能力的提高。測試分析表明，對用綜合法解決立體幾何比較熟練的學(xué)生來說，學(xué)習(xí)向量法解決幾何問題時(shí)也比較容易接受。6.2建議基于以上的比較分析，本文認(rèn)為在高中階段，學(xué)習(xí)綜合法和向量法都是必要的，重要的在于處理好二者的地位和關(guān)系。首先，在高一階段學(xué)習(xí)綜合立體幾何，打好基礎(chǔ)?；A(chǔ)對學(xué)習(xí)立體幾何是很重要的。在立體幾何的初始學(xué)習(xí)階段，應(yīng)使學(xué)生在作圖、識圖、讀圖方面以及在位置關(guān)系的判斷方面夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)他們的空間想能力和邏輯思維能力。高一階段正好是由初中的“實(shí)物”到“抽象”的時(shí)期，該階段數(shù)學(xué)課程作為初高中數(shù)學(xué)銜接的載體，此時(shí)采用向量途徑是不可取的：在缺乏足夠的具體模型、幾何經(jīng)驗(yàn)和空間感的條件下，學(xué)習(xí)幾何的向量結(jié)構(gòu)會(huì)造成更大教育上的困難。歐氏幾何許多經(jīng)典的內(nèi)容在數(shù)學(xué)課程中仍具有重要的地位，在高一階段我們應(yīng)該大力加強(qiáng)學(xué)生的思維習(xí)慣和思維方式的訓(xùn)練，利用推理的邏輯性、證明的簡潔性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思考問題的習(xí)慣和科學(xué)的思維方法。其次，在高二階段學(xué)習(xí)向量法，但內(nèi)容不