彈塑性力學(xué)第一章緒論

1、授課教師：龍志飛授課教師：龍志飛目錄目錄 第第 一一 章章 緒論緒論 第第 二二 章章 應(yīng)力分析應(yīng)力分析 第第 三三 章章 應(yīng)變分析應(yīng)變分析 第第 四四 章章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 第第 五五 章章 線彈性力學(xué)問(wèn)題的基本線彈性力學(xué)問(wèn)題的基本 解法和一般性原理解法和一般性原理 第第 六六 章章 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)系解答彈性力學(xué)平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)系解答 第第 七七 章章 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)系解答彈性力學(xué)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)系解答 第第 八八 章章 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn) 第第 九九 章章 空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 第第 十十 章章 彈性力學(xué)問(wèn)題的能量原理彈性力學(xué)問(wèn)題的能

2、量原理 第第 十一十一 章章 塑性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)塑性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí) 1.徐芝綸，徐芝綸， 彈性力學(xué)：上冊(cè)彈性力學(xué)：上冊(cè).第三版第三版,高等教育高等教育出版社出版社.1990年年 2.陸明萬(wàn)陸明萬(wàn).羅學(xué)富羅學(xué)富,彈性理論基礎(chǔ)彈性理論基礎(chǔ),清華大學(xué)出版清華大學(xué)出版社社. 1990年年 3.杜慶華杜慶華.余壽文余壽文.姚振漢姚振漢,彈性理論彈性理論,科學(xué)出版社科學(xué)出版社. 1986年年 4.王龍甫王龍甫,彈性理論彈性理論.第二版第二版,科學(xué)出版社科學(xué)出版社. 1984年年 5.吳家龍吳家龍,彈性力學(xué)：高等教育出版社彈性力學(xué)：高等教育出版社.2001年年1-1 1-1 1.1 任務(wù)：任務(wù)： 彈塑性力學(xué)是固

3、體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它是研究可變形固體當(dāng)受到外部因素（如載荷它是研究可變形固體當(dāng)受到外部因素（如載荷作用、溫度變化、邊界約束移動(dòng)等）作用時(shí)，作用、溫度變化、邊界約束移動(dòng)等）作用時(shí)，研究變形固體的變化和內(nèi)力，為保證變形體或研究變形固體的變化和內(nèi)力，為保證變形體或結(jié)構(gòu)在使用周期內(nèi)有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定結(jié)構(gòu)在使用周期內(nèi)有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，提供設(shè)計(jì)和施工（制造）的依據(jù)。性，提供設(shè)計(jì)和施工（制造）的依據(jù)。1-1 彈塑性力學(xué)是根據(jù)固體材料受外因彈塑性力學(xué)是根據(jù)固體材料受外因作用時(shí)所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。作用時(shí)所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。它們是固體材料

4、變化過(guò)程的兩個(gè)階段。它們是固體材料變化過(guò)程的兩個(gè)階段。1-1 當(dāng)外部因素作用時(shí)，固體發(fā)生變形，如果當(dāng)當(dāng)外部因素作用時(shí)，固體發(fā)生變形，如果當(dāng)外因去掉，變形體恢復(fù)原樣（狀），稱(chēng)固體外因去掉，變形體恢復(fù)原樣（狀），稱(chēng)固體（材料）處于彈性性質(zhì)，（材料）處于彈性性質(zhì)， 單值；單值；1-1 如果當(dāng)外因去掉，變形體未能恢復(fù)原狀并如果當(dāng)外因去掉，變形體未能恢復(fù)原狀并存在永久變形，變形固體在外因作用時(shí)已進(jìn)存在永久變形，變形固體在外因作用時(shí)已進(jìn)入塑性階段，入塑性階段， 曲線不是單值函數(shù)。曲線不是單值函數(shù)。 當(dāng)然變形體常遇到在物當(dāng)然變形體常遇到在物體某一局部處于彈性、而另體某一局部處于彈性、而另一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，

5、彈塑一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑性交織在一起性交織在一起 。1-1 1.2 1.2 研究的對(duì)象：研究的對(duì)象： 材料力學(xué)材料力學(xué)和和結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)是大學(xué)的主干課程，是大學(xué)的主干課程，它們也是固體力學(xué)中較基本的力學(xué)課程。在它們也是固體力學(xué)中較基本的力學(xué)課程。在許多工程設(shè)計(jì)中，工程師運(yùn)用它們進(jìn)行設(shè)計(jì)許多工程設(shè)計(jì)中，工程師運(yùn)用它們進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算，但它們研究的對(duì)象單一：桿件型構(gòu)和計(jì)算，但它們研究的對(duì)象單一：桿件型構(gòu)件或桿系結(jié)構(gòu)，（一維問(wèn)題），具有局限性。件或桿系結(jié)構(gòu)，（一維問(wèn)題），具有局限性。1-1 1.2 1.2 研究的對(duì)象：研究的對(duì)象： 彈塑性力學(xué)彈塑性力學(xué)研究的對(duì)象就廣泛的多，除研究的對(duì)象就廣泛的多

6、，除了桿件外，二維、三維實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼結(jié)了桿件外，二維、三維實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼結(jié)構(gòu)。所以彈塑性理論基本方程要復(fù)雜的多，構(gòu)。所以彈塑性理論基本方程要復(fù)雜的多，具有一般性。具有一般性。 1-2 2.12.1基本假設(shè)基本假設(shè)假設(shè)假設(shè)1：固體材料是連續(xù)的介質(zhì)，即固體體積固體材料是連續(xù)的介質(zhì)，即固體體積內(nèi)處處充滿介質(zhì)，沒(méi)有任何間隙。內(nèi)處處充滿介質(zhì)，沒(méi)有任何間隙。 從材料的微觀看此假設(shè)不正確。因?yàn)榱Ｗ訌牟牧系奈⒂^看此假設(shè)不正確。因?yàn)榱Ｗ娱g有空隙，但從宏觀上看作為整體進(jìn)行力學(xué)分間有空隙，但從宏觀上看作為整體進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，假設(shè)析時(shí)，假設(shè)1是成立的。假設(shè)是成立的。假設(shè)1的目的：變形體的目的：變形體的各物理量為

7、連續(xù)函數(shù)（坐標(biāo)函數(shù)）。的各物理量為連續(xù)函數(shù)（坐標(biāo)函數(shù)）。1-2 假設(shè)假設(shè)2：物體的材料是均勻的。認(rèn)為物體內(nèi)物體的材料是均勻的。認(rèn)為物體內(nèi)各點(diǎn)的材料性質(zhì)相同（力學(xué)特性相同），所各點(diǎn)的材料性質(zhì)相同（力學(xué)特性相同），所以從物體內(nèi)任一部分中取出微元體進(jìn)行研究，以從物體內(nèi)任一部分中取出微元體進(jìn)行研究，它的力學(xué)性質(zhì)代表了整個(gè)物體的力學(xué)性質(zhì)。它的力學(xué)性質(zhì)代表了整個(gè)物體的力學(xué)性質(zhì)。1-2 假設(shè)假設(shè)3：小變形假設(shè)。物體在外因作用下，物小變形假設(shè)。物體在外因作用下，物體產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小。體產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小。假設(shè)假設(shè)4：應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為線性。此假設(shè)適應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為線性。此假設(shè)適

8、用于線彈性理論。用于線彈性理論。1-2 2.2 2.2 基本規(guī)律基本規(guī)律 完成彈塑性力學(xué)任務(wù)所要遵循的三個(gè)基完成彈塑性力學(xué)任務(wù)所要遵循的三個(gè)基本規(guī)律（或應(yīng)滿足的三方面的條件）：本規(guī)律（或應(yīng)滿足的三方面的條件）：1. 平衡規(guī)律平衡規(guī)律：固體受到外力與自身的內(nèi)力要固體受到外力與自身的內(nèi)力要滿足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址綕M足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址匠蹋ǔ蹋?個(gè)）。1-2 2. 幾何連續(xù)性規(guī)律幾何連續(xù)性規(guī)律：要求變形前連續(xù)的物要求變形前連續(xù)的物體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個(gè)規(guī)律建立體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個(gè)規(guī)律建立幾何方程（幾何方程（6個(gè)）或變形協(xié)調(diào)方程，均為微個(gè)）或變形協(xié)調(diào)方程

9、，均為微分方程。分方程。1-2 3. 物理（本構(gòu)）關(guān)系物理（本構(gòu)）關(guān)系：應(yīng)力（內(nèi)力）應(yīng)力（內(nèi)力）與應(yīng)變（變形）之間的關(guān)系，據(jù)材料的與應(yīng)變（變形）之間的關(guān)系，據(jù)材料的不同性質(zhì)不同性質(zhì) 來(lái)建立，最常見(jiàn)的為各向來(lái)建立，最常見(jiàn)的為各向同性材料。同性材料。在線彈性中本構(gòu)方程為線性代數(shù)方程在線彈性中本構(gòu)方程為線性代數(shù)方程（6個(gè)）。個(gè)）。1-3 數(shù)學(xué)方法：精確解法（解析解）、近似解法、數(shù)學(xué)方法：精確解法（解析解）、近似解法、 數(shù)值解法。數(shù)值解法。實(shí)驗(yàn)方法：電測(cè)方法、光測(cè)方法等。實(shí)驗(yàn)方法：電測(cè)方法、光測(cè)方法等。1-5 由于彈性力學(xué)研究對(duì)象的普遍性，導(dǎo)致方由于彈性力學(xué)研究對(duì)象的普遍性，導(dǎo)致方程也較繁雜，推導(dǎo)也同

10、樣復(fù)雜，為了使得公式程也較繁雜，推導(dǎo)也同樣復(fù)雜，為了使得公式表示簡(jiǎn)捷，近幾十年彈性力學(xué)的論述及方程列表示簡(jiǎn)捷，近幾十年彈性力學(xué)的論述及方程列式采用指標(biāo)符號(hào)表示。為了這一原因，這里也式采用指標(biāo)符號(hào)表示。為了這一原因，這里也簡(jiǎn)單介紹一些基本概念。這些符號(hào)或公式都是簡(jiǎn)單介紹一些基本概念。這些符號(hào)或公式都是在笛卡爾坐標(biāo)系中采用。在笛卡爾坐標(biāo)系中采用。 1-5 5.1 力學(xué)中常用的物理量力學(xué)中常用的物理量1.標(biāo)量標(biāo)量： 只有大小、沒(méi)有方向性的物理量，與只有大小、沒(méi)有方向性的物理量，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。 用字母表示，如溫度用字母表示，如溫度t、時(shí)間、時(shí)間t、密度、密度 等。標(biāo)量無(wú)下標(biāo)。等。標(biāo)

11、量無(wú)下標(biāo)。1-5 2. 矢量矢量：有大小，又有方向性的物理量：有大小，又有方向性的物理量 矢量的符號(hào)記法。矢量的符號(hào)記法。 31332211iiiererererr 如矢徑如矢徑 （或黑體）、位移（或黑體）、位移 、力、力 等，等， ruf矢量也可以用它的標(biāo)量表示：矢量也可以用它的標(biāo)量表示： x1 3ex3 2e1ex2r1-5 其中其中 、 、 為坐標(biāo)的基方向（單位向量），為坐標(biāo)的基方向（單位向量），r1、r2、r3為為r在坐標(biāo)軸的投影（分量），都有在坐標(biāo)軸的投影（分量），都有一個(gè)下標(biāo)。一個(gè)下標(biāo)。1e2e3ex1 3ex3 2e1ex2r31332211iiieueueueuu1-5 3.

12、張量張量：有大小，并具有多重方向性的量：有大小，并具有多重方向性的量3131333321121111.ijjiijeeeeeeee每個(gè)分量用一個(gè)標(biāo)量（具有兩個(gè)下標(biāo)）與兩個(gè)每個(gè)分量用一個(gè)標(biāo)量（具有兩個(gè)下標(biāo)）與兩個(gè)并在一起基矢量（并矢），稱(chēng)為二階張量。矢并在一起基矢量（并矢），稱(chēng)為二階張量。矢量可稱(chēng)為一階張量，標(biāo)量為零階張量。量可稱(chēng)為一階張量，標(biāo)量為零階張量。 如應(yīng)力如應(yīng)力 、應(yīng)變、應(yīng)變 ，張，張量的符號(hào)記法。量的符號(hào)記法。1-5 5.2求和約定求和約定 在張量表示說(shuō)明中，看到張量分量表示是在張量表示說(shuō)明中，看到張量分量表示是一組符號(hào)之和，很長(zhǎng)，特別是高階張量，為了一組符號(hào)之和，很長(zhǎng)，特別是高階張

13、量，為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)捷，采用求和約定。書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)捷，采用求和約定。求和約定求和約定：當(dāng)在同一項(xiàng)中，有一個(gè)下標(biāo)字母出當(dāng)在同一項(xiàng)中，有一個(gè)下標(biāo)字母出現(xiàn)兩次時(shí)，則表示該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)現(xiàn)兩次時(shí)，則表示該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，且稱(chēng)此種在同一項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)一次的遍歷求和，且稱(chēng)此種在同一項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)為啞標(biāo)。下標(biāo)為啞標(biāo)。 1-5 啞標(biāo)如：?jiǎn)?biāo)如：31 12 23 31i ii iirrer ererere31 12 23 31i ii iiuu eu eu eu eu ejiijijjiijeeeeeeeeee3131333321121111.由于啞標(biāo)由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，因此啞標(biāo)可以?xún)H表示

14、要遍歷求和，因此啞標(biāo)可以成對(duì)的任意換標(biāo)。成對(duì)的任意換標(biāo)。 jjr ejju e1-5 5.3自由指標(biāo)自由指標(biāo) 一個(gè)表達(dá)式中如果出現(xiàn)非重復(fù)的標(biāo)號(hào)或一一個(gè)表達(dá)式中如果出現(xiàn)非重復(fù)的標(biāo)號(hào)或一個(gè)方程每項(xiàng)中出現(xiàn)非重復(fù)的而且為相同字母的個(gè)方程每項(xiàng)中出現(xiàn)非重復(fù)的而且為相同字母的指標(biāo)，稱(chēng)為自由指標(biāo)。指標(biāo)，稱(chēng)為自由指標(biāo)。 矢徑矢徑 r 的表示：的表示： 矢徑的三個(gè)分量為矢徑的三個(gè)分量為ri (i=1,2,3)，用，用ri表示矢徑；表示矢徑； 同樣位移矢量同樣位移矢量u，用用ui表示位移，表示位移， ij 表示表示應(yīng)力應(yīng)力 張量。張量。1-5 jijiyax 1111122133221122223333113223

15、33xa ya ya yxa ya ya yxa ya ya yi 為自由指標(biāo)，取i=1,2,3 表示三個(gè)方程。 j為啞指標(biāo)，表示求和。 1-5 5.4 克羅內(nèi)克符號(hào)克羅內(nèi)克符號(hào) ij （kronecker delta） 定義：定義： ij（i,j為自由指標(biāo)）共有九個(gè)分量，為自由指標(biāo)）共有九個(gè)分量， i,j 各取各取13。 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)jijiij01)3 , 2 , 1,ji（1-5 由由 ij 定義定義9個(gè)個(gè)元素組成矩元素組成矩陣為單位陣：陣為單位陣： i100010001333231232221131211 ij符號(hào)的應(yīng)用符號(hào)的應(yīng)用 笛卡爾坐標(biāo)系的笛卡爾坐標(biāo)系的基向量的點(diǎn)積基向量的點(diǎn)積 時(shí)時(shí)

16、jijieeji01ijjiee1-5 由由 ij 定義及啞標(biāo)、自由標(biāo)定義，可得：定義及啞標(biāo)、自由標(biāo)定義，可得：112233ii1 12233ijjiiiaaaa1 1223310ikkjijijijijijij 3( )( )iiiiaa1-5 如果如果 ij 符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中有一個(gè)指標(biāo)和同符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中有一個(gè)指標(biāo)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)替換成那個(gè)重指標(biāo)替換成 ij 的另一個(gè)指標(biāo)，而的另一個(gè)指標(biāo)，而 ij 自自動(dòng)消失。動(dòng)消失。 ij 也稱(chēng)為也稱(chēng)為 換標(biāo)符號(hào)換標(biāo)符號(hào)。兩個(gè)任意向量點(diǎn)積兩個(gè)任意向量點(diǎn)積 () ()i ijja

17、 baeb eijijiiabab1-5 5.5 排列符號(hào)排列符號(hào)（levicivtita）eijk定義：定義： 中任意兩指標(biāo)相同時(shí)若逆排列順序）時(shí)，）或（，或（若正排列順序時(shí)或或若kjikjikjieijk,0123231)3 , 1 , 2(),(1)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 (),(1 eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有共有27個(gè)元素。個(gè)元素。 1-5 排列符號(hào)的作用可以簡(jiǎn)化公式書(shū)寫(xiě)，如：排列符號(hào)的作用可以簡(jiǎn)化公式書(shū)寫(xiě)，如： 1 三階行列式：三階行列式： kjiijkkjiijkaaaeaaaeaaaaaaaaaa32132133323

18、1232221131211（共六項(xiàng)，三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)）。（共六項(xiàng)，三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)）。 1-5 2. 基向量的叉積：右手系基向量的叉積：右手系 3123321eeeee3213312eeeee 任意基向量的叉積可寫(xiě)為任意基向量的叉積可寫(xiě)為 kkijkijkjieeeeee1-5 3向量叉積的展開(kāi)式：向量叉積的展開(kāi)式： iieaajjebb 而而 kkecbackkijjikijkjijjiieebaeebaebeaba1-5 kkijjikijkjijjiieebaeebaebeaba 得 jikijjiijkkbaebaeckjiijkebaebbbaaaeeebac3213213211

19、-5 5.6 梯度（梯度（grad）、散度（）、散度（div）、）、 旋度旋度rot或或curl）：）：1標(biāo)量場(chǎng)的梯度：標(biāo)量場(chǎng)的梯度： 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) ( xi,) 的梯度為：的梯度為： 標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)： = ( x1,x2,x3 )= ( xi,) 1-5 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) ( xi,) 的梯度為：的梯度為： ,iiiigradeex 其中 iixeiix,123123eeeijkxxxxyz1-5 標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量場(chǎng)，類(lèi)推矢量場(chǎng)的標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量場(chǎng)，類(lèi)推矢量場(chǎng)的梯度為二階張量。梯度為二階張量。23 ,22,21 , 標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向與等值面標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向與等值面 ( xi,)=c垂直，

20、垂直，大小為大小為 ( xi,)在其法線方向上的方向?qū)?shù)在其法線方向上的方向?qū)?shù)1-5 2矢量場(chǎng)的散度：矢量場(chǎng)的散度： 矢量矢量 定義向量場(chǎng)的散度為定義向量場(chǎng)的散度為 iievviixvijxvjjxivevevvdiviiiji,或或 332211xvxvxvv類(lèi)推對(duì)張量場(chǎng)也可得它的散度。類(lèi)推對(duì)張量場(chǎng)也可得它的散度。 1-5 3矢量場(chǎng)的旋度：矢量場(chǎng)的旋度：jijjijk kiivrotvcurlvvev ee exx123123,123ijkj ikxxxeeee v evvviievv矢量矢量 ，定義向量場(chǎng)的旋度為，定義向量場(chǎng)的旋度為1-5 4拉普拉斯算子（拉普拉斯算子（laplace o

21、pertor）：2()()div grad 標(biāo)量場(chǎng)中的拉普拉斯算子定義為標(biāo)量場(chǎng)中的拉普拉斯算子定義為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) ( xi,)的梯度的散度，的梯度的散度，是一個(gè)標(biāo)量，是一個(gè)標(biāo)量，1-5 2()()div grad 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) ( xi,)的梯度的散度，是一個(gè)標(biāo)量的梯度的散度，是一個(gè)標(biāo)量2()()ijijijijiieexxx xxx 222,222123iixxx 1-5 矢量場(chǎng)的拉普拉斯算子定義為矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的拉普拉斯算子定義為矢量場(chǎng)的梯度的散度：是一個(gè)向量梯度的散度：是一個(gè)向量 ()()ijkkijveev exx 1-5 ()()ijkkijveev exx ()()kkijkijk

22、ijijvvee eexxxx 1-5 ()()kkijkijkijijvvee eexxxx ,()()kikii jjijjjjvveevexxxx1-5 5.7高斯（高斯（gauss）公式（散度定理）：）公式（散度定理）： 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 定義在三維域定義在三維域v內(nèi)，內(nèi)，s為為v的表的表面。在表面上任一微元面面。在表面上任一微元面ds，單位外法線，單位外法線 為為（ ）。若）。若 在在vs上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：iieuunjjennusvdsundvu1-5 矢量場(chǎng)散度的體積積分等于矢量場(chǎng)在表面法矢量場(chǎng)散度的體積積分等于矢量場(chǎng)在表面法線上投影的積分。線上投影的積分。ssiiviivdsundsnudvudv