第三章剛體力學基礎

1、第三章第三章剛體力學基礎剛體力學基礎一一. 剛體剛體 內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實際物體的一種理想的模型剛體是實際物體的一種理想的模型 用以確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐用以確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐 標的個數。標的個數。自由剛體的自由度數自由剛體的自由度數 n=6非自由剛體的自由度數小于非自由剛體的自由度數小于6 物體系運動自由度物體系運動自由度n，決定了其獨立的微分方程組的數目，決定了其獨立的微分方程組的數目有有n個，其中每個方程均為

2、二階微分方程個，其中每個方程均為二階微分方程.若運動被限制或被若運動被限制或被約束約束,其自由度將減少。多一個約束條件其自由度將減少。多一個約束條件,就減少一個自由度。就減少一個自由度。abc二、剛體的自由度二、剛體的自由度1. 1. 平動平動（平移）（平移） （n=3） 運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。持方向不變。 剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通過該點剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通過該點的軸線的轉動的軸線的轉動特點：特點：剛體內所有的點具有相同的位移、速度和加速度。剛體內所有的點具有相同的位移、速度和

3、加速度。 剛體上任一點的運動規(guī)律即代表剛體的平動規(guī)律。剛體上任一點的運動規(guī)律即代表剛體的平動規(guī)律。 研究方法：用研究方法：用質心質心代表整個代表整個剛體的運動。剛體的運動?？梢暈橘|點可視為質點。（n=1） 剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸。為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸。轉軸固定不動的轉動。轉軸固定不動的轉動。zo特點：特點：剛體內所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速剛體內所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速度。度。剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛體定軸剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表

4、了剛體定軸轉動的規(guī)律轉動的規(guī)律5. 剛體的一般運動（剛體的一般運動（n=6） 剛體的一般運動可視為隨剛體上剛體的一般運動可視為隨剛體上某一基點某一基點a的平動和繞該點的定點的平動和繞該點的定點轉動的合成轉動的合成.oo o o o 將剛體的運動看作質心的平動將剛體的運動看作質心的平動與相對于通過質心并垂直運動平與相對于通過質心并垂直運動平面的軸的轉動的疊加。面的軸的轉動的疊加。3.平面平行運動（平面平行運動（n=3） 剛體運動時剛體運動時, 各點始終和某一平面保持一定的距離各點始終和某一平面保持一定的距離, 或者說或者說剛體中各點都平行于某一平面而運動剛體中各點都平行于某一平面而運動4.剛體定

5、點轉動（剛體定點轉動（n=3）剛體運動時，始終繞一固定點轉動剛體運動時，始終繞一固定點轉動.角位置：角位置： 1. 定軸轉動的角量描述定軸轉動的角量描述 ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均為矢角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中方向沿轉軸量，定軸轉動中方向沿轉軸的方向。角速度方向并滿足的方向。角速度方向并滿足右手螺旋定則。右手螺旋定則。2. 角量和線量的關系角量和線量的關系rv 2raran 在剛體作勻角加在剛體作勻角加速轉動時，速轉動時， =常數，常數，有以下有以下相應的公式相應的公式:200t21tt0

6、02022 在質點作勻加速直在質點作勻加速直線運動時，線運動時，a =常數，常數，有以下有以下相應的公式相應的公式:20021attvxx atvv 0)(20202xxavvt 3、勻變速轉動的公式、勻變速轉動的公式剛體獲得角加速度的原因？剛體獲得角加速度的原因？第二節(jié)第二節(jié) 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 角動量守恒定律角動量守恒定律一、力對轉軸的一、力對轉軸的力矩力矩frmz zfrpdozm轉動平面轉動平面 rfrfmz sin方向如圖方向如圖z1frpo轉動平面轉動平面2ffzm1frmz rfrfmz sin1 f方向如圖方向如圖1、力在轉動平面內、力在轉動平面內2、力不在轉動平

7、面內、力不在轉動平面內穿過轉軸穿過轉軸z的力的力和平行轉軸和平行轉軸z的的力對轉軸力對轉軸z的力的力矩為矩為0。frmzfdfpo大小：大?。篸frfmsin 方向：方向： 沿沿fr方向。定軸轉動中沿轉動軸的方向。方向。定軸轉動中沿轉動軸的方向。 當有當有n個外力作用有定軸轉動的剛體上時，其總力矩的個外力作用有定軸轉動的剛體上時，其總力矩的量值應等于這量值應等于這n個外力對轉軸產生分力矩的代數和。個外力對轉軸產生分力矩的代數和。？為什么？為什么質點系角動量定理質點系角動量定理:質點系所受外力矩之和等于系統(tǒng)總角動量質點系所受外力矩之和等于系統(tǒng)總角動量的變化率的變化率(p85)dtldm外對于定軸

8、對于定軸z z軸轉動剛體軸轉動剛體, ,上式同樣成立上式同樣成立, ,且且m只沿只沿z軸方向軸方向,故有故有:dtdlmzziiiiiiivrmvmrl)( 如圖所示，考慮以角速度如圖所示，考慮以角速度 繞繞z軸轉軸轉動的一個剛體，其上任一質元動的一個剛體，其上任一質元 相對相對于原點于原點0的角動量為的角動量為 imiiiivrmlli在z軸上的分量為：2sinsiniiiiiiiiiizrmvrmvrmlljlziiiiizzrmll2 因此，定軸轉動剛體的總角動量因此，定軸轉動剛體的總角動量 對轉動軸對轉動軸 z 軸的分量軸的分量的大小為：的大小為：liiirm：j2令dtjddtdlm

9、zz:由對定軸剛體，對定軸剛體，j為常量，為常量，jdtdjmzj j ：稱為剛體對于：稱為剛體對于轉軸的轉軸的轉動慣量轉動慣量定軸下，可不寫角標定軸下，可不寫角標 z，記作：，記作：mj 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律與牛頓第二定律比較：與牛頓第二定律比較： f = m amfjma 2iirmj連續(xù)體：連續(xù)體：dmrj21. 轉動慣量的物理意義：轉動慣量的物理意義：剛體轉動慣性大小的量度。剛體轉動慣性大小的量度。 2. 轉動慣量的計算轉動慣量的計算轉動慣量大小有關因素轉動慣量大小有關因素:與剛體的質量及與剛體的質量及質量相對于給定軸的分布有關。質量相對于給定軸的分布有關。 注注:在定軸轉

10、動定律中，不論是對在定軸轉動定律中，不論是對m還是對于還是對于j，首先都要，首先都要 明確的是轉軸的位置，只有軸確定，明確的是轉軸的位置，只有軸確定，m和和j才有意義。才有意義。 dmrm在（在（si）中，）中，j 的單位：的單位：kgm2四：剛體定軸轉動定律的應用和轉動慣量的計算四：剛體定軸轉動定律的應用和轉動慣量的計算jdtdjmdmrj2dldmdsdmdvdm質量為線分布質量為線分布質量為面分布質量為面分布質量為體分布質量為體分布其中其中 、 、 分分別為質量的線密別為質量的線密度、面密度和體度、面密度和體密度。密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布1、對于轉動慣量：、對于轉動慣量

11、：求一質量為求一質量為 m ，長為，長為 l 的均勻細棒的轉動慣量。的均勻細棒的轉動慣量。 （1）軸通過棒的一端并與棒垂直軸。）軸通過棒的一端并與棒垂直軸。 （2）軸通過棒的中心并與棒垂直；）軸通過棒的中心并與棒垂直；oxzdxdmxdmrj2dxlmdxdmllxlmdxlmxj030231231mlj 122222/mldxxjllc abl/2l/2cx注：同一剛體，相對不同的轉軸，轉動慣量是不同的。注：同一剛體，相對不同的轉軸，轉動慣量是不同的。 2、對于轉動定律的應用、對于轉動定律的應用 解題要點解題要點例例6-1、一根長為、一根長為l、質量為、質量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的

12、的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在水平位光滑水平軸，因而可以在豎直平面內轉動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺置，求它由此下擺 角時的角加速度和角速度。角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對力矩為重力對o的力矩。的力矩。 當當棒處在下擺棒處在下擺 角時角時，重力矩重力矩為：為： o cosmglm21 mgclgmlmgljm2331212 coscos ddjdtdddjdtdjjm 21 cosmglm代入djdmglcos2100cos21djdmgl221sin21jmgllgjmglsin3

13、sin djmd質量為質量為 m ，半徑為，半徑為 r 的細圓環(huán)和均勻薄圓盤，求通過的細圓環(huán)和均勻薄圓盤，求通過各自中心并與圓面垂直的軸的轉動慣量。各自中心并與圓面垂直的軸的轉動慣量。rdrdm2dmrj2drr32rdrrj03224212mrrrmodm對圓環(huán)：對圓環(huán)：222mrdmrdmrj 對圓盤：對圓盤：rmrdr解：分析受力：圖示解：分析受力：圖示質點質點aamamgtsin1質點質點bbmatmg2abr ,jnf1tgm1rf2tmg1t2tmg例例6-2、如圖，斜面傾角為、如圖，斜面傾角為，質量均為，質量均為m的兩物體的兩物體a、b，經，經細繩聯(lián)接，繞過一定滑輪。定滑輪轉動（

14、視為圓盤）半徑為細繩聯(lián)接，繞過一定滑輪。定滑輪轉動（視為圓盤）半徑為r、質量為質量為m。求物體運動中定滑輪兩側繩中的張力及。求物體運動中定滑輪兩側繩中的張力及b下落的加下落的加速度速度a（不計摩擦）（不計摩擦）滑輪（剛體）滑輪（剛體）jrtrt12)tt,tt(1122聯(lián)系量聯(lián)系量raaba聯(lián)立求解可得聯(lián)立求解可得t1 、t2、 aa、 ab、為什么此時為什么此時t1 t2 ？3、 平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：平行軸定理：2mdjjcz221mrjc2221mrmrjz223mrmzjcj例：例：垂直軸定理垂直軸定理ozyxyxzjjj221mrjz241mrjjy

15、x例：例：2212mrjjjxyx幾幾種種常常見見剛剛體體的的轉轉動動慣慣量量orpdz回顧：質點對回顧：質點對o點的角動量點的角動量決定由方向大小prpdprl:sin:prl五五 剛體定軸轉動的角動量與角動量定理剛體定軸轉動的角動量與角動量定理 2jrmrvmlliiiiiiiiio圖26irivimzjl 角角動動量量l是是矢矢量量，定定軸軸轉轉動動中中l(wèi)的的方方向向沿沿的的方方向向，即即 jl 0mcjl角動量守恒定律角動量守恒定律 dtdjjm 由轉動定律由轉動定律dtlddtjdm )( lddtm 0tt00 jjlddtmll 沖量矩（角沖量）沖量矩（角沖量）表示合外力矩在表示

16、合外力矩在t0t 時間內的累積作用。時間內的累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的增量。角動量定理角動量定理 角動量守恒現(xiàn)象舉例角動量守恒現(xiàn)象舉例第三節(jié)第三節(jié) 剛體的能量剛體的能量idoi圖29ifiril dzp0pdmdrfdrfdlfl dfdwiiiiiiiiiiiii sin sin cos 0mdwmddmdwdwiiii 剛體的內力不做功剛體的內力不做功一、剛體定軸轉動的動能與動能定理一、剛體定軸轉動的動能與動能定理o圖26irivimz222221)(21)21(jrmvmeiiiiiik221jek1剛體的轉動動能剛體的轉動動能

17、2. 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理202212100jjdjmdddjdtdddjdtdjjm0kkeew 圖164imihciiiiiiiipmghmhmmgghmecpmghe 0外mceeekp推廣：推廣：對含有剛體和質點復雜系統(tǒng)，對含有剛體和質點復雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內力都是保守力，若外力不做功，且內力都是保守力，則系統(tǒng)機械能守恒，即則系統(tǒng)機械能守恒，即 ceeepk質點：mghemvepk,212 剛體：cpkmgheje,212 圖163lagmc解解 (1)桿桿+子彈：豎直位置，外力子彈：豎直位置，外力(軸軸o處的力和重力處的力和重力)均不產生力矩，故碰撞過程

18、中角動量守恒：均不產生力矩，故碰撞過程中角動量守恒： )32(313222lmmllmo 解得解得)43(6mmlmo 例題例題 勻質桿：長為勻質桿：長為l、質量質量m，可繞水平光滑固定軸可繞水平光滑固定軸o轉動，開始時桿豎直下垂。質量為轉動，開始時桿豎直下垂。質量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 o射入桿上的射入桿上的a點，并嵌在桿中，點，并嵌在桿中，oa=2l/3, 求求:(1)子彈射子彈射入后瞬間桿的角速度入后瞬間桿的角速度; (2)桿能轉過的最大角度桿能轉過的最大角度 。m ooa 32l222)32(3121 lmml )322()32(31 2)32(1cos222lmglmg

19、lmmllmo 由此得：由此得：(2)桿在轉動過程中顯然機械能守恒：桿在轉動過程中顯然機械能守恒：m ooa 32l2lmg )mmlmo43(6 由前由前221 jek 轉動動能轉動動能 cos32-cos2lmglmg 零勢面零勢面平動動能平動動能221 mek 32-lmg例例6-8 a與與b兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接,a輪的轉動慣輪的轉動慣量量j1=10.0kg.m2,開始時開始時b輪靜止輪靜止,a輪以輪以n1=600r.min-1的轉速轉動的轉速轉動,然然后使后使a與與b連接連接,因而因而b輪的到加速而輪的到加速而a輪減速輪減速,直到兩輪的轉速都等直到兩輪的轉速都等于于n=200r.min-1為止為止.求求(1)b輪的轉動慣量輪的轉動慣量;(2)在嚙合過程中損失的在嚙合過程中損失的機械能機械能.ab解解:(1)取兩飛輪為系統(tǒng)取兩飛輪為系統(tǒng),因軸向力不產生因軸向力不產生轉動力矩轉動力矩；據系統(tǒng)的角動量守恒；據系統(tǒng)的角動量守恒,有有22111jjj12212jj則則b輪的轉動慣量輪的轉動慣量1221jnnn 20 .20mkg(2)系統(tǒng)在嚙合過程中機械能的