第二章 軸向拉壓變形

1、章 節(jié)名 稱學(xué)時(shí)備注第二章軸向拉伸與壓縮1 教學(xué)目標(biāo)： 通過(guò)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使學(xué)生掌握軸向拉壓的概念、內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖、應(yīng)力、拉壓桿內(nèi)的應(yīng)力、拉壓桿的變形及胡克定律、拉壓桿的應(yīng)變能、材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能、強(qiáng)度條件、應(yīng)力集中等知識(shí)點(diǎn)。2 教學(xué)內(nèi)容：主要內(nèi)容包括拉伸及壓縮的定義；桿件橫截面上的內(nèi)力、應(yīng)力、桿件變形的計(jì)算；強(qiáng)度條件及其應(yīng)用；材料的機(jī)械性能；簡(jiǎn)單的拉壓靜不定問(wèn)題求解；應(yīng)力集中的概念等。3 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析及解決策略 本章重、難點(diǎn)為桿件橫截面上的內(nèi)力、應(yīng)力、桿件變形的計(jì)算、內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖、拉壓桿的變形及胡克定律。4 教學(xué)方法： 采用理論講授及實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方法。5

2、教學(xué)進(jìn)程：2-1 軸向拉伸和壓縮的概念工程中有很多構(gòu)件，除連接部分外都是等直桿，作用于桿上的外力（或者外力的合力）的作用線與桿軸線重合，這類構(gòu)件稱為軸向拉（壓）桿，簡(jiǎn)稱拉（壓）桿。1、工程實(shí)例：2、幾何特征： 均為等直桿。3、受力特征：桿在兩端各受一集中力F作用，兩個(gè)力F大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合。4、變形特點(diǎn)： 沿軸向伸長(zhǎng)或縮短。5、計(jì)算簡(jiǎn)圖 FF軸向拉伸FF軸向壓縮22 內(nèi)力截面法軸力及軸力圖一、內(nèi)力 物體在外力的作用下發(fā)生變形，這種由外力作用而引起的質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的該變量，即為材料力學(xué)中所研究的內(nèi)力。由于我們?cè)诓牧狭W(xué)的研究中假設(shè)研究對(duì)象是均勻連續(xù)的可變形固體，因此在物體

3、內(nèi)部相鄰部分之間相互作用的內(nèi)力，實(shí)際上是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，而將分布內(nèi)力系的合成（力或力偶），簡(jiǎn)稱為內(nèi)力。mmFF設(shè)一等直桿在兩端軸向拉力 F 的作用下處于平衡，欲求桿件橫截面 mm 上的內(nèi)力。二、截面法軸力及軸力圖1、截面法l 截開mmFF 在求內(nèi)力的截面m-m 處，假想地將桿截為兩部分。l 代替取左部分部分作為研究對(duì)象。棄去部分對(duì)研究對(duì)象的作用以截開面上的內(nèi)力代替，合力mmFFN為FN 。l 平衡對(duì)研究對(duì)象列平衡方程：FN = F式中：FN為桿件任一橫截面 mm上的內(nèi)力。與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過(guò)其形心。稱為軸力。若取右側(cè)為研究對(duì)象，則在截開面上的軸力與部分左側(cè)上的軸力數(shù)值相等

4、而指向相反。2、軸力符號(hào)的規(guī)定 （1）若軸力的指向背離mmFFN截面，則規(guī)定為正的，稱為拉力。FNmFm（2）若軸力的指向指向截面，則規(guī)定為負(fù)的，稱為壓力。3、軸力圖xFNO用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，稱為軸力圖。將正的軸力畫在x軸上側(cè)，負(fù)的畫在x軸下側(cè)。例題 1：一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖。解: 求支座反力：求AB段內(nèi)的軸力：求CD段內(nèi)的軸力：求DE段內(nèi)的軸力：桿的軸力圖：發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上。23 應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力一、 應(yīng)力的概念1、 定義 桿件截面上內(nèi)力的分布集度，稱為

5、應(yīng)力。它是受力桿件某一截面上分部?jī)?nèi)力在一點(diǎn)處的集度。2、應(yīng)力的表示 平均應(yīng)力 總應(yīng)力（全應(yīng)力） 總應(yīng)力分解為 垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力” 位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“切應(yīng)力”在某一截面上一點(diǎn)處的應(yīng)力是矢量。對(duì)于應(yīng)力分量，通常規(guī)定離開截面的正應(yīng)力為正，反之為負(fù)，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；而對(duì)截面內(nèi)部（靠近截面）的一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)向力矩的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1、變形現(xiàn)象(1) 橫向線ab和cd仍為直線，且仍然垂直于軸線；(2) ab和cd分別平行移至ab和cd，且伸長(zhǎng)量相等。結(jié)論：各纖維的伸長(zhǎng)相同，所以它們所受的力也相同。2、平面假設(shè) 變形前原為平面的橫截面，在變形后仍

6、保持為平面，且仍垂直于軸線。3、 內(nèi)力的分布均勻分布。4、正應(yīng)力公式 式中，F(xiàn)N 為軸力，A 為桿的橫截面面積，s 的符號(hào)與軸力FN 的符號(hào)相同。當(dāng)軸力為正號(hào)時(shí)（拉伸），正應(yīng)力也為正號(hào)，稱為拉應(yīng)力；當(dāng)軸力為負(fù)號(hào)時(shí)（壓縮），正應(yīng)力也為負(fù)號(hào)，稱為壓應(yīng)力 。5、最大正應(yīng)力 當(dāng)?shù)戎睏U受幾個(gè)軸向外力作用時(shí)，由軸力圖可求得其最大軸力FN，max,代入正應(yīng)力計(jì)算公式即得到桿內(nèi)的最大正應(yīng)力為：最大軸力所在的橫截面稱為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力稱為最大工作應(yīng)力。講解課本15頁(yè)例題。二、 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力1、斜截面上的應(yīng)力現(xiàn)研究與橫截面成a角的任一斜截面kk上的應(yīng)力。以 p表示斜截面k - k上的 應(yīng)力

7、，于是有:將應(yīng)力p分解為兩個(gè)分量： 沿截面法線方向的正應(yīng)力 sa沿截面切線方向的剪應(yīng)力 ta2、符號(hào)的規(guī)定（1）角（2）正應(yīng)力（3）切應(yīng)力 對(duì)研究對(duì)象任一點(diǎn)取矩3、討論24 拉（壓）桿的變形胡克定律設(shè)拉桿的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，承受一對(duì)軸向拉力F的作用而伸長(zhǎng)后，其長(zhǎng)度增為L(zhǎng)1，1、縱向變形1）縱向變形2）縱向應(yīng)變2、橫向變形1）橫向變形2）橫向應(yīng)變3、泊松比 m 稱為泊松比。 4、胡克定律 實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。由可得到式式中 E 稱為 彈性模量，EA稱為抗拉（壓）剛度。例題 圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kN，F(xiàn)3=3

8、5kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：(1) -、-、-截面的軸力并作軸力圖(2) 桿的最大正應(yīng)力smax(3) B截面的位移及AD桿的變形解：求支座反力 R = -50kN(1) -、-、-截面的軸力并作軸力圖(2) 桿的最大正應(yīng)力smaxAB段：BC段：DC段：(3) B截面的位移及AD桿的變形25 拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)變能彈性體在受力后要發(fā)生變形，同時(shí)彈性體內(nèi)將積蓄能量。一、能量方法 利用功能原理 U = W 來(lái)求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。二、外力功固體在外力作用下變形，引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移，外力因此而做

9、功，則成為外力功。三、變形能在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性變形能，簡(jiǎn)稱變形能。四、功能原理可變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力均將作功. 對(duì)于彈性體，不考慮其他能量的損失，外力在相應(yīng)位移上作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。五、軸向拉壓的變形能當(dāng)拉力為F1 時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)為l1當(dāng)再增加一個(gè)dF1 時(shí)，相應(yīng)的變形增量為d(l1)此外力功的增量為：積分得：根據(jù)功能原理U = W , 可得以下變形能表達(dá)式：當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí)：當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化時(shí)：比能：?jiǎn)挝惑w積的應(yīng)變能.，記作u 26 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能一、材料的拉伸和壓縮試驗(yàn)1、

10、試驗(yàn)條件 (1) 常溫: 室內(nèi)溫度(2) 靜載: 以緩慢平穩(wěn)的方式加載(3)標(biāo)準(zhǔn)試件：采用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一規(guī)定的試件2、試驗(yàn)設(shè)備(Test instruments)(1)萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī) (2)游標(biāo)卡尺二、低碳鋼試樣的拉伸圖及其力學(xué)性能1、拉伸試件先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為標(biāo)距 l ，3 應(yīng)力應(yīng)變圖表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖(a) 彈性階段 試樣的變形完全彈性的。此階段內(nèi)的直線段材料滿足胡克定律b點(diǎn)是彈性階段的最高點(diǎn)。(b) 屈服階段當(dāng)應(yīng)力超過(guò)b點(diǎn)后，試樣的荷載基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服。c點(diǎn)為屈服低限(c)強(qiáng)化階段過(guò)屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形

11、的能力， 要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。e點(diǎn)是強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)(d) 局部變形階段過(guò)e點(diǎn)后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯箸地收縮，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)。 一直到試樣被拉斷。4、伸長(zhǎng)率和端面收縮率試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長(zhǎng)度由 l 變?yōu)?l1，橫截面積原為 A ，斷口處的最小橫截面積為 A1 。伸長(zhǎng)率斷面收縮率d 5%的材料，稱作塑性材料；d 5%的材料，稱作脆性材料 ；5、卸載定律及冷作硬化卸載定律： 若加栽到強(qiáng)化階段的某一點(diǎn)d 停止加載，并逐漸卸載，在卸載過(guò)程中，荷載與試樣伸長(zhǎng)量之間遵循直線關(guān)系的規(guī)律稱為材料的卸載定律。冷作硬化：在常溫下把材料預(yù)拉到強(qiáng)化階段

12、然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)，試樣在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大.這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。三、其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能1、無(wú)明顯屈服極限的塑性材料2、鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能四、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能1、實(shí)驗(yàn)試件 2、低碳鋼壓縮時(shí)的-曲線壓縮的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E屈服極限ss都與拉伸時(shí)大致相同。屈服階段后，試件越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試件不可能被壓斷，因此得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。3、鑄鐵壓縮時(shí)的-曲線鑄鐵壓縮時(shí)破壞端面與橫截面大致成450 550傾角，表明這類試件主要因剪切而破壞。鑄鐵的抗壓強(qiáng)度極限是抗拉強(qiáng)度極限的45倍。27 強(qiáng)度條件安全因數(shù)許用應(yīng)力一、拉（壓）桿的

13、強(qiáng)度條件桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力。1、數(shù)學(xué)表達(dá)式2、強(qiáng)度條件的應(yīng)用(1) 強(qiáng)度校核(2) 設(shè)計(jì)截面(3) 確定許可核載例題1 簡(jiǎn)易起重設(shè)備中，AC桿由兩根 80807等邊角鋼組成，AB桿由兩根 10號(hào)工字鋼組成。材料為Q235鋼，許用應(yīng)力 s=170Mpa。求許可荷載 F。解：(1) 取結(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。得到：由型鋼表查得：(2) 許可軸力為(3)各桿的許可荷載(4) 結(jié)論：許可荷載 F=184.6kN例題2 剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點(diǎn)，B端作用集中力F=25kN，已知CD桿的直徑d=20mm，許用應(yīng)力s=160MPa，試校核CD桿的強(qiáng)度，并求：（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載F；（2）若F=50kN，設(shè)計(jì)CD桿的直徑。解：(1) 求CD桿受力（2）結(jié)構(gòu)的許可荷載F(3)