2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章5.2向量基本定理與向量的坐標課件新人教B版

1、5.25.2向量基本定理與向量的坐標向量基本定理與向量的坐標第五章第五章2022內(nèi)容索引必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題55共線定理的推廣及應(yīng)用共線定理的推廣及應(yīng)用必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診【知識梳理知識梳理】 1.共線向量基本定理如果a0且ba,則存在唯一一個實數(shù),使得.2.平面向量基本定理(1)定理:如果平面內(nèi)兩個向量a與b,則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在的實數(shù)對(x,y),使得.(2)基底:平面內(nèi)的兩個向量a與b組成的集合a,b,常稱為該平面上向量的一組基底.此時如果c=xa+yb,則稱為c在基底a,b下的分解式.

2、b=a 不共線 唯一 c=xa+yb 不共線 xa+yb 3.直線上向量的坐標及其運算(1)直線上向量的坐標給定一條直線l以及這條直線上一個e,由共線向量基本定理可知,對于直線l上的任意一個向量a,一定存在唯一的實數(shù)x,使得,此時,稱為向量a的坐標.(2)直線上向量的運算與坐標的關(guān)系已知直線上兩個向量a,b的坐標分別為x1,x2,則a+b的坐標為;ua+vb的坐標為;ua-vb的坐標為.xa+yb a=xe x x1+x2 ux1+vx2 ux1-vx2 (3)數(shù)軸上兩點間的距離公式(4)中點坐標公式設(shè)m(x)是線段ab的中點,則x=.|x2-x1| 4.平面向量的坐標(1)垂直向量:平面上兩

3、個非零向量a與b,如果它們所在的,我們就稱向量a與b垂直,記作.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.(2)正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,就稱這組基底為;在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.(3)向量的坐標一般地,給定平面內(nèi)兩個向量e1,e2,對于平面內(nèi)的向量a,如果a=xe1+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標,記作a=(x,y).直線互相垂直 ab正交基底相互垂直的單位5.平面上向量的運算與坐標的關(guān)系假設(shè)平面上兩個向量a,b滿足a=(x1,y1),b=(x2,y2),則(1)a+b=;(2)a-b=;(3)如果為實數(shù),那么a=;(4)如果,v是兩個實數(shù),那么a+vb=,

4、a-vb=;(5)向量相等的充要條件為且;(6)模長公式為|a|=;(7)向量平行的坐標表示:ab.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) (x1+vx2,y1+vy2) (x1-vx2,y1-vy2) x1=x2 y1=y2 x2y1=x1y2 6.平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式與中點坐標公式設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則(3)設(shè)ab的中點m(x,y),則x=,y=.常用結(jié)論1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()(2)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變.()(3)兩個向量

5、的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同.()(4)已知a,b是平面向量的一組基底,若實數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2.()【考點自診考點自診】 2.(2019全國2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=() 答案 a 答案 a 4.(2018全國3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破考點考點1 1共線向量基本定理的應(yīng)用共線向量基本定理的應(yīng)用【例1】 設(shè)兩個非零向量a與b不共線.(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.變式發(fā)散2若將本例(2)中的“共

6、線”改為“反向共線”,則k為何值? 解 因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù),使ka+b=(a+kb)(0),又因為0,k=,所以k=-1.故當(dāng)k=-1時,兩向量反向共線.解題心得提醒證明三點共線時,需說明共線的兩向量有公共點.答案 (1)c(2)b 考點考點2 2平面向量基本定理及其應(yīng)用平面向量基本定理及其應(yīng)用答案 (1)c(2)c 解題心得平面向量基本定理的實質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘向量.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量

7、的運算來解決.(2)在下列向量組中,可以把向量a=(2,3)表示成e1+e2(,r)的是()a.e1=(0,0),e2=(2,1)b.e1=(3,4),e2=(6,8)c.e1=(-1,2),e2=(3,-2)d.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基底a,b的線性組合,即e1+e2=.(2)根據(jù)平面向量基本定理可知,e1,e2不共線,驗證各選項,只有選項c中的兩個向量不共線,故選c.(3)由題意,設(shè)e1+e2=ma+nb.因為a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1

8、+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得考點考點3 3平面向量的坐標化及運算平面向量的坐標化及運算答案 (1)b(2)b 解題心得求解平面向量坐標運算問題的一般思路(1)向量問題坐標化向量的坐標運算,使得向量的線性運算都可用坐標來進行,實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,通過建立平面直角坐標系,使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算.(2)巧借方程思想求坐標平面向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行,若已知有向線段兩端點的坐標,則應(yīng)先求出向量的坐標,求解過程中要注意方程思想的運用.(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用平面向量坐標運算求向量的基底

9、表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定系數(shù)法求出系數(shù).答案 (1)(4,7)(2)a (2)如圖,以a為原點,ab所在直線為x軸,ac所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則b點的坐標為(1,0),c點的坐標為(0,2),因為dab=60,所以設(shè)d點的坐標為考點考點4 4平面向量共線的坐標平面向量共線的坐標表示表示(多考向探究多考向探究)考向1利用向量共線求向量或點的坐標【例4】 已知o為坐標原點,點a(4,0),b(4,4),c(2,6),則ac與ob的交點p的坐標為.答案 (3,3) 考向2利用向量共線求參數(shù)【例5】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-3

10、b共線,則 =.解題心得平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地,在求與一個已知向量a共線的向量時,可設(shè)所求向量為a(r),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.對點訓(xùn)練4(1)設(shè)向量 =(-2n,0),m,nr,o為坐標原點,若a,b,c三點共線,則m+n的最大值為()a.-3b.-2c.2d.3(2)在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,

11、c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,則角c的大小為.答案(1)a(3)60 素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題5 5共線定理的推廣及應(yīng)用共線定理的推廣及應(yīng)用素養(yǎng)解讀最近幾年的高考試題中,很多題目都是以向量知識為背景,以共線向量為載體的向量分解與合成問題.以共線向量基本定理為“數(shù)”和“形”的紐帶,旨在考查學(xué)生分析問題的能力,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).常用結(jié)論常用結(jié)論類型一感受平面內(nèi)三點共線的結(jié)論在解題中的簡明快捷 解題心得共起點的三個向量如果它們的終點在同一條直線上,那么用其中兩個向量表示另一個向量時,等式左邊系數(shù)之和等于右邊系數(shù)之和.答案 b解析 如圖,cd為acb