學生錯誤研究之文獻綜述_郜舒竹pdf

1、第 18 卷第 1 期數(shù) 學 教 育 學 報Vol.18, No.12009 年 2 月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONFeb., 2009學生錯誤研究之文獻綜述郜舒竹，薛漣霞（首都師范大學 初等教育學院，北京 100037）摘要：對學生錯誤的研究不僅可以幫助學生找出錯誤產生的原因、提出改正的意見，還有助于幫助教師完善自身的知識 觀和教育觀國內外學者對錯誤的研究領域在不斷擴大和深入，人們對錯誤的理解以及錯誤原因的認識也在不斷變化，而且 學生錯誤的合理性逐漸得到一些數(shù)學教育者或者一些一線數(shù)學教師的認可同時，越來越多的教師也意識到對于錯誤的研究 目的不僅僅是診斷與治

2、療，更應該把錯誤看作一種有效的教學資源關鍵詞：錯誤；學生錯誤；教學契約中圖分類號：G444 文獻標識碼：A 文章編號：10049894（2009）01007504美國學者 Bryan Bunch1認為每個人都會犯錯誤，尤其鄭毓信曾有這樣的論述：有些教師往往把學生在學習過每個人在數(shù)學學習方面更會犯錯誤，這里的每個人不僅指普程中所產生的各種不同于“標準觀念”的想法或做法看成是通人，也包括大數(shù)學家因此，很多教師認為學生犯錯誤是錯誤的5這里的“標準觀念”是指教科書、權威專家或者日常教學中一件很平常的事情，殊不知越為人們習以為常的教師自身的觀念，從一個側面反映了教師對于錯誤概念的理事情卻有獨特的研究價值

3、那么，前人是如何研究錯誤的？解更多的是基于數(shù)學知識的立場或者是教師自身的立場，而研究方向又如何呢？不是站在學生主動建構學習的立場上看待錯誤Brousseau6 關于“錯誤”的界定認為教師在教學過程中擔任的重要角色，主要是為學生創(chuàng)造一個適應新的學習環(huán)境的情景他不認為錯誤是失誤、不確1.1 哲學上的定或者偶然的結果，而正是對前知識的學習發(fā)生興趣的表錯誤在哲學上稱之為謬誤，與真理相對謬誤是指主觀 對客觀的歪曲反映，謬誤是主觀的、片面的2在哲學上真 理屬于認識范疇，所以這里與真理相對的錯誤也屬于認識范 疇，只指錯誤的認識，而不指錯誤的行動同樣，在哲學詞 典里也對錯誤有定義錯誤同正確相對立，指主體與客體

4、規(guī) 律不相一致的認識或者實踐3顯然，這里對錯誤的定義更 進了一步，不再局限于錯誤是一種認識，錯誤不僅指不正確 的認識和觀點等，也指不正確的行為1.2 一般意義上的錯誤的概念不僅在哲學中出現(xiàn)，在各門學科和日常生活 中也經(jīng)常出現(xiàn)現(xiàn)代漢語詞典對錯誤的界定包括兩個意思， 第一是指不正確，與客觀實際不符合，如錯誤思想第二是 指不正確的事物、行為等4因此可以看出，一般意義上的 錯誤不僅指錯誤的認識，也指錯誤的行為國外相關文章中 涉及到學生錯誤時用的詞各有不同，主要有 error，obstacle， difficulty ， fallacy 這 4 個單詞 ， 使用頻率較高的算是 errorerror 指一

5、般意義上的錯誤、過失，具有廣泛性，不僅指錯誤的事物，也指道德方面的過失；Obstacle，difficulty 都是指困難、障礙；obstacle 相對于目的而言；difficulty 相對于主體的能力或者狀況而言；fallacy 常指錯誤的論點或者 推理的錯誤，比較有針對性現(xiàn)Brousseau 還認為，學生的錯誤和學生的失敗不能提供 一個過分簡單的定義，應該將學生的錯誤和“困難”的概念 結合起來7Duroux8認為“困難”是在一系列環(huán)境中以某 種方式發(fā)生作用的知識，并且在不同的環(huán)境中發(fā)生作用的方 式是不同的正是面對這樣的知識時，學生沒有選擇某種正 確方式的發(fā)生，也就產生了錯誤1.4 3 種界

6、定的關系從哲學層面有關錯誤的定義、一般意義上對錯誤的定義 以及教師對于錯誤的看法可以看出：（1）3 者在對錯誤的界 定，實質上是統(tǒng)一的即錯誤不僅是指思想、觀念，也指具 體行為也就是說，錯誤是沒有正確反映客觀實際及其事物 發(fā)展規(guī)律的想法或者行為（2）3 者對于錯誤概念的界定是 不一致的這種不一致性使得在研究數(shù)學教育中學生錯誤過 程中，在識別錯誤方面缺乏統(tǒng)一的標準而錯誤的界定是進 一步研究與錯誤相關主題的基礎，如果沒有這一基礎，不同 的研究者之間無法正常對話，也無法對錯誤的原因進行合理 剖析因此，對錯誤的界定既不宜過于一般化也不宜過于哲 學化，對錯誤的理解要從犯錯誤的主體學生出發(fā)，以學 生的認知、

7、思維特征為出發(fā)點進行概念界定2 國內學者對“數(shù)學錯誤”的研究傾向1.3 數(shù)學教育中的國內學者對于學生數(shù)學錯誤研究的重點主要集中于學但是在數(shù)學教育中，由于數(shù)學學科本身的特點和教學的生的具體數(shù)學知識錯誤上，大致可以分成以下 3 類：特點，對于學生數(shù)學錯誤的定義應該與哲學中和一般意義上2.1 從解題角度分析錯誤對錯誤的定義有所不同但是，長期以來一直沒有人給出錯此類錯誤剖析實際上屬于解題分析的一種，是針對一道誤的明確定義，只是一些對錯誤的簡單論述題或一類題進行分析，主要是指出錯誤的具體原因比如，收稿日期：20080905作者簡介：郜舒竹（1961），男，北京人，副教授，碩士生導師，主要從事數(shù)學課程與教

8、學論研究76數(shù) 學 教 育 學 報第 18 卷由于違背了數(shù)學學科體系內的知識、原理而導致錯誤，注重 給出正確的解題方法這種對錯誤的剖析偏重數(shù)學知識本身 方面，而不注重判斷學生的錯誤是否符合學生的心理發(fā)展（1）以學生為主要讀者例如文9，它從初中生在學 習數(shù)學時常發(fā)生的一部分解題錯誤入手，從數(shù)學知識的角度 分析每種錯誤方法產生的原因，并找到正確的解題方法，以 供正在初中學習的學生課外練習參考全書總共八章：“咬 文嚼字”、“0”的糾紛、“差之毫厘，失之千里”、“多余和失 落”、“眼睛受騙”、“因和果”、“粗心錯誤”、“漏洞”，此書 章節(jié)在命名上富有一定的趣味性，大體上還是按照代數(shù)幾 何的順序安排，主

9、要目的是通過在解題中尋找錯誤、分析錯 誤，加深知識的理解，增長解題才能（2）以教師為主要讀者例如文10，它把小學數(shù)學中 的計算錯誤進行了詳細的分類和論述此書將小學生的計算 錯誤分成 6 個內容：整數(shù)四則計算錯誤、小數(shù)的四則運算錯 誤、分數(shù)的四則運算錯誤、四則混合運算錯誤、與幾何形體 有關的計算錯誤和正負數(shù)的四則運算錯誤并對每一個錯誤 進行了分析，認為教師在教學中應該注重學生的操練，這樣 學生可以在熟練中少犯錯誤因此，這本書更注重從教學的 角度幫助教師去分析學生的錯誤，幫助教師去預防和糾正學 生的錯誤孟繁學11分別從四則運算、方程、幾何知識、比 和比例和應用題等 5 方面分析小學生容易犯的錯誤，

10、并闡明 犯錯誤的具體原因以及教師在教學中的注意事項原因的分 析主要還是偏重從數(shù)學知識方面入手，但是在對錯誤的歸因 方面較為簡單、不細致例如，學生在方程這一部分犯錯誤 的主要原因，此書中認為“書寫格式不規(guī)范，運算過程不合 理，列方程解題等量關系不均，與算術方法不分”等等羅 增儒教授在文解題分析談錯例剖析12中不僅對錯誤實 例進行正確分析，而且進一步提出了進行錯例剖析必須堅持 的 4 個基本態(tài)度： 解題錯誤的產生總有其內在的合理性， 解題分析首先要對合理成分作充分的理解； 要通過反例 或啟發(fā)等途徑暴露矛盾，引發(fā)當事者自我反??； 要正面 指出錯誤的地方，具體分析錯誤的性質； 作為對錯解的 對比、補救

11、或糾正，給出正確解法是絕對必要的從羅增儒 關于教師對學生進行錯例分析的態(tài)度中可以反映出他對錯 誤的理解不只是糾錯、改錯，而是應該深入了解學生的真實 思維活動，通過對錯誤的分析真正地達到鍛煉思維的目 的雖然此書也是注重教學，以教師為讀者對象，但相對于 前兩本書，對學生錯誤的分析沒有停留在原因上，而是進一 步上升到教師對待學生數(shù)學錯誤的態(tài)度層次上，在理念上是 一種進步2.2 從教育或者心理角度分析錯誤對錯誤的析因研究不僅注重數(shù)學學科知識體系方面的 因素，還注重教育和心理方面的因素，這是對學生的錯誤原 因分析的一大進步其中有的文章在析因的基礎上還給出了 避免錯誤的矯正措施例如，李莉的學生學習數(shù)學概念

12、的 錯誤分析13和黃興豐、程龍海的初中生在幾何解題中 所出現(xiàn)錯誤的調查研究14等，都是對概念學習的錯誤進 行分析的文章，文章不僅對概念學習的錯誤進行了重點分 析，還提出了相應的矯正措施黃興豐、程龍海的初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯誤的調查研究一文通過對初中二年 級學生的調查研究發(fā)現(xiàn)，學生出錯的原因從心理學方面考慮 主要有兩點：過強的動機和不正確的觀念；知識基礎和認知 圖式的缺陷傅海倫認為，師生的種種數(shù)學活動，都以數(shù)學 語言為基礎，學生在用數(shù)學語言表達數(shù)學對象時，難免會出 現(xiàn)種種錯誤，而這些錯誤會影響到學生的數(shù)學學習15他 還從心理方面介紹了數(shù)學語言學習中的錯誤，如心理能力不 足和缺乏正確的心理勢態(tài)

13、導致的錯誤山東師范大學教育碩 士杜春泉對學生概念學習的心理性錯誤進行了剖析12，并 指出了一些相應的矯正對策山東師范大學教育碩士郝玲的 初一學生數(shù)學學習中的錯誤剖析12一文具體談到了初一 學生在數(shù)學學習中常見的錯誤，認為錯誤的主要原因有以下 4 方面：錯誤的觀念、粗心、負遷移、數(shù)學語言理解錯誤等， 并建議教師應該了解學生的真實思維活動，利用反例教學， 培養(yǎng)學生的原認知能力等從以上的研究可以看出，對學生錯誤的原因分析逐漸涉 及到更多的教育學和心理學方面，比如認知圖式、元認知、 心里勢態(tài)等等這表明對學生錯誤原因的分析的科學性和理 論高度在不斷提高，而不僅局限于過去的簡單歸因粗心 和不認真等2.3

14、承認錯誤的合理性并利用錯誤進行教學從利用學生的錯誤進行教學的文章中可以看出，有些錯 誤的不可避免性逐漸得到認可，并且開始有了利用錯誤的意 識，認識到利用錯誤不僅可以培養(yǎng)學生良好的思維品質和堅 強的意志品質，更重要的是能夠加深學生對知識的理解和端 正教師對待學生錯誤的態(tài)度等優(yōu)勢例如，李善良16對學 生概念學習的錯誤進行了深刻的理論分析，并指出學生的錯 誤有些是合理的他將數(shù)學概念學習中的錯誤分為兩類：一 是過程性錯誤；二是合理性錯誤相對而言，過程性錯誤具 有短暫性、外顯性，是可以預防與避免的；而合理性錯誤則 具有隱蔽性、長期性，是不可避免的錯誤的合理性有助于 教師正確地看待學生的錯誤，從而減少學生

15、的學習焦慮陳 翔17 通過研究學生在數(shù)學學習中容易出現(xiàn)的“合理性錯 誤”，闡述了它的主要表現(xiàn)及產生的緣由，并且認為可以通 過創(chuàng)設“引起認知沖突”的教學情境來消除學生“合理性錯 誤”他認為合理性錯誤通常表現(xiàn)在兩方面：一方面表現(xiàn)在 處理問題的方法使用上例如，由于認知的“慣性”，造成 對概念做了不適宜的推廣，對結論做了隨意性擴展，方法運 用上進行了不恰當?shù)倪w移等；另一方面表現(xiàn)在處理問題的思 維方式上例如，在思考問題時，由于過去的學習心理傾向 帶來思維的單向性和戀舊性，不自覺地在過于限制的領域建 立數(shù)學聯(lián)系，或者出于對某種數(shù)學形式的偏好而忽略了其對 立的形式等喻其容，李德明認為學生的合理性錯誤是可以

16、利用的，教學中可以通過“反例”教學激發(fā)學生的思考，從 而掌握正確的解題方法18王鵬飛指出錯誤是學生在學習 中自然存在的現(xiàn)象，在數(shù)學教學中企圖完全避免錯誤是沒有 必要的19相反，在某些情況下卻需要有意識地讓學生專 門進行嘗試“錯誤”的活動這樣不僅有利于教師對學生錯 誤的診斷和治療，還有利于學生的自我診斷和治療王鵬飛 認為學生解題是從一個問題系統(tǒng)走向穩(wěn)定系統(tǒng)的過程，學生第 1 期薛漣霞：學生錯誤研究之文獻綜述77的錯誤認知是沒有成功地將問題系統(tǒng)轉化為穩(wěn)定系統(tǒng)，這可 以通過科學有效的錯誤辨析題的設計幫助學生對錯誤進行 反思，減輕學生的錯誤干擾20此外，文21表明反例方法 可以否定錯誤命題，預防和糾正

17、錯誤認識，且有助于學生形 成縝密的思維特級教師李烈認為，在課堂上應該重視來自 學生的話，包括一些錯誤的話、不嚴謹?shù)脑?，能夠有意識地 利用學生的話為課堂教學服務22“對”與“錯”都是教學 的資源，對于學生說錯的話進行分析，并不是浪費時間，因 為這些話反映出學生在認識上的問題，有的甚至具有普遍意 義通過“不是什么”來說明“是什么”一樣有很大的價值3 國外學者對學生錯誤的研究傾向國外學者關于錯誤的研究主要經(jīng)歷了兩個階段：3.1 系統(tǒng)診斷錯誤并分析原因及提出糾正措施階段國外學者對學生數(shù)學錯誤的研究是從對學生算術錯誤 的診斷開始入手的美國學者 Buswell 和 Judd 于 1925 年引 用了 30

18、 多項研究對學生算術錯誤進行診斷，其后，德國、 蘇聯(lián)等國家也開展了關于學生算術錯誤的研究這一時期也 出現(xiàn)了關于學生錯誤的專著，其中較早較有名的專著是V.M.Bradis，V.L.Minkovskii 和 A.K.Kharchevas 于 1938 年合著出版的數(shù)學推理中的錯誤一書在這本書中共選取 和分析了從小學到高中所學數(shù)學知識中的 82 個錯誤，并將 這些錯誤分成 6 類，分屬于 6 個不同的章節(jié)，書中對每一個 錯誤都具體分析了導致錯誤的原因，并給出了正確解答后 來，對錯誤的分析研究不僅僅局限于對計算錯誤的研究，而 是不斷擴大范圍，這主要是由于以下 3 方面的原因23：對 于數(shù)學標準化測試和

19、成績取向測試的失望和懷疑引起了對 教學診斷的關注，數(shù)學課程的改革也許沒有減少現(xiàn)有的困難 和錯誤，但是它卻產生了一些與具體內容緊密相關的錯誤， 數(shù)學的個體教學和區(qū)別教學需要對困難熟練的診斷；教師的 教學行為診斷模型里應該有不同的數(shù)學知識與教育和社會 心理學的整合；缺少考慮數(shù)學教學內容的個性差異的分析很 少能夠給教師個性化教學方面提供實際性的幫助，也很少能 夠在教師困難診斷和困難治療方面提供實際性的幫助在對 數(shù)學錯誤研究的范圍不斷擴大的情況下，對錯誤的原因分析 也不再局限于偏重數(shù)學知識本身，而開始注意到影響學生錯 誤的教育心理方面的因素，例如情感和心理意大利學者 GIORGIO T.BAGNI24

20、對學生錯誤原因的分析比較注重心理 方面中的情感因素，他認為學生出錯誤的原因主要是以下兩 方面：首先，學生喜歡簡單的、容易的和著名的方法、思想； 其次，學生害怕困難的東西，害怕題目無解德國學者 Hendrik Radatz23依據(jù)信息加工理論的基礎，將學生犯錯誤 的原因劃分為 5 個方面：語言困難、空間感知困難、已有知 識或經(jīng)驗的不足、思維僵化（主要包括持續(xù)言語的影響，聯(lián) 想的錯誤、干擾的錯誤、同化的錯誤、負遷移的錯誤）、不適當?shù)膽没蛲茝VBrousseau25認為在大多數(shù)教學情境中， 教學契約在發(fā)揮作用，教學契約會影響學生的行為，從而產 生錯誤教學契約潛在表明教師期待學生該干什么，學生會 在這

21、種契約的引導下選擇自己的方法和所需的知識因此教 學契約涉及到 3 個元素：教師、學生和知識教學契約職責 是形成教師和學生之間的互動，而這種互動以知識為媒 介在教學契約的影響下學生往往認為：學校的題有答案而 且只有一個答案，為了得到這一答案，學生會選擇運用所有 的數(shù)據(jù)，組成適當?shù)乃闶奖热缰摹按L年齡問題：一 艘船上，有 26 只綿羊，19 只山羊，船長的年齡是多少？” 很多國家的學生都回答：“船長的年齡是 45 歲”盡管有人 會認為這一問題不符合邏輯或者說沒有價值，但事實上雖然 條件不充分，很多學生卻給出了并不存在解答方法的答案3.2 發(fā)現(xiàn)錯誤的合理性并研究錯誤的教育功能階段美國學者 Erl

22、wanger，Ashlock，Ginsburg 等人對數(shù)學學 習中的錯誤做了研究，而且更強調錯誤的合理性他們認為， 從現(xiàn)實的錯誤類型中可清楚的看出，很多錯誤是有規(guī)律的而 不是偶然的，從學習者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤 不是教給的，而是學習者構造了自己特有的概念與程式造成 的26因此，錯誤它是構成學生學習過程的一個自然的、 不可避免的組成部分將學生錯誤合理性的理念應用于教學 的規(guī)模性研究，在德國已開始嘗試，不僅如此，德國在利用 錯誤例子作為教學資源方面也有研究例如，Erica Melis（Universitt des Saarlandes）教授很注重錯誤案例的教育功 能，指出錯誤案例的正確

23、運用會激發(fā)學生的元認知，并且還 可以引起學生自我解釋、反思、探究、批判性的思考Erica Melis 與自己的同事在德國智能研究中心（DFKI）開發(fā)了基 于網(wǎng)絡的學習環(huán)境 Active math，它是一個用戶自主選擇的 學習環(huán)境，他提供學習內容、一系列學習目標，對學生學習 目標、內容選擇、學習階段等的建議，并及時對學生的學習 情況進行反饋，它的目標就是“開發(fā)能夠引起學生檢測、推 理和改正錯誤的工具、反饋和練習”4 結論從國內外學者對錯誤的研究可以看出，關于錯誤研究的 領域在不斷擴大和深入，人們對錯誤的理解以及錯誤原因的 認識也在不斷的變化，而且學生錯誤的合理性逐漸得到一些 數(shù)學教育者或者一些一

24、線數(shù)學教師的認可同時，越來越多 的教師也意識到對于錯誤的研究的目的不僅僅是診斷與治 療，更應該把錯誤看作一種有效的教學資源，但是大多研究 者和教師更傾向研究錯誤對學生學習、掌握知識的有效性， 而忽視錯誤對教師的教和教師自身知識觀、數(shù)學觀的重大影 響總之，學生的錯誤是值得我們研究的，尤其是導致學生 錯誤的原因和價值還需要進一步的深入研究參 考 文 獻1 Bryan Bunch. Mathematics Fallacies and Paradoxes M. Dover Publications, Inc, 19822 范彬馬克思主義哲學原理自學高考綱要M長沙：湖南人民出版社，19853 黃楠森，李

25、宗陽，涂蔭森哲學概念辨析詞典M北京：中共中央黨校出版社，199378數(shù) 學 教 育 學 報第 18 卷4 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室現(xiàn)代漢語詞典（2002 年增補本）M北京：商務印書館，20045 鄭毓信數(shù)學教育的現(xiàn)代發(fā)展M南京：江蘇教育出版社，19996 Brousseau G. Les Obstacles Epistemologiques et les Problemes en Mathematiques, Epistemological Obstacles and Problems in MathematicsJ. Recherches en Didactique des Mat

26、hematiques, 1983,4(2): 164198.7 Brousseau G. Problemes de Didactique des Decimaux, Didactical Problems of Decimal Numbers J. Recherches en Didactique des Mathematiques, 1981, 2(1): 37127.8 Duroux A. La Valeur Absolue: Difficultes Majeures Pour une Notion Mineure M. Petit, X, 1983.9 顧忠得，徐方瞿，毛之價錯在哪里數(shù)學

27、M北京：少年兒童出版社，198310 邱學華小學生計算錯誤的研究M南京：江蘇教育出版社，197911 孟繁學錯誤辨證M北京：金盾出版社，200312 郝玲初一學生數(shù)學學習中的錯誤剖析D山東師范大學，200413 李莉學生學習數(shù)學概念的層次分析J數(shù)學教育學報，2002，11（3）：121514 黃興豐，程龍海初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯誤的調查研究J數(shù)學教育學報，2003，12（3）：747615 傅海倫數(shù)學語言學習中的心理性錯誤分析J數(shù)學通報，1996，（12）：1316 李善良數(shù)學概念學習中的錯誤分析J數(shù)學教育學報，2002，11（3）：61117 陳翔淺談高等數(shù)學學習中的“合理性”錯誤J湖南

28、第一師范學院學報，2005，11（5）：313318 喻其容，李德明數(shù)學習題教學中“錯的有理”J數(shù)學教學通訊，2005，（12）：212319 王鵬飛“嘗試錯誤”教學法初探J中學數(shù)學教學參考，1998，（7）：91120 王鵬飛錯誤辨析題的功能與設計J中學數(shù)學教學參考，1995，（10）：293121 王鵬飛反例的思維過程和構造策略J中學數(shù)學教學參考，1995，（6）：384022 李烈我教小學數(shù)學M北京：人民教育出版社，200323 Hendrik Radatz. Error Analysis in Mathematics Education J. Journal for Research

29、in Mathematics Education, 1979, 10(3): 163172.24 GIORGIO T. BAGNI: An Investigation of some Misconceptions in High School Students Mistakes Learning in Mathematics and Science and Educational Technology M. Cyprus Nicosia: Inter-college Press, 2001.25 Brousseau G. The Crucial Role of the Didactical Contract in the Analysis and Construction of Si