直線與圓韋達(dá)定理

1、1圓,直線,過的動(dòng)直線與直線m相交于,與圓相交于兩點(diǎn),是中點(diǎn). ()與垂直時(shí),求證:過圓心;()當(dāng)時(shí),求直線的方程;()設(shè),試問是否為定值2以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切（）求圓的方程；（）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，在圓上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出此時(shí)直線的斜率；若不存在，說明理由3圓，直線（1） 求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a、b；（2） 求弦ab的中點(diǎn)m的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；（3） 若定點(diǎn)p（1，1）滿足，求直線的方程。4圓經(jīng)過點(diǎn)a（2,0），b（0,2），且圓心在直線yx上，又直線l：ykx1與圓相交于p、q兩點(diǎn)（1）求圓的方程；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值；（3）過點(diǎn)作

2、動(dòng)直線交圓于，兩點(diǎn)試問：在以為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經(jīng)過點(diǎn)5如圖，圓：（）若圓與軸相切，求圓的方程；（）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）過點(diǎn)任作一條直線與圓：相交于兩點(diǎn)問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？6（14分） 已知方程.（1）若此方程表示圓，求的取值范圍；（2）若（1）中的圓與直線相交于m，n兩點(diǎn)，且omon（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）求的值；（3）在（2）的條件下，求以mn為直徑的圓的方程.7圓，直線，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且滿足（1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍8圓c：，直線與圓c交于p、q兩個(gè)不同的點(diǎn)，m為p、q的中點(diǎn)（）已知，若，求實(shí)數(shù)的值；（）求點(diǎn)m的軌跡

3、方程；（）若直線與的交點(diǎn)為n，求證：為定值9圓：，直線.（1）直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求；（2）若，是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線、，切點(diǎn)為、，探究：直線是否過定點(diǎn)；（3）若、為圓：的兩條相互垂直的弦，垂足為，求的面積的最大值.10已知圓：，直線與圓相交于，兩點(diǎn)（）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（）若直線的斜率為，且以弦為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程11已知圓過坐標(biāo)原點(diǎn)o且圓心在曲線上.（）若圓m分別與軸、軸交于點(diǎn)、（不同于原點(diǎn)o），求證：的面積為定值；（）設(shè)直線與圓m 交于不同的兩點(diǎn)c，d，且，求圓m的方程；（）設(shè)直線與（）中所求圓m交于點(diǎn)、， 為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與圓m的另

4、一個(gè)交點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn).12圓c的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線相切.（1）求直線被圓c所截得的弦ab的長；（2）過點(diǎn)g（1,3）作兩條與圓c相切的直線，切點(diǎn)分別為m,n，求直線mn的方程；（3）若與直線垂直的直線不過點(diǎn)r（1,-1），且與圓c交于不同的兩點(diǎn)p，q.若prq為鈍角，求直線的縱截距的范圍13(本小題滿分12分) 已知圓，點(diǎn)，直線.(1) 求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；(2) 在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).14如圖，圓與坐標(biāo)軸交于點(diǎn).求與直線垂直的圓的切線方程；設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）

5、，直線交軸于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，求弦的長；求證：為定值.參考答案1()詳見解析 () 或 () 是定值-5【解析】試題分析：() 當(dāng)與垂直時(shí)斜率相乘為，從而得到斜率及方程()直線與圓相交時(shí)常用弦長的一半，圓心到直線的距離，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形求解()先將直線設(shè)出，與圓聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，將直線與直線聯(lián)立求得，代入中化簡得常數(shù)，求解時(shí)需注意直線方程分斜率存在不存在兩種情況試題解析：()由已知 ,故,所以直線的方程為. 將圓心代入方程易知過圓心 4分() 當(dāng)直線與軸垂直時(shí),易知符合題意; 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,由于, 所以由,解得. 故直線的方程為或 -8分()當(dāng)與軸垂直

6、時(shí),易得,又則 ,故. 即 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得 .則 ,即, .又由得, 則. 故. 綜上,的值為定值,且 12分另解一:連結(jié),延長交于點(diǎn),由()知.又于, 故.于是有. 由得 故 另解二:連結(jié)并延長交直線于點(diǎn),連結(jié)由()知又, 所以四點(diǎn)都在以為直徑的圓上,由相交弦定理得 考點(diǎn)：1.直線方程；2.直線與圓相交的位置關(guān)系；3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算2（）;（）存在點(diǎn)，使得.【解析】試題分析：（）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以 ，即可求出圓的方程為 .（）方法一：因?yàn)橹本€：與圓相交于，兩點(diǎn)， 所以 ， 所以或 ，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)?，在圓上，且，同時(shí)由向量加法的平行四邊

7、形法則可知，四邊形為菱形，所以與互相垂直且平分，所以原點(diǎn)到直線：的距離為 10分即 ，解得， ，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以存在點(diǎn)，使得 ；方法二：假設(shè)存在點(diǎn)，使得記與交于點(diǎn)，因?yàn)椋趫A上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，因?yàn)橹本€斜率為，顯然，所以直線方程為， 解得， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，即，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以存在點(diǎn)，使得.試題解析：解：（）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以 3分所以圓的方程為 5分（）方法一：因?yàn)橹本€：與圓相交于，兩點(diǎn)， 所以 ， 所以或 7分假設(shè)存在點(diǎn)，使得 8分因?yàn)?，在圓上，且，同時(shí)由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，所以與互相垂

8、直且平分 9分所以原點(diǎn)到直線：的距離為 10分即 ，解得， ，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件 12分所以存在點(diǎn)，使得 13分方法二：假設(shè)存在點(diǎn)，使得記與交于點(diǎn) 因?yàn)?，在圓上，且，由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，因?yàn)橹本€斜率為，顯然，所以直線方程為 7分， 解得， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為 9分因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得 11分即，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件 12分所以存在點(diǎn)，使得 13分.考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.3（1）證明見解析；（2），為圓的軌跡方程；（3）或；【解析】試題分析：（1）由題可知，判斷直線與圓的位置關(guān)系，我們常采取兩種方法，圓心到直線的距離與半徑的比較，若距離大于半徑，則位置關(guān)系是相離

9、，若距離等于半徑，則位置關(guān)系是相切，若距離小于半徑，則位置關(guān)系是相交；或是判斷直線所經(jīng)過的定點(diǎn)和圓的關(guān)系，點(diǎn)在圓內(nèi)，則位置關(guān)系是相交，點(diǎn)在圓上，則位置關(guān)系是相切，點(diǎn)在圓外，則位置關(guān)系是相離；（2）關(guān)于求軌跡方程的問題，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過題中的條件將x，y的關(guān)系式求出，即得軌跡方程；（3）過一點(diǎn)的直線用點(diǎn)斜式設(shè)出，再和圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理以及，得出直線方程為或；試題解析：（）解法一：圓的圓心為，半徑為。圓心c到直線的距離，直線與圓c相交，即直線與圓c總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；obmac方法二：直線過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)直線與圓c相交，即直線與圓c總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（4分）（）當(dāng)m與p不

10、重合時(shí)，連結(jié)cm、cp，則，又因?yàn)?設(shè)，則，化簡得：當(dāng)m與p重合時(shí)，也滿足上式。故弦ab中點(diǎn)的軌跡方程是。（8分）（）設(shè)，由，化簡的 又由消去y得 （*） （10分）由解得，帶入（*）式解得，直線的方程為或。（12分）考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系中點(diǎn)軌跡方程直線方程的應(yīng)用4（1）；（2）；（3）在以為直徑的所有圓中，存在圓：或，使得圓經(jīng)過點(diǎn)【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓心和半徑，列出和的方程，求得圓的方程；（2）根據(jù),求得，所以圓心到直線的距離為，求得的值；（3）若圓經(jīng)過點(diǎn)，則必有即，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然滿足題意得圓，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為：，代入圓的方程，由韋

11、達(dá)定理，得到的值，聯(lián)立解得的值，存在所求的圓，進(jìn)而得到所求的圓的方程.試題解析：（1）設(shè)圓心c（a，a），半徑為r.因?yàn)閳Ac經(jīng)過點(diǎn)a（2,0），b（0,2），所以|ac|bc|r，易得a0，r2，所以圓c的方程是. 3分（2）因?yàn)?2cos，2，且與的夾角為poq，所以cospoq，poq120，所以圓心c到直線l：kxy10的距離d1，又d，所以. 7分（聯(lián)立直線與圓的方程求解酌情給分）（3）（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線經(jīng)過圓的圓心，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，即為圓的直徑，而點(diǎn)在圓上，即圓也是滿足題意的圓 8分（）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由，消去整理，得，由，得或設(shè)，則有 9分由得， ，

12、若存在以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，因此，即， 10分則，所以，滿足題意 12分此時(shí)以為直徑的圓的方程為，即，亦即 13分綜上，在以為直徑的所有圓中，存在圓：或，使得圓經(jīng)過點(diǎn) 14分考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線方程；3.韋達(dá)定理.5（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線與圓的方程，利用判別式為0得出值，即得圓的方程；（2）先求出，聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.解題思路: 直線圓的位置關(guān)系，主要涉及直線與圓相切、相交、相離，在解決直線圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意結(jié)合初中平面幾何中的直線與圓的知識(shí).試題解析：（）因?yàn)榈?，由題意得，所以故所求圓c的方程為（）令，得，即所以假設(shè)存

13、在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線ab與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程為，代入得，設(shè)從而因?yàn)槎驗(yàn)椋?，即，得?dāng)直線ab與軸垂直時(shí)，也成立故存在，使得.考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.6（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）由圓的一般方程知當(dāng)時(shí)表示圓的方程；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，消元后的到關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)樗?，可求出的值；?）利用根與系數(shù)關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心，再利用垂徑定理求出弦長的一半即為半徑，能寫出圓的方程.試題解析：（1）（2） 代入得， 得出： （3）設(shè)圓心為 半徑13分圓的方程 考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.7（）1；（）【解析】試題分析：（）當(dāng)b=

14、1時(shí)，點(diǎn)m（0，b）在圓c上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心c時(shí)，滿足mpmq把圓心坐標(biāo)（1，1）代入直線，可得k的值（）把直線的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及，求得令，則 在區(qū)間上單調(diào)遞增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗(yàn)0）試題解析：（）圓，當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)m（0，b）在圓c上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心c時(shí)，滿足mpmq圓心c的坐標(biāo)為（1，1），k=1（）由 ，消去y得： 設(shè)，mpmq，即，即，即令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，即，解得，或由式得，解得k0或k的取值范圍是考點(diǎn)：直線和圓相交的性質(zhì)；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的單調(diào)性8（1）；（2）

15、 ；（3）定值為3；【解析】試題分析：（1）由向量的數(shù)量積為0，知兩向量是垂直的，即，因?yàn)辄c(diǎn)a在圓c上故直線過圓心c，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到直線方程中，得到；（2）對(duì)于求軌跡方程的問題，一般來講，求哪個(gè)點(diǎn)，就設(shè)設(shè)出哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用題意列出關(guān)系式，本題中，設(shè) ，則，將坐標(biāo)代入，化簡可得出m的軌跡方程 ；（3）聯(lián)立方程，通過韋達(dá)定理，得出m，n的坐標(biāo)，從而求出，兩者相乘，進(jìn)行化簡，得出定值是3.試題解析：（）即，因?yàn)辄c(diǎn)a在圓c上故直線過圓心c，得 3分（）設(shè) ，則，即坐標(biāo)代入得： 化簡得： 8分（）設(shè)將代入并整理得： 則為方程(*)的兩根 10分與聯(lián)立得交點(diǎn) 12分故：=3 (定值) 14分考點(diǎn)：向量

16、的數(shù)量積圓的性質(zhì)韋達(dá)定理9（1）；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）易得點(diǎn)o到l的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出k；（2）利用o、p、c、d四點(diǎn)共圓求得其圓的方程，發(fā)現(xiàn)直線是圓與圓的公共弦所在的直線方程，兩式作差即可；（3）設(shè)圓心o到直線ef、gh的距離分別為.則所以再用均值不等式即可求出最大值.試題解析：（1）aob=，點(diǎn)o到l的距離 2分= 4分（2）由題意可知：o、p、c、d四點(diǎn)共圓且在以op為直徑的圓上，設(shè).其方程為：即 又c、d在圓o：上 即 7分由 得 直線cd過定點(diǎn) 9分（3）設(shè)圓心o到直線ef、gh的距離分別為.則 11分 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，取“=”四邊形egf

17、h的面積的最大值為 14分考點(diǎn)：圓的綜合應(yīng)用【答案】（）或（）或【解析】試題分析：（）解決直線與圓位置關(guān)系的綜合問題時(shí)，要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，不要單純地依靠代數(shù)運(yùn)算，這樣簡單又不易出錯(cuò)由題意知的斜率必然存在，可設(shè)出直線的方程，.其中r為圓的半徑，d為弦心距，l為弦長即可解決；（）采用設(shè)而不求，利用直線與圓的方程聯(lián)立的關(guān)于x的二次方程，由得，即，再利用韋達(dá)定理即可.試題解析：（）由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即圓：，即，圓心，半徑為由，知圓心到直線的距離為，于是，即，整理得，解得，或所以直線的方程為或 5分（）由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為由 ，得令，解得（1）設(shè)，則，因?yàn)橐詾橹睆?/p>

18、的圓過原點(diǎn)，所以所以，即代入得，解得或，滿足（1）故直線的方程為或 10分考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的綜合11（）；（）；（）或.【解析】試題分析：（）由題意可設(shè)圓m的方程為，求出圓m分別與x軸、y軸交于點(diǎn)a、b的坐標(biāo)，利用面積公式，可得：aob的面積為定值；（）由|oc|=|od|，知oml，解得t=1，再驗(yàn)證，即可求圓m的方程；（）設(shè)，整理得設(shè)直線gh的方程為，代入，利用韋達(dá)定理，確定直線方程，即可得出結(jié)論試題解析：（）由題意可設(shè)圓m的方程為，即.令，得；令，得.（定值）. （）由，知.所以，解得.當(dāng)時(shí)，圓心m到直線的距離小于半徑，符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心m到直線的距離大于半徑，不符合題意.所以

19、，所求圓m的方程為. （）設(shè)，又知，所以，.因?yàn)?，所?將，代入上式，整理得. 設(shè)直線的方程為，代入，整理得.所以，.代入式，并整理得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)考點(diǎn)：圓的方程；直線與圓的位置關(guān)系；分析思考能力和計(jì)算能力.12（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）已知得圓的半徑為圓心到直線的距離，求得半徑r=2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；通過半弦長與半徑、弦心距的關(guān)系求得弦ab長為；（2）由題意知點(diǎn)m、n在以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑的圓g上，而，所以，圓g的方程為，與圓c的方程相減得公共弦mn的方程；（3）由已知可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立圓的方程化簡得，得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，又為鈍角，所以,變形化簡得，而當(dāng)b=0時(shí)直線過點(diǎn)r（1，-1），所以縱截距b的取值范圍是.試題解析：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 所以圓心到直線的距離 （2）因?yàn)辄c(diǎn),所以,所以以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）又圓方程為： （2），由得直線方程： （3）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立得：，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)， 由，得， （3）因?yàn)闉殁g角，所以,即滿足，且與不是反向共線，又，所以 （4）由（3）（4）得，滿足，即，當(dāng)與反向共線時(shí)，直線過（1